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% Corrigé François Hache
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pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Polynésie},
pdftitle = {4 septembre 2018},
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\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 4 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Polynesie juin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 4 heures }
%
%\vspace{0,5cm}
%
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL/SPCL~\decofourright\\[7pt]
Polynésie -- 4 septembre 2018
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse proposée est exacte. Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.}}
%
%\bigskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre complexe solution de l'équation $3\i z + 1 = \i$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $z = -1 - 2\i$&\textbf{b.~~}\fbox{$ z = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\i}{ 3}$}\\[10pt]
\textbf{c.~~} $z = -\dfrac{1}{3}$ &\textbf{d.~~} $z= \dfrac{- 1 - \i}{3}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$3\i z + 1 = \i \iff 3\i z = -1+\i \iff z=\dfrac{-1+\i}{3\i} \iff z=\dfrac{-\i + \i^2}{3\i^2}
\iff z=\dfrac{-1-\i}{-3}$ \\
$\phantom{3\i z + 1 = \i}
\iff z=\dfrac{1}{3} + \dfrac{\i}{3}$

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item  On considère les deux nombres complexes $z = 4 \e^{\i\frac{\pi}{6}}$ et $z' = \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$.

Sur le graphique ci-dessous, le nombre $z + z'$ est représenté par le point:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.~~} A&\textbf{b.~~} \fbox{B} &\textbf{c.~~} C&\textbf{d.~~} D
\end{tabularx}
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-6,-0.9)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psdots(3.5,1)(2.46,3)(-5.5,1.5)(2,3)%ABCD
\uput[ur](3.5,1){A} \uput[ur](2.5,3){B} \uput[u](-5.5,1.5){C} \uput[ul](2,3){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$z = 4\e^{\i\frac{\pi}{6}} = 4 \left ( \cos \dfrac{\pi}{6} + \i \sin \dfrac{\pi}{6}\right ) 
= 4\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2}\right ) = 2\sqrt{3} +2\i$

$z' = \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}} = \sqrt{2}\left ( \cos \dfrac{3\pi}{4} + \i  \sin \dfrac{3\pi}{4}\right )
= \sqrt{2}\left ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right )
= -1 + \i$  

$z+z'= 2\sqrt{3} +2\i + -1 + \i = 2\sqrt{3} - 1 +3\i = z_{\text B}$

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left] - \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{2}{2x + 1}$.

Une primitive de $f$ sur $I$ est la fonction $F$ définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $F(x) = 2\ln (2x + 1)$ &\textbf{b.~~} $F(x) = \dfrac{- 4}{(2x+1)^2}$\\
\textbf{c.~~} $F(x) = \dfrac{2x}{x^2+x}$ &\textbf{d.~~} \fbox{$F(x) = \ln (2x + 1)$}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
On trouve la bonne réponse en dérivant les quatre fonctions $F$ proposées.

On sait que la dérivée de $\ln\left (u(x)\strut \right )$ est $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ donc la dérivée de la fonction $F$ définie par $F(x)=\ln(2x+1)$ est la fonction $F'$ définie par $F'(x)=\dfrac{2}{2x+1}$. 

\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\medskip

\item  Le graphique ci-dessous donne, dans un repère orthogonal, la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies sur l'ensemble des réels par :
$f(x) = x^2 - 3x  \text{ et }  g(x) = 3 - x.$

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(7,7)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x dup mul 3 x mul sub}
\psplot{3}{-1}{3 x sub}
\closepath
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4.9,-2.9)(6.9,6.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{x dup mul 3 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{6}{3 x sub}
\uput[u](6.8,0){$x$}\uput[r](0,6.8){$y$}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

On souhaite connaître l'aire du domaine grisé.
Cette aire, en unité d'aire, est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $\displaystyle\int_{-1}^3[f(x) - g(x)]\:\text{d}x$&
\textbf{b.~~} $\displaystyle\int_{0}^3[g(x) - f(x)]\:\text{d}x$\\[7pt]
\textbf{c.~~} $\displaystyle\int_{-1}^3\left[- x^2 - 4x + 3\right]\:\text{d}x$&
\textbf{d.~~} \fbox{$\displaystyle\int_{-1}^3g(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{-1}^3 f(x)\:\text{d}x$}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
D'après la définition de l'intégrale, la bonne réponse est la

\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\medskip

%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.\\[5pt]
%Les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\smallskip

Un pâtissier utilise une machine pour fabriquer des gâteaux au chocolat pesant en moyenne$500$  grammes. Pour être commercialisable, un gâteau doit peser entre $485$ grammes et $515$ grammes.

\smallskip

La masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart type $\sigma = 11$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que la masse d'un gâteau au chocolat soit supérieure à $515$ grammes est

$P(X >515) \approx 0,086$.

