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%%% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%%% Corrigé : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
  Polynésie -- 14 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

%\vspace{0.25cm}

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
%n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point.
%
%\smallskip
%
%Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et
%indiquerez la seule réponse choisie.
%
%Dans tout l'exercice :
%
%\begin{itemize}
%\item on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
%\item $x \mapsto \e^x$ désigne la fonction exponentielle.
%\item  $x \mapsto \ln x$  désigne la fonction logarithme népérien.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}

\item La forme exponentielle du nombre complexe $z= -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
\renewcommand\arraystretch{2}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $-2\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$& \textbf{B.~~} {\red $2\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$}\\
\hline
\textbf{C.~~} $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$&  \textbf{D.~~}$\sqrt{3}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Réponse B.}

\begin{quote}
$[z[ = \ds\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ donc 
$z=2 \left ( -\dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )$

$\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} =  \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
donc $z=2\e^{\i \frac{2\pi}{3}}$
\end{quote}

\medskip

\item L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \e^{-x}\mathrm{d}x $ est égale à :

\begin{center}
{
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $ \ln2-1$& \textbf{B.~~} $\dfrac{1-\e}{\e\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\ \hline
\textbf{C.~~} {\red $\dfrac{2-\e}{2\e\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$} &~\textbf{D.~~} $1-\ln2$\\ \hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\textbf{Réponse C.}

\begin{quote}
$\ds\int_{1}^{\ln 2} \e^{-x} \d x = \left [ -\e^{-x} \rule{0pt}{10pt}\right ]_{1}^{\ln 2}
= -\e^{-\ln 2} - \left ( -\e^{-1}\right )
= -\dfrac{1}{\e^{\ln 2}} + \dfrac{1}{\e}
= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\e} = \dfrac{2-\e}{2\e}$
\end{quote}

\medskip

\item Si $f$ est la fonction définie sur $\texttt{]}0~;~+\infty\texttt{[}$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} {\red $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ } \rule[-10pt]{0pt}{0pt}&\textbf{B.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$\\\hline
\textbf{C.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$ \rule[-10pt]{0pt}{0pt} & \textbf{D.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Réponse A.}

\smallskip

\begin{quote}
$\ds \lim_{x\to 0^+} 2x = 0$ et $\ds \lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$ donc par soustraction 
$\ds \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
\end{quote}

\medskip

\item Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $G(x)=x\ln x-x+2$.

$G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $\texttt{]}0~;~+\infty\texttt{[}$ par :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $g(x)=x\ln x-1$ & \textbf{B.~~} $g(x) =\ln x+ 2x$ \\\hline
\textbf{A.~~} $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x $ & \textbf{D.~~} {\red $g(x)= \ln x$} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Réponse D.}

\smallskip

\begin{quote}
$G'(x)= 1\times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} -1 + 0 = \ln x +1 - 1 = \ln x$
\end{quote}

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill (4  points)}  

%\vspace{0.25cm}

%\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
%Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.}
%
%\medskip

En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8\,\% de la population.

Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

\medskip

\subsection*{Partie A}

%\medskip

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée.

Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé est
$f=\dfrac{3}{85} \approx 0,035$.

\item D'après le texte, la proportion de personnes atteintes du diabète dans la population totale est $p=0,08$. 

Pour un échantillon de taille $n=85$:
$85 \geqslant 30$, $np=85\times 0,08 = 6,8 \geqslant5$ et $n\left (1-p\right ) = 85\times 0,92 = 78,2 \geqslant 5$ donc les conditions sont vérifiées pour qu'on puisse établir un intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95\,\%:

\medskip

$I=\left [p -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~;~ p +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right ]\\[5pt]
\phantom{I}
= \left [0,08 -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,08 (1- 0,08 )}{85}} ~;~ 0,08 +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,08 (1- 0,08 )}{85}} \right ]
\approx  \texttt{[}  0,022~;~ 0,138 \texttt{]}$

\medskip

\item% L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.
$f \approx 0,035 \in I$ donc on peut considérer que l'échantillon est représentatif de la population.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B}

\medskip

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales.

Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{3cm}|m{5cm}|}
\hline
Hypoglycémie & À jeun : inférieur à {0,70}\:g/l\\\hline
Glycémie normale & À jeun : entre \np{0,70}\:g/l  et \np{1,10}\:g/l \\\hline
Hyperglycémie  &À jeun : supérieur à \np{1.10}\:g/l\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne.
On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.

\vspace {0.25cm}
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

\medskip
\begin{enumerate}
\item La probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie est:

$P(N < 0,7) \approx 0,023$ (à la calculatrice).
\item La probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie est:

$P(N > 1,1) \approx 0,023$ (à la calculatrice).
\item  Une personne est malade du diabète si elle est en hypoglycémie ou en hyperglycémie donc 
la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète est:

$P(N<0,7 \text{ ou } N> 1,1) = P(N<0,7) + P(N>1,1) \approx 0,046$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)}  
\def\interA{\texttt{[}0~;~ +\infty\texttt{[}}

%\vspace{0.25cm}

%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\medskip

Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique.

