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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture et modifications : Arié Yallouz
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Polynésie},
pdftitle = {19 juin 2019},
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\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 19 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL/SPCL Polynésie ~\decofourright\\[5pt]19 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\medskip

%\parbox{0.6\linewidth}{
%
%En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à $20~\degres\mathrm{C}$. 
%
%La température extérieure est notée $T$. 
%
%Dans tout l'exercice, on suppose que $T < 20$. 
%
%Température intérieure initiale $20~\degres\mathrm{C}$
%
%Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur. }\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6.5,5)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.8)(5.7,0.8)(5.7,3.1)(3.5,5.2)(1.3,3.1)
%\pspolygon*(1.5,1)(5.5,1)(5.5,3)(3.5,5)(1.5,3)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.7,1.2)(5.3,1.2)(5.3,2.9)(3.5,4.7)(1.7,2.9)
%\pscurve{->}(2.8,3.5)(1.8,3.7)(1.9,4)(1.7,4.5)
%\pscurve{->}(3.7,3.5)(4,3.7)(3.9,4)(4.5,4.5)
%\pscurve{->}(3.5,1.5)(4,1.3)(3.7,1)(3.5,0.5)
%\rput(3.5,3.25){Température}\rput(3.5,2.75){intérieure}\rput(3.5,2.25){initiale 20~\degres C}
%\rput(5.7,4.5){Température}\rput(6,4){extérieure $T$}
%\end{pspicture}}
%
%On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage. 
%
%Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] 
%
%Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

%On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0~\degres C. On a donc $T = 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
$\bullet~~$$u_1 = 0,99u_0 + \dfrac{0}{100} = 0,99 \times 20 = 19,8$  ;

$\bullet~~$$u_2 = 0,99u_1 + \dfrac{0}{100} = 0,99 \times 19,8 = 19,602$
\item %Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
On a quel que soit $n$, \,$u_{n+1} = 0,99u_n$ : cette relation montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,99 de premier terme $u_0 = 20$. 
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout entier naturel $n$,\,$u_n = u_0 \times 0,99^{n}$ ou encore $u_n = 20 \times 0,99^n$. 
\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier.
Comme $0\leqslant 0,99 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,99^n = 0$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ : la température de la pièce va se rapprocher de la température extérieure. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$.
		On résout $u_n < 5$ ou $20\times 0,99^n < 5$ ou $0,99^n < \dfrac{5}{20}$, soit $0,99^n < \dfrac{1}{4}$ ou $0,99^n < 0,25$.
		
Par croissance de la fonction logarithme népérien il en résulte que :
		
$n \ln 0,99 < \ln 0,25$ et enfin $n > \dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,99}$ (car $\ln 0,99 < 0$).

Or $\dfrac{\ln 0,25}{\ln 0,99} \approx 137,9$. 
		\item %En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5~\degres C.
		D'après le résultat précédent la température intérieure est descendue en dessous de 5~\degres C après 140~h, soit comme $140 = 24 \times 5 + 20$ après 5 jours et 20~h, soit en arrondissant en jours : 5 jours. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

%On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-15$~\degres C. On a donc $T = - 15$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par: 

%\[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,15 \quad  \text{et }\: u_0 = 20.\] 
Avec $T = - 15$ la relation de récurrence devient :

\[u_{n+1} = 0,99u_n + \dfrac{- 15}{100} = 0,99u_n - 0,15 \quad  \text{et }\: u_0 = 20.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.
$\bullet~~$$u_1 = 0,99 \times u_0 - 0,15 = 0,99 \times 20 - 0,15 = 19,8 - 0,15 = 19,65$.

$\bullet~~$$u_2 = 0,99 \times u_1 - 0,15 = 0,99 \times 19,65 - 0,15 = 19,4535 - 0,15 = 19,3035$. 
		\item %Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
		On a  $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{19,65}{20} = \np{0,9825}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{19,3035}{19,65} \approx  \np{0,9824}$ : donc il n'existe pas de réel $q$ tel que $u_{n+1} = qu_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
	\end{enumerate}
\item ~