\item  La probabilité $p$ qu'un gâteau au chocolat choisi au hasard dans la fabrication soit commercialisable est
$P(485 < X < 515) \approx 0,827$.

\item  Le pâtissier trouve cette probabilité $p$ trop faible.
Il décide de modifier ses méthodes de fabrication afin de faire varier la valeur de l'écart type sans modifier celle de l'espérance $\mu$.

On désigne par $Y$ la nouvelle variable aléatoire modélisant la masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat.

Cette variable aléatoire suit la loi normale d'espérance $\mu = 500$ et d'écart-type  $\sigma'$.

On veut que la probabilité qu'un gâteau au chocolat soit commercialisable ait pour valeur approchée $0,95$, autrement dit que $P(485 < Y < 515) \approx 0,95$, sachant que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu=500$ et d'écart-type $\sigma'$.

On doit avoir $P(485 < Y < 515) \approx 0,95$ ce qui équivaut à $P(500-15 < Y < 500+15) \approx 0,95$ ou encore $P(\mu - 15 < Y < \mu + 15) \approx 0,95$.

D'après le cours, on sait que $P(\mu - 2\sigma' < Y < \mu + 2\sigma') \approx 0,95$; donc on peut déduire que $2\sigma'=15$ donc que $\sigma'=7,5$.

 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le pâtissier utilise une balance électronique. La durée de fonctionnement sans dérèglement, en jour, de cette balance est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est égale à $0,913$.

On sait que si $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors\\
$P(T < a) = \ds\int_{0}^{a} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = \left [ -\e^{\lambda t}\right ]_{0}^{a}
= 1 -\e^{-\lambda a}$
donc $P(T>a) = \e^{-\lambda a}$.

La probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est égale à $0,913$ donc $P(T>30) = 0,913$; d'où on déduit que $\e^{-30\lambda} = 0,913$ ce qui équivaut à 
$-30\lambda = \ln(0,913)$ ou encore à $\lambda = -\dfrac{\ln(0,913)}{30}$.
On en déduit que $\lambda \approx 0,003$. 

%Déterminer la valeur exacte de $\lambda$ puis la valeur arrondie au millième.
\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité que la balance électronique se dérègle durant les $90$ premiers jours est

$P(T\leqslant 90) = 1- \e^{-\lambda \times 90} = 1-\e^{-0,003\times 90}\approx 0,237$.

\item  Le vendeur de cette balance électronique a assuré au pâtissier qu'il y a une chance sur deux que la balance ne se dérègle pas avant 365 jours.% A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Il faut donc chercher $P(T<365)$ puis comparer le résultat à $0,5$.

$P(T<365) = 1-\e^{-0,003\times 365}\approx 0,665 > 0,5$ donc il y a plus d'une chance sur deux que la balance se dérègle avant 365 jours; le vendeur a tort.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\medskip

La consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en France comprend les soins
hospitaliers, les soins ambulatoires (médecins, dentistes, auxiliaires médicaux, laboratoires d'analyse, thermalisme), les transports sanitaires, les médicaments et les autres biens médicaux (optique, prothèses, petit matériel et pansements).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2008, la CSBM s'élevait à $164,7$ milliards d'euros. Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le Gouvernement souhaitait que les dépenses liées à la CSBM n'augmentent que de 2\,\% par année.

On modélise l'évolution souhaitée par le Gouvernement par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ désigne le montant, en milliards d'euros, des dépenses pour l'année $(2008 + n)$.

On a donc $u_0 = 164,7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
Augmenter de 2\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{2}{100} = 1,02$. On a donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=1,02 u_n$.

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=164,7$.

\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 164,7 \times 1,02^n$.

\item $u_7 = 164,7 \times 1,02^7 \approx 189,2$.% On donnera la valeur arrondie au dixième.

\item% Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Cela signifie que en $2008+7$ soit en $2015$, le total des dépenses sera d'environ $189,2$ milliards d'euros.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la CSBM réelle en milliards d'euros depuis l'année 2008 en France.

Dans cette partie, on ne demande pas de compléter le tableau.

\begin{center}\textbf{Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2008}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A 		&B 		&C 		&D 		&E 		&F 		&G 		&H 		&I\\ \hline
1 &Année  	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015\\ \hline
2 &CSBM en milliards d'euros&164,7 &169,8 &173,5 	&178,7 	&182,6 	&186,1 	&191,2 	&194,0\\ \hline
3 &Évolution en 
pourcentage	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source: Drees, comptes de la santé (édition 2016)}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 arrondi à 0,01\,\% est
		
$\dfrac{194,0 - 164,7}{164,7}\times 100 \approx 17,79$.

		\item  Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage. La formule à entrer en C3 qui, recopiée vers la droite jusqu'en I3, permet de déterminer le taux d'évolution en pourcentage des dépenses entre deux années consécutives est \fbox{\texttt{= (C2 - B2) / B2}}.
	\end{enumerate}
\item À partir de 2015, on suppose que la CSBM augmentera de $2,4$\,\% par année, donc on multiplie chaque année par $1+\dfrac{2,4}{100}= 1,024$.
	