La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde.

On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle
$(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation différentielle $25y' + 3y =0$
est équivalente à $y'+ \dfrac{3}{25}y=0$ ou encore $y'+ 0,12y=0$, qui est de la forme $y'+ay=0$ avec $a\neq0$. D'après le cours, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions $f$ définies sur $\interA$ par $f(t)=C\e^{-at}$ où $C$ est un réel quelconque.

L'équation différentielle $25y' + 3y =0$ a donc pour solutions les fonctions $f$ définies sur $\interA$ par 
$f(t)= C\e^{-0,12t}$ où $C$ est un réel quelconque. 
\item %Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
Si la solution vérifie la condition initiale $f(0)=100$, on aura: $C\e^{0}=100 \iff C=100$.

La solution est donc la fonction $f$ définie sur $\interA$ par $f(t)=100\e^{-0,12t}$.
\item La puissance du son 2 secondes après le pincement de la corde est 
$f(2)= 100 \e^{-0,12\times 2} \approx 79$ watts.

%\emph{Arrondir au watt près}.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~; +\infty[$ par :
%$f (t)= 100\e^{-\np{0.12}t}$

\medskip

\subsection*{Partie B}

%\medskip

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à 80 watts.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Initialisation}\\
$a$ prend la valeur 0\\
$b$ prend la valeur 5\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $|b - a|> 0,2$\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$m$ prend la valeur $\frac{a+b}{2}$\\
\hspace{1cm}Si $f(m)$ > 80\\
	\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}
	\hspace{0.5cm}$a$ prend la valeur $m$\\
	Sinon\\
	\hspace{0.5cm}$b$ prend la valeur $m$\\
	\end{tabular}\\
\hspace{1cm}Finsi\\
\end{tabular}\\
Fintantque\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $a$, $b$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de l'algorithme ci-dessus, on complète le tableau donné en annexe:

\medskip

{\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$a$			 &0	&0	&\textcolor{red}{$1,25$}&\textcolor{red}{$1,25$}& \textcolor{red}{\np{1,5625}}& \textcolor{red}{\np{1,71875}}\\\hline
$b$ 		&5&2,5&\textcolor{red}{$2,5$}	&\textcolor{red}{$1,875$}& \textcolor{red}{\np{1,875}}& \textcolor{red}{\np{1,875}}\\\hline
$b-a$ 		&5&2,5&\textcolor{red}{$1,25$}	&\textcolor{red}{$0,625$}& \textcolor{red}{\np{0,3125}}& \textcolor{red}{\np{0,15625}}\\\hline
$|b-a|>0,2$	& Vrai	&		\textcolor{red}{Vrai} &	\textcolor{red}{Vrai}	& \textcolor{red}{Vrai}&	\textcolor{red}{Vrai}&	\textcolor{red}{\textbf{Faux}}\\\hline
$m$ 		&$2,5$		&	\textcolor{red}{\np{1,25}}&\textcolor{red}{\np{1,875}}&\textcolor{red}{\np{1,5625}}&\textcolor{red}{\np{1,71875}} & \\\hline
$f (m) \approx$			& $74,1$	&\textcolor{red}{$86,1$}	&\textcolor{red}{$79,9$}&\textcolor{red}{$82,9$}&\textcolor{red}{$81,4$}&\\\hline
 $f(m)>80$	& Faux&	\textcolor{red}{Vrai}& \textcolor{red}{Faux} & \textcolor{red}{Vrai}& \textcolor{red}{Vrai} &\\\hline
\end{tabularx}
}% 

\medskip

\item Les valeurs affichées en sortie de cet algorithme sont alors \np{1,71875} pour $a$, et \np{1,875} pour $b$.

\item %Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?
Cela signifie qu'à partir d'un temps $t$ compris entre \np{1,71875} et \np{1,875} seconde, la puissance du son émis sera inférieure à 80 watts.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On résout l'équation $f(t) = 80$:

$f(t) = 80
\iff
100\e^{-0,12t} = 80
\iff
\e^{-0,12t} = 0,8
\iff
-0,12t = \ln(0,8)
\iff
t = -\dfrac{\ln(0,8)}{0,12}
$

donc $t\approx 1,860$.

%Interpréter ce résultat

Cela signifie qu'au bout de $1,860$ seconde, la puissance du son émis est descendue à 80 watts.

\item On calcule la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$:

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{t \to +\infty} -0,12t = -\infty\\
\text{On pose } T=-0,12t\\
\ds\lim_{T \to -\infty} \e^{T} = 0
\end{array}
\right\rbrace
\text{ donc } \ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,12t} = 0
\text{ donc } \ds\lim_{t\to +\infty} f(t) = 0$

Cela veut dire que si le temps augmente, la puissance du son va tendre vers 0 watt.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
    
\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill ( 6 points)}  

%\vspace{0.25cm}

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de \np{1240} renards à la fin de l'année 2016.
On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 +n$. On a donc $u_0= \np{1240}$.
On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $u_n$.
On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.

