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%Tapuscrit : François Hache
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Nouvelle-Calédonie -- 27 novembre 2020}}

\medskip
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé. 

L'usage de calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des affirmations suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.

\medskip

%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$. Sa forme exponentielle est : 

$\bullet~~$On a $|z|^2 = \left(-2\sqrt{3} \right)^2 
+ 2^2 = 12 + 4 = 16 = 4^2$, donc $|z| = 4$.

$\bullet~~$On peut donc écrire $z = 4\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)$ ; on reconnait le cosinus et le sinus de $\dfrac{5\pi}{6}$.

Donc $z = 4\left(\cos \dfrac{5\pi}{6} 6 \text{i}\sin \dfrac{5\pi}{6} \right) = 4\text{e}^{\frac{5\pi}{6}}$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $z = -4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.~~}$z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{c.~~}$z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ &\textbf{d.~~}$z = 4\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = 2 \sin \left(3t + \dfrac{\pi}{3}\right)$ est solution de l'équation différentielle:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $2y'' + 3y = 0$&\textbf{b.~~} $2y'' + 9y = 0$ \\
%\textbf{c.~~} $y'' +9y = 0$ 	&\textbf{d.~~} $y'' + 3y = 0$
%\end{tabularx}
%\end{center}

On a quel que soit $t \in \R$, $f'(t) = 6\cos \left(3t + \dfrac{\pi}{3}\right)$, puis $f''(t) = - 18\sin \left(3t + \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Donc $f''(t) + 9f(t) = - 18\sin \left(3t + \dfrac{\pi}{3}\right) +  18\sin \left(3t + \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$.

$f$ est solution de l'équation différentielle : $y'' +9y = 0$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ et 
$\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ est:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$y=-2x +1$ &\textbf{b.~~}$y=x+1$& \textbf{c.~~}$y=-2x- 1$&\textbf{d.~~}$y = x - 1$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a  : $f(0) = \text{e}^0 = 1$et comme $f'(x) = - 2\text{e}^{- 2x}$, le nombre dérivé $f'(0)$ égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$, $f'(0) = - 2$.

Une équation de la tangente est donc :

$y - f(0) = f'(0) (x - 0)$ ou $y - 1 = - 2x.$

L'équation réduite est donc : $y = - 2x + 1$.
\item  On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)
\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1,0)(1,3)\psline(4.95,0)(4.95,2.5)\psline(5.05,0)(5.05,2.5)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](5,2.4){$- 1$} \uput[u](8.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,1.25){$f(x)$}
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2.5){$+ \infty$}
\uput[u](5.5,0){$- \infty$}\uput[d](8.5,2.5){$2$}
\psline{->}(2,0.5)(4.4,2)\psline{->}(6,0.5)(8.4,2)
\end{pspicture}
\end{center}

%Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ admet:
%	\begin{enumerate}
%		\item deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées ;
%		\item une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe
%des ordonnées ;
%		\item une asymptote parallèle à l'axe des abscisses et aucune asymptote parallèle à l'axe
%des ordonnées ;
%		\item aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses et une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.
%	\end{enumerate}
$\bullet~~$La fonction n'est pas définie en 1 : la droite $x = 1$ (verticale) est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ ;

$\bullet~~$La fonction a pour limite $2$ au voisinage de plus l'infini. La droite $y = 2$ (horizontale) est donc asymptote à la  courbe représentative de la fonction $f$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément.\\
 Sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à }$10^{-3}$.
 
 \medskip
 
Une entreprise vient d'installer un distributeur à café dans la salle de repos de ses salariés.

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

On admet que la durée moyenne de fonctionnement d'un distributeur de ce type jusqu'à l'apparition de la première panne est de $15$~mois.

Ce distributeur bénéficie d'une garantie de 2 ans.