On veut déterminer, à l'aide de l'algorithme ci-dessous, l'année à partir de laquelle la
CSBM dépassera $300$ milliards d'euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item L'algorithme complété est:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$V \gets 194$\\
Tant que $\blue V \leqslant 300$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets {\blue N+1}$\\
\hspace{0.5cm}$V \gets {\blue V \times 1,024}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		
		
		\item Le plus efficace pour déterminer la valeur de la variable $N$ après exécution de l'algorithme est de programmer sur calculatrice la fonction $f$ définie par $f(x) = 194 \times 1,024^x$ puis de faire afficher le tableau de valeurs de cette fonction.
		
On peut également résoudre l'inéquation $194 \times 1,024^n > 300$:	
		
$194 \times 1,024^n > 300 \iff 1,024^n > \dfrac{300}{194}
\iff \ln\left (1,024^n\strut\right  ) > \ln\left (\dfrac{300}{194}\right )\\
\phantom{194 \times 1,024^n > 300}
\iff n \ln (1,024) > \ln\left (\dfrac{300}{194}\right )
\iff n > \dfrac{\ln\left(\frac{300}{194}\right)}{\ln(1,024)}$
		
$\dfrac{\ln\left(\frac{300}{194}\right)}{\ln(1,024)} \approx 18,4$ donc la valeur de $N$ en sortie d'algorithme est 19.
		
		\item La CSBM dépassera les $300$~milliards d'euros en $2015+19$ soit en $2034$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
$w(t) = 4 \e^{-200t} + 146$.

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $w(0) = 4\e^{0} + 146 = 4+1'6 = 150$.
		\item On détermine la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$:% et interpréter graphiquement cette limite.
		
$\left.
\begin{array}{l}
\ds\lim_{t\to +\infty} -200t = -\infty\\
\text{on pose } T=-200t\\
\ds\lim_{T\to -\infty} \e^{T} = 0
\end{array}
\right \rbrace$ donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-200t} = 0$ et donc
$\ds\lim_{t\to +\infty} w(t) = 146$.

On en déduit que la courbe $\mathcal C$ admet la droite d'équation $y=146$ comme asymptote horizontale e, $+\infty$.	
		
	\end{enumerate}
\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle 	$[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel positif $t$,  $w'(t) = 4\times (-200)\e^{-200t} + 0 = -800\e^{-200t}$.
		\item Pour tout $x$ réel, $\e^{x}>0$ donc $-800\e^{-200t}<0$ sur $[0~;~+ \infty[$. La fonction $x$ est donc strictement décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item On dresse le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
w'(t) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{150} &    &    \\
w(y) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{146} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
		\item% Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0
La tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y=w'(a)(t-a) + w(a)$.

Pour $a=0$, on a $w(0) = 150$ et $w'(0)=-800\e^{0} = -800$.

Donc la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-800t+150$. 		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
$150$~rad.s$^{-1}$.

On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.

Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
$\dfrac{1}{200}y' + y = 146$

où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre cette équation différentielle.
$\dfrac{1}{200}y' + y = 146 \iff y'+200y = 146\times 200$ est une équation différentielle de la forme $y'+ay=b$ dont les solutions sont les fonctions $y=K \e^{-at} + \dfrac{b}{a}$ où $K$ est un réel quelconque.

L'équation différentielle $\dfrac{1}{200}y' + y = 146$ a donc pour solutions les fonctions $y=K\e^{-200t}+146$ où $K$ est un réel quelconque.
		
		\item Si pour $t=0$, $y=150$, alors $150 = K\e^{0} + 146$ donc $K=150-146 = 4$.
		
		Donc la fonction $w$ définie par $w(t)=4\e^{-200t} + 146$ est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
 	\end{enumerate}
 	
\item La limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ est égale à 146, et la fonction $w$ est strictement décroissante donc, pendant la phase d'embrayage, la vitesse va diminuer pour atteindre $146$~rad.s$^{-1}$.

\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.

%Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.

On résout l'inéquation $\dfrac{w(t)-146}{146}<0,01$:

$\dfrac{w(t)-146}{146}<0,01 
\iff 4\e^{-200t} +146 - 146 < 1,46
\iff \e^{-200t} < \dfrac{1,46}{4}
\iff -200t < \ln\left (\dfrac{1,46}{4} \right )\\
\phantom{\dfrac{w(t)-146}{146}<0,01}
\iff t> -\dfrac{\ln(0,365)}{200}$ 

Le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse est $t= -\dfrac{\ln(0,365)}{200}$ soit environ $0,005$ seconde.


\end{enumerate}
\end{document}