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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%% https://www.sujetdebac.fr/annales-pdf/2022/sti2d-spe-physique-chimie-mathematiques-2022-mayotte-liban-sujet-officiel.pdf

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Centres étrangers 13 mars 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats (2 points)
}
\end{center}

La fonction $\theta$, représentée ci-dessous, modélise l'évolution de la température du four (exprimée en degré Celsius) en fonction du temps $t$ (exprimé en minute) écoulé depuis la fin de la pyrolyse. L'instant initial $t = 0$ correspond au début de la phase de refroidissement.

\begin{center}
\psset{unit=0.015cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-80,-20)(660,600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=60,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(660,600)
\multido{\n=0+12}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+20}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(660,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{660}{480 2.71828 x 95 div neg exp mul 20 add}
\uput[d](560,-30){Temps (en min)}
\rput{90}(-70,400){Température (en $\degres C$}
\end{pspicture}

\bigskip

\emph{Figure $1$ : évolution de la température en fonction du temps
lors de la phase de refroidissement}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$.
Il semble que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t) = 20$
\item %Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
La température après 10 heures de refroidissement va se rapprocher de $20\degres$ C

La fonction $\theta$ utilisée pour cette modélisation est définie sur $[~0~; +\infty[$ par: 
\[\theta(t) = 480\e^{-\frac{1}{95}t} + 20.\]

\item %Calculer la valeur exacte de la solution de l'équation $\theta(t) = 280$.
$\theta(t) = 280 \iff 480\e^{-\frac{1}{95}t} + 20 = 280 \iff 480\e^{-\frac{1}{95}t} = 260 \iff \e^{-\frac{1}{95}t} = \dfrac{260}{480} = \dfrac{26}{48} = \dfrac{13}{24}$.

En utilisant la croissance de la fonction logarithme népérien, on a donc :

$-\frac{1}{95}t = \ln \dfrac{13}{24} \iff t = \dfrac{\ln \dfrac{13}{24}}{-\frac{1}{95}} = - 95 \ln \dfrac{13}{24}$ (environ 58,24 min).

Pour des raisons de sécurité, le fabricant impose que la porte du four reste verrouillée tant que la température du four est supérieure à $280\degres$ C.
\item %Au bout de combien de temps la porte se déverrouille-t-elle ?
On a $8,24 = 58 + 0,24 \times 60 \approx 58$ min 14 s.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill4 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

 

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = x\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item %Donner la limite de $f$ en $+ \infty$.
On a $f(x) = \dfrac{x}{\e^x}$; or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{\e^x}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{x}{\e^x} = 0$.
\item %Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = \e^{-x}(1 -
%x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
La fonction $f$ produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable en particulier sur $[0~;~ +\infty[$ et sur cet intervalle, en dérivant comme un produit :

$f'(x) = 1\e^{-x} - 1\times x\e^{-x} = \e^{-x} (1 - x)$.
\item %En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
On sait que quel que soit $x \in [0~;~ +\infty[$, \: $\e^{- x} > 0$ : le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - x$ :

$\bullet~~1 - x > 0 \iff 1 > x$ : on a donc $f'(x) > 0$ sur $[0~;~1[$ ; la fonction est croissante sur $[0~;~1[$ ;

$\bullet~~1 - x < 0 \iff 1 < x$ : on a donc $f'(x) < 0$ sur $[1~;~+\infty]$ ; la fonction est décroissante sur $[1~;~+\infty]$ ;

$\bullet~~1 - x = 0 \iff 1 = x$ : on a donc $f'(1) = 0$ ; la fonction $f$ a un maximum en 1 égal à $f(1) = 1\e^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,368$.

$\bullet~~$D'autre part $f(0) = 0 \times \e^{0} = 0 \times 1 = 0$. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,1.5)(7,1.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.15,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$1$} \uput[u](6.5,1.9){$+\infty$} 
\rput(0.5,1.75){$f'(x)$}\rput(2.5,1.75){$+$}\rput(4,1.75){0}\rput(5.5,1.75){$-$}
\uput[u](1.15,0){0}\uput[d](4,1.5){$\e^{-1}$}\uput[u](6.5,0){0}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1)\psline{->}(4.5,1.)(6.5,0.5)
\rput(0.5,0.75){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère les nombres complexes $z_1 = 6\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = - \sqrt 3 + \text{i}$, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Écrire $z_2$ sous forme exponentielle.
$z_2 = - \sqrt 3 + \text{i}$.

Donc $\left|z_2\right|^2 = \left(- \sqrt 3\right)^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_2\right| = 2$.

On peut en factorisant ce module 2 dans l'écriture de $z_2$, écrire :

$z_2 = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac12\right)$.

Or $- \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac12 = \sin \dfrac{5\pi}{6}$, donc :

$z_2 = 2\left(\cos \dfrac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{6}\right) = 2\e^{\frac{5\pi}{6}}$.

%Détailler les calculs.
\item %En déduire une écriture du nombre complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2^3}$ sous forme exponentielle.
En se servant du résultat précédent : 

$Z = \dfrac{z_1}{z_2^3} = \dfrac{6\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}{\left(2\e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}\right)^3} =  \dfrac68 \dfrac{\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}}{\e^{\text{i}\frac{5\pi}{2}}}$.

Or $\e^{\text{i}\frac{5\pi}{2}} = \e^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$, donc 

$Z = \dfrac34\e^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right)} = \dfrac34\e^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
\end{enumerate}
\end{document}