%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}
%
%\medskip

\subsection*{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de \np{1054}.
Pour avoir la population à la fin de l'année $2017$ on retire 15\,\% à l'effectif de 2016;
retirer 15\,\%, c'est multiplier par $0,85$ donc $\np{1240} \times 0,85 = \np{1054}$.

À la fin de l'année 2017, la population de renards sera de \np{1054}.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $u_1$ est la population en $2016+1=2017$ donc $u_1 = \np{1054}$.
		
$u_2 = 0,85\times u_1 = 0,85\times \np{1054} \approx 896$.		

		\item On retire 15\,\% chaque année donc on multiplie par $0,85$: $u_{n+1}= 0,85\times u_n$
		
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de premier terme $u_0=\np{1240}$ et de raison $q=0,85$.

	\end{enumerate}
\item La fin de l'année 2020 correspond à $n=4$:

$u_2\approx 896$; $u_3=0,85 \times 896 \approx 762$ et $u_4 = 0,85 \times 762 \approx 648$

On peut estimer à 648 la population de renards fin 2020.

\item% Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,85$ et $-1 < 0,85 < 1$, donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
Cela signifie que la population des renards va s'éteindre.

\item Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100.

%À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?

La suite $\left(u_n\right)$ est  géométrique de premier terme $u_0=\np{1240}$ et de raison $q=0,85$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n= u_0\times q^n = \np{1240} \times 0,85^n$.

On résout l'inéquation $u_n < 100$:

$u_n<100
\iff
\np{1240} \times 0,85^n < 100
\iff
0,85^n < \dfrac{100}{\np{1240}}
\iff
\ln\left (0,85^n\right ) < \ln\dfrac{100}{\np{1240}}\\[7pt]
\phantom{u_n<100}
\iff
n\times \ln (0,85 ) < \ln \dfrac{100}{\np{1240}}
\iff
n > \dfrac{\ln \frac{100}{\np{1240}}}{\ln(0,85)}
$

Or $\dfrac{\ln \frac{100}{\np{1240}}}{\ln(0,85)\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 15,5$ donc le nombre de renards deviendra inférieur à 100 à la fin de la 16\ieme{} année, soit fin 2032.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B}

%\smallskip

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017.
On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$.
On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $v_n$.
On a $v_0=\np{1240}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $v_1 = 0,85 v_0+30 = 0,85\times \np{1240} + 30 = 1084$.
\item% \emph{Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.}
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = 200 + \np{1040} \times 0,85^n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $0,85 <1$ donc, pour tout $n$, $0,85\times 0,85^n < 1\times 0,85^n$, ce qui équivaut à $0,85^{n+1}< 0,85^n$.

On en déduit que $\np{1040} \times 0,85^{n+1}< \np{1040} \times 0,85^n$\\
puis que $200+\np{1040} \times 0,85^{n+1}< 200+\np{1040} \times 0,85^n$, ce qui signifie que $v_{n+1} < v_n$.

La suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante, ce qui justifie que \og le nombre de renards va diminuer\fg.

\item La suite $\left(0,85^n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ donc elle a pour limite 0; la limite de la suite $\left(v_n\right)$ est donc 200.

Cela justifie que le nombre de renards va \og se stabiliser vers 200\fg.

\end{list}

On peut donc affirmer que: \og Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 \fg.

\end{enumerate}

\end{document}

\newpage

\subsection* {\centering \textsc{Annexe} (à rendre avec la copie)}.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hspace{2em}Partie B}  

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$a$		&0&0	&\textcolor{red}{$1,25$}	&\textcolor{red}{$1,25$}& \textcolor{red}{\np{1,5625}}&\textcolor{red}{\np{1,71875}}\\\hline
$b$ 	&5&2,5	&\textcolor{red}{$2,5$}	&\textcolor{red}{$1,875$}&\textcolor{red}{\np{1,875}}&\textcolor{red}{\np{1,875}}\\\hline
$b-a$ 	&5&2,5&\textcolor{red}{$1,25$}	&\textcolor{red}{$0,625$}&\textcolor{red}{\np{0,3125}}&\textcolor{red}{\np{0,15625}}\\\hline
$|b-a|>0,2$	& Vrai	&\textcolor{red}{Vrai} &\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Vrai}&	\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{\textbf{Faux}}\\\hline
$m$ 	&$2,5$		&	\textcolor{red}{\np{1,25}}&\textcolor{red}{\np{1,875}}&\textcolor{red}{\np{1,5625}}&\textcolor{red}{\np{1,71875}} & \\\hline
$f (m) \approx$		& $74,1$	&\textcolor{red}{$86,1$}	&\textcolor{red}{$79,9$}&\textcolor{red}{$82,9$}&\textcolor{red}{$81,4$}&\\\hline
$f(m)>80$& Faux&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Faux} &\textcolor{red}{Vrai}& \textcolor{red}{Vrai} &\\\hline
\end{tabularx}
%\label{annexe}
\end{document}