%\parbox{0.73\linewidth}{On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$~\degres C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel. }\hfill
%\parbox{0.25\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%$U \gets 20$\\
%$N \gets 0$\\ 
%Tant que \ldots\\
%\hspace{0.4cm} $U \gets \ldots$\\
%\hspace{0.4cm} $N \gets \ldots$\\
%Fin Tant que \\ \hline
%\end{tabularx}}

	\begin{enumerate}
		\item ~%Recopier et compléter l'algorithme.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$U \gets 20$\\
$N \gets 0$\\ 
Tant que \blue{ $ U > 5$}\\
\hspace{0.4cm} \blue{$U \gets 0,99\times U - 0,15$}\\
\hspace{0.4cm} \blue{$N \gets N+1$}\\
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché.
		La calculatrice donne $N = 56$~heures. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~4[ par: 

\[f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4.\] 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
$f(0) = 10 \times 0  + \ln(4 - 0) - \ln 4 = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x)$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 4}  10x - \ln 4 = 40 - \ln 4$ et $\displaystyle\lim_{x \to 4}\ln (4 - x) = - \infty$, d'où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x) = - \infty$.
		\item %En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
		Le résultat précédent signifie géométriquement que la droite d'équation $x = 4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~4[$. 

%Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$, on a : $f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}$.
$f$ est dérivable sur $[0~;~4[$ et sur cet intervalle $f'(x) = 10 + \dfrac{1}{x - 4} = \dfrac{10(x - 4) + 1}{x - 4} = \dfrac{10x - 40 + 1}{x - 4} = \dfrac{10x - 39}{x - 4}$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~4[$.
		De $0 \leqslant x \leqslant 4$, on déduit $- 4 \leqslant x - 4 \leqslant 0$.
		
$10x - 39 = 0 $ si $10x = 39$ ou $x = \dfrac{39}{10} = 3,9$.

$10x - 39 \geqslant  0 $ si $10x \geqslant 39$ ou $x \geqslant \dfrac{39}{10} = 3,9$.

$10x - 39 \leqslant  0 $ si $10x \leqslant 39$ ou $x \leqslant \dfrac{39}{10} = 3,9$.

On en déduit par tableau de signes le signe de $f'(x)$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)\psline(2,0)(2,2)\psline(0,0.5)(8,0.5)
\psline(0,1)(8,1)\psline(0,1.5)(8,1.5)
\uput[u](1,1.4){$x$}\uput[u](2.1,1.4){$0$}\uput[u](5,1.4){$3,9$}\uput[u](7.85,1.4){$4$}
\rput(1,1.25){$x - 4$}\rput(3.5,1.25){$-$}\rput(6.5,1.25){$-$}
\rput(1,0.75){$10x - 39$}\rput(3.5,0.75){$-$}\rput(6.5,0.75){$+$}\rput(5,0.75){$0$}
\rput(1,0.25){$f'(x)$}\rput(3.5,0.25){$+$}\rput(5,0.25){$0$}\rput(6.5,0.25){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item %Justifier que la fonction $f$ atteint un maximum en 3,9. 

%Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum. 
Du tableau précédent on en déduit que $f$ est strictement croissante sur [0~;~3,9], puis strictement décroissante sur [3,9~;~4] : $f$ admet donc sur l'intervalle [0~;~4] un maximum 

$f(3,9) = 10 \times 3,9+ \ln (4 - 3,9) - \ln 4 \approx 35,31$, soit 35,3 au dixième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de 
%
%$100$~km.h$^{-1}$ en moins de $3$ secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant : 
%
%\begin{itemize}
%\item dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à $35,3$ m.s$^{-1}$ (soit environ $127$ km.h$^{-1}$) en $3,9$~s ; 
%\item dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à $35,3$~m.s$^{-1}$. 
%\end{itemize}
%
%L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous: 

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(4.5,36)
\multido{\n=0.0+0.1}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,36)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,36)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(3.5,36)
\psline[linewidth=1.25pt](3.5,0)(4.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,35.3)(4,35.3)
\psplot[plotpoints=100,linewidth=1.5pt]{0}{3.9}{10 x mul 4 x sub 4 div ln add}
\psline[linewidth=1.5pt](3.9,35.31)(4.5,35.31)
\uput[d](4.1,-1.75){Temps $t$ (en s)}\uput[r](0,37){Vitesse $\left(\text{en m.s}^{-1}\right)$}
\uput[l](0,35.3){35,3}\uput[d](3.9,0){3,9}
\end{pspicture}
\end{center}

%Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A et définie par : 
%
%\[f(t) = 10t + \ln(4 - t) - \ln 4 \quad \text{avec }\:t \in [0~;~3,9]\] 
%
%où $t$ est exprimé en seconde et $f(t)$ est exprimée en m.s$^{-1}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(3)$.
$f(3) = 10\times 3 + \ln(4 - 3) - \ln 4 = 30 + 0 - \ln 4 \approx \np{28,6137}$ mètres par seconde soit 