On modélise la durée de fonctionnement, en mois, de ce distributeur jusqu'à sa première panne par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
On sait que la durée moyenne de fonction $T$est $T = \dfrac{1}{\lambda}$ d'où $\lambda = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{15} \approx \np{0,0666}$ soit 0,067 au millième près.
\item Dans la suite, on prendra $\lambda = 0,067$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité que ce distributeur n'ait pas subi de panne au cours des $12$ premiers mois.
		On a $P(T < 12) = 1 - \text{e}^{- 0,067 \times 12}\approx \np{0,5524}$, soit 0,552 au millième près.
		\item %Calculer la probabilité que ce distributeur subisse sa première panne avant la fin de la garantie.
		On a de même $P(T < 15) = 1 -  \text{e}^{- 0,067 \times 15}\approx \np{0,6339}$, soit 0,634 au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

%Dans cette partie, les volumes sont exprimés en centilitre (cL).
%
%\smallskip
%
%La notice précise que le distributeur délivre les cafés dans des gobelets d'une contenance de 16 cL. Le volume d'un café distribué par cette machine peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 12,5$ et d'écart type $\sigma = 1,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité que le volume d'un café soit compris entre $11$ cL et $14$ cL.
La calculatrice donne$P(11 < X < 14) \approx \np{0,7887}$ soit 0,789 au millième près.
\item %Déterminer la probabilité que le café déborde du gobelet.
La calculatrice donne $P(X >16) \approx \np{0,0017}$ soit 0,002 au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip

%Tous les cafés délivrés par ce distributeur ont une température initiale de 80~\degres C.
%
%Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température des cafés servis.
%
%\smallskip
%
%On note $\theta(t)$ la température d'un café en degré Celsius, à l'instant $t$ exprimé en minute.
%
%On admet que la fonction $\theta$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ est solution de l'équation différentielle:
%
%\[\theta'(t) + 0,2\theta(t) = 4.\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de cette équation différentielle.
$\bullet~~$On sait que les solutions de l'équation différentielle $\theta'(t) + 0,2\theta(t) = 0$ sont les fonctions $ t \longmapsto C\text{e}^{-0,2t}$, avec $C \in \R$ ;

$\bullet~~$D'autre part la fonction $t \longmapsto \theta(t) = 20$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\theta'(t) + 0,2\theta(t) = 4$.

Les solutions sont donc les fonctions définies par $t \longmapsto 20 + C\text{e}^{-0,2t}$, avec $C \in \R$.
\item %Montrer que, pour tout réel $t$ positif: $\theta(t) = 60\text{e}^{-0,2t} + 20$.
l'énoncé se traduit (température initiale par :

$\theta(0) = 80 \iff 20 + C\text{e}^{-0,2\times 0} = 80 \iff  C = 60$.

On a donc quel que soit $t \in [0~;~+ \infty[$, \: $\theta(t) = 60\text{e}^{-0,2t} + 20$.
\item %Un salarié se sert un café et attend $4$ minutes avant de le boire.

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est alors la température de son café ? On arrondit le résultat à l'unité.
		On a $\theta(4) = 60\text{e}^{-0,2\times 4} + 20 \approx 46,96$, soit à peu près 50~\degres C.
		\item %Déterminer la valeur exacte de la durée d'attente nécessaire pour que la température du café atteigne 40~\degres C, puis en donner une valeur approchée arrondie
%à la minute.
Il faut résoudre l'équation $60\text{e}^{-0,2t} + 20 = 40 \iff 60\text{e}^{-0,2t} = 20 \iff \text{e}^{-0,2t} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$-0,2t = \ln{}\left(\dfrac{1}{3}\right) \iff - 0,2t = - \ln 3 \iff 0,2t = \ln 3 \iff t = \dfrac{\ln 3}{0,2}\approx 5,49$ soit environ 5~min 30~s.

Au bout de 6 minutes le café sera à moins de 40~\degres C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

%La loutre d'Europe est un mammifère carnivore de la famille des mustélidés.

\smallskip

%Sa population n'a cessé de décroître en France en raison de la dégradation de son milieu naturel, mais également parce que cette espèce est victime de pièges posés par les chasseurs.
%
%\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

La population de loutres d'Europe était en France de \np{50000} individus au 1\up{er} janvier 1930. On estime que depuis cette date, la population a perdu 5\,\% de ses individus chaque année en raison de la dégradation du milieu naturel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la population de loutres d'Europe en France au 1\up{er} janvier 1931.
Enlever 5\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{5}{100} = 1 - 0,08 = 0,95$.