$60 \times (30  - \ln 4 ) \approx\np{1716,82}$ mètres par minute ou encore $60 \times  60 (30  - \ln 4 ) \approx \np{103009}$~mètres par heure ou 103,009~km par heure.
		\item %L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
		L'affirmation du constructeur est vérifiée. 
	\end{enumerate}
\item %La distance $D$, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : $D = \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item %On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~3,9]$ par: 

%\[F(t) = 5 t^2 - t + (t - 4) [\ln (4 - t) - ln 4].\] 
Sur l'intervalle $[0~;~3,9]$,\,$F$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(t) = 2 \times 5t  - 1 + \ln ( 4 - t) - \ln 4 + (t - 4)\times (- 1) \dfrac{1}{4 - t} = 10t - 1 +\ln ( 4 - t) - \ln 4 + 1 = $

$10t + \ln(4 - t) - \ln 4 = f(t)$.

Cette égalité montre bien que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~3,9].

%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$. 
		\item %Calculer la distance $D$ arrondie au dixième.
On a donc $D = [F(t)]_0^{3,9} = F(3,9) - F(0) =$

$5\times 3,9^2 - 3,9 + (3,9 - 4) [\ln (4 - 3,9) - \ln 4] - 
\left(5 \times 0^2 - 0 + (0 - 4) [\ln (4 - 0) - \ln 4] \right) =$

$ 76,05 - 3,9 - 0,1\left[\ln 0,1 - \ln 4\right] + 4(\ln 4 - \ln 4) =$

$ 76,05 - 3,9 - 0,1\left[\ln 0,1 - \ln 4\right] \approx 72,52$ soit 72,5 au dixième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\medskip

%\parbox{0.5\linewidth}{Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres. 
%
%Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).
%}\hfill \parbox{0.45\linewidth}{
%\begin{flushright}
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(11,.5)
%%\psgrid
%\psframe(2.2,1)\psline{->}(2.2,0.5)(3,0.5)\psframe(3,0)(5.2,1)\psline{->}(5.2,0.5)(6,0.5)\psframe(6,0)(8.2,1)\psline{->}(8.2,0.5)(9,0.5)\psframe(9,0)(11.3,1)
%\rput(1.1,0.5){micro}\rput(4.1,0.5){filtre}\rput(7.1,0.5){ampli}\rput(10.15,0.5){enceinte}
%\end{pspicture}
%\end{flushright}}
%
%Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$ et $z_C$. 
%
%\smallskip
%
%Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}\text{i}$ , où i désigne le nombre  
%complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
%
\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de manière indépendante}.

\bigskip

 \textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
 
\medskip 

%On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} \text{i}$. 
$z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{100}\text{i} = - 10\sqrt{3} \text{i}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme exponentielle de $z_C$.
Avec $- 1 = \text{e}^{\text{i}\pi}$ et $\text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$, on a 

$z_C = \text{e}^{\text{i}\pi}\times 10 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 10 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{2}}$. 
		\item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} \text{i}$. 

%Déterminer la forme exponentielle de $Z$.
$|Z|^2 = 10^2 + \left(- 10\sqrt{3} \right)^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2$, d'où $|Z| = 20$.

Donc $Z = 20\left(\dfrac{10}{20} -  \text{i}\dfrac{10}{20}\sqrt{3}\right) = 20\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 20\left(\cos -\frac{\pi}{3} + \text{i}\sin -\frac{\pi}{3}  \right) = 20\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
		\item %On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$. 

%Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$.
$z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C} = \dfrac{10 \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{2}}}{20\text{e}^{\text{i}\frac{-\pi}{3}}} = 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
		\item %Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre. 

%Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
On a $\left|z_G \right| = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Une valeur approchée de ce gain est \np{0,866025}, soit 0,87 au centième près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

 \textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
 
 \medskip 

%On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à  $\dfrac{- \text{i}}{10 - \text{i}}$.
$z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{\np{1000}\sqrt{3}}\text{i} = - \text{i}$

$z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C} = \dfrac{- \text{i}}{10 - \text{i}}$.