Donc le 1\up{er} janvier 1931 il y avait $np{50000} \times 0,95 = \np{47500}$~(loutres).
\smallskip

%On fait l'hypothèse qu'en plus de la chute démographique due à la dégradation du milieu naturel, $68$ individus sont piégés tous les ans entre le 1\up{er} janvier et le 31 décembre.

\smallskip

%On modélise la population de loutres d'Europe en France par la suite $\left(u_n\right)$ définie par

\[u_0 = \np{50000}\quad  \text{et, pour tout entier naturel}\: n,\: u_{n+1} = 0,95u_n - 68.\]

%L'arrondi à l'unité de $u_n$ est alors égal au nombre de loutres de la population le 1\up{er} janvier de l'année $1930+n$. 
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$\bullet~~$$u_1 = 0,95 \times \np{50000} - 68 = \np{47500} - 68 = \np{47432}$.

$\bullet~~$$u_2 = 0,95 \times \np{47432} - 68 \approx  \np{45060} - 68 \approx \np{44992} \approx \np{47432}$.

L'impact du piégage est faible.
\item ~%L'algorithme ci-dessous permet d'estimer l'année à partir de laquelle la population de loutres d'Europe en France comptera moins de \np{1000} individus.


\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4cm}|}\hline
$N \gets 1930$\\
$U \gets \np{50000}$\\
Tant que {\red $N \geqslant \np{1000}$}\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets {\red U*0,95 - 68}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%Recopier et compléter cet algorithme.
Le nombre de loutres passera sous les \np{1000} individus la 61\up{e} année soit en en 1991.
\item %On estime que l'espèce est en danger d'extinction si elle comporte moins de \np{1000} individus. 

%Justifier le fait qu'un plan de réintroduction de la loutre d'Europe ait été mis en place en France à partir de l'année 1991.
Le nombre de loutres passera sous les \np{1000} individus la 61\up{e} année soit en en 1991. Ceci justifie le fait que cette année-là on ait commencé un plan de réintroduction de la loutre d'Europe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
À partir de 1991, la population de loutres d'Europe perd toujours 5\,\% de ses individus chaque année, mais le plan de sauvegarde prévoit:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item l'interdiction de la pose de pièges ;
\item la réintroduction de $250$ jeunes loutres au $31$ décembre de chaque année.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On suppose que la population au 1\up{er} janvier 1991 s'élève à \np{1000} loutres.

%\smallskip
%
%On modélise la population à partir du 1\up{er} janvier 1991 par la suite 
%$\left(v_n\right)$ définie par 

\[v_0 = \np{1000}\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: v_{n+1} = 0,95v_n + 250.\]

%L'arrondi à l'unité de $v_n$ représente le nombre de loutres au premier janvier de l'année $1991 +n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n - \np{5000}$.

%Justifier que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$.

%Préciser son terme initial $w_0$.
On a pour tout naturel $n$, \: $w_{n+1} = v_{n+1} - \np{5000} = 0,95v_n + 250 - \np{5000} = 0,95v_n - \np{4750} = 0,95\times v_n - 0,95 \times \np{5000} = 0,95\left(v_n - \np{5000}\right) = 0,95w_n$.

L'égalité $w_{n+1} = 0,95w_n$, vraie pour tout naturel $n$, \: montre que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0 = v_0 - \np{5000} = \np{1000} - \np{5000} = - \np{4000}$.
\item %Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$.
Pn sait qu'alors pour tout naturel $n$, \: $w_n = - \np{4000} \times 0,95^n$.
\item %En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $v_n = \np{5000} - \np{4000} \times  0,95^n$.
On a quel que soit $n$, \: $w_n = v_n - \np{5000} \iff v_n = w_n + \np{5000}$, soit finalement :

$v_n = \np{5000} - \np{4000}\times 0,95^n$, pour tout $n \in \N$.
\item %Dans l'hypothèse où l'on conserve la même évolution tous les ans, la population de loutres d'Europe en France peut-elle à long terme retrouver l'effectif de 1930 ? 