\item %Déterminer la forme algébrique de $z_G$.
$z_G = \dfrac{- \text{i}}{10 - \text{i}} = \dfrac{- \text{i}(10 + \text{i})}{(10 - \text{i})(10 + \text{i}} = \dfrac{1 - 10\text{i}}{100 + 1} = \dfrac{1}{101} - \text{i}\dfrac{10}{101}$.
\item %Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$ et en donner une valeur approchée au centième.
On a $\left|z_G \right|^2 = \left(\dfrac{1}{101}\right)^2 + \left(\dfrac{10}{101}\right)^2 = \dfrac{101}{101^2} = \dfrac{1}{101}$.

Donc le gain du filtre est égale à :

$\left|z_G\right| = \sqrt{\dfrac{1}{101}} = \dfrac{1}{\sqrt{101}}\approx \np{0,0995}$ soit environ 0,10 au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  4 points}

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%\emph{Cet exercice est composé de quatre affirmations indépendantes. Pour chacune d'entre elles, préciser si elle est juste ou fausse. Les réponses doivent être justifiées. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} 
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%
%Une nouvelle gamme de téléphones portables est à l'étude.
% 
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\begin{enumerate}
\item %La durée de fonctionnement, exprimée en jour, du processeur de ce téléphone portable est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont l'espérance est égale à \np{10000}~jours. La durée de garantie légale du téléphone portable est de $2$ ans, soit $730$~jours. 
On a E$(X) = \np{10000} = \dfrac{1}{\lambda}$, $\lambda$ étant le paramètre de la loi exponentielle, donc $\lambda = \dfrac{1}{\np{10000}} = 10^{-4} = \np{0,0001}$.

On sait que $P(X \geqslant 730) = \text{e}^{- \lambda \times 730} = \text{e}^{- 0,073}$.

C'est donc exactement le contraire de ce qui est affirmé : l'affirmation 1 est fausse.

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%\textbf{AFFIRMATION 1} : La probabilité que le processeur s'arrête de fonctionner durant la période de garantie est égale à $\text{e}^{-0,073}$. 

\item  %Pour anticiper la charge de travail du service après-vente, des tests ont été effectués en vue d'estimer le temps de réparation d'un téléphone sous garantie. Ce temps, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 7$. 

\smallskip

%\textbf{AFFIRMATION 2} : La probabilité, arrondie au millième, que le temps de réparation $T$ soit inférieur à 1 heure est $0,923$. 
On a $P(T < 60) = P(T \leqslant 50) + P(50 < T < 60) \approx 0,5 + 0,423$, soit 0,923 au millième près.

L'affirmation 2 est vraie.
\item  %Une amélioration technique a été apportée. Désormais, la probabilité qu'un téléphone soit réparable en moins d'une heure est estimée à $p = 0,97$. Un atelier du service après-vente prévoit de réparer $200$ téléphones portables. On s'intéresse aux échantillons constitués, aléatoirement, de $200$ téléphones portables à réparer. 

\smallskip

%\textbf{AFFIRMATION 3} : Pour de tels échantillons, en arrondissant les bornes au millième, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure est [0,946~;~ 0,994].
Avec $p = 0,97$ et $n = 200$, les conditions :

$n \geqslant 30,\: np = 200\times 0,97 = 194 \geqslant 30,\:n(1 - p) = 200 \times 0,03 = 60 \geqslant 30$ sont vérifiées.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure est 

$\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right] = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03)}{200}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{0,97\times 0,03}{200}}\right]$

$\approx [0,946~;~0,994]$. 

L'affirmation 3 est vraie. 

\item %Un fabricant de processeurs pour téléphone portable certifie que, dans son stock, la probabilité qu'un processeur neuf soit défectueux est $p = \np{0,0001}$. 

%On désigne par $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de processeurs défectueux dans un lot de $200$ prélevés au hasard. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = \np{0,0001}$. 

%\smallskip

%\textbf{AFFIRMATION 4}: La probabilité, arrondie au millième, qu'il n'y ait aucun processeur défectueux dans un lot de $200$ processeurs est égale à $0,980$. 
%
$Y$ suivant la loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = \np{0,0001}$, on sait que :

\[P(Y = 0) = \np{0,0001}^0 \times (1 - \np{0,0001})^{200} = (1 - \np{0,0001})^{200} = \np{0,9999}^{200}\]

Or  $\np{0,9999}^{200}\approx \np{0,9802}\: \text{soit } 0,980\, \text{au millième près}.$

L'affirmation 4 est vraie. 
\end{enumerate}
\end{document}