%Justifier.
Il faut résoudre l'équation $\np{50000} = \np{5000} - \np{4000}\times 0,95^n$, soit 

$\np{4000}\times 0,95^n = - \np{45000}$.

Cette équation n'a pas de solution puisque le membre de gauche est supérieur à zéro et celui de droite est inférieur à zéro.

Conclusion : la population de loutres d'Europe en France ne pourra pas à long terme retrouver l'effectif de 1930. Elle se rapprochera d'un maximum de \np{5000}.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 6 points}

\bigskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées séparément}

\medskip

\begin{minipage}{0.47\linewidth}
Sur le graphique ci-contre, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, de la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par:

\[f(x) = ax +bx \ln{} (x),\]

où $a$ et $b$ sont deux réels.

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.51\linewidth}
\psset{unit=1.35cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.01pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.9,0)(4,4)
\psplot[plotpoints=1000]{-1}{4}{x 0.5 mul 2 add}%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{4}{2.5 2 x ln mul sub x mul}
\uput[u](3,3.5){$T$}\uput[r](3,1){\red $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement $f(1)$ et $f'(1)$.
$\bullet~~$On lit $f(1) = 2,5$ ;

$\bullet~~$À partir des deux points (0~;~2) et (2~;~3) de la tangente on calcule son coefficient directeur : $\dfrac{3 - 2}{2 - 0} = \dfrac{1}{2}$ il est égal au nombre dérivé $f'(1)  = \dfrac{1}{2}$.
\item %Vérifier que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = a + b + b\ln{} (x)$.
Endérivant comme un produit : $(bx\ln{}x)' = (bx)'\times \ln {} x + bx \times (\ln{} x)' = b\ln{} x + bx \times\dfrac{1}{x} = b\ln{} x + b$, on a :
$f'(x) = a + b\ln{} x + b = a + b + b\ln{} x$.
\item %Déduire des deux questions précédentes les valeurs de $a$ et $b$.
O a donc $\left\{\begin{array}{l c l}
f(1) &=& 2,5\\
f'(1) = \dfrac{1}{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a + b\ln 1&=&2,5\\
a + b + b\ln 1&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&2,5\\
a + b&=&\dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&2,5\\
b&=&0,5 - 2,5
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&2,5\\
b &=&- 2\end{array}\right.$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 

\[f(x) = 2,5x - 2x \ln{} (x)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner l'expression de $f'(x)$.
D'après la partie A, $f'(x) = a + b + b\ln{} x = 2,5 - 2 - 2\ln{} x = 0,5 - 2\ln{} x$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$. (Les limites aux bornes ne sont pas demandées).
$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff 0,5 - 2\ln{} x > 0 \iff 0,5 > 2\ln{} x \iff 1 > 4\ln{} x \iff \dfrac{1}{4} > \ln{} x$ et par croissance de la fonction exponentielle $\text{e}^{\frac{1}{4}} > x$ ou $x < \text{e}^{\frac{1}{4}}$ ; 

$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff 0,5 - 2\ln{} x < 0 \iff 0,5 > 2\ln{} x \iff 1 < 4\ln{} x \iff \dfrac{1}{4} < \ln{} x$ et par croissance de la fonction exponentielle $\text{e}^{\frac{1}{4}} < x$ ou $x > \text{e}^{\frac{1}{4}}$ ; 

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff x = \text{e}^{\frac{1}{4}} \approx 1,284$

Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur $\left]- \infty~;~\text{e}^{\frac{1}{4}}\right]$ et décroissante sur $\left[\text{e}^{\frac{1}{4}}~;~+ \infty\right]$ avec un maximum $f\left(\text{e}^{\frac{1}{4}} \right) = 2,5 \times \text{e}^{\frac{1}{4}} - 2\text{e}^{\frac{1}{4}}\times \ln{}\text{e}^{\frac{1}{4}} \approx 2,568$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C :}

\medskip

%\begin{minipage}{0.65\linewidth}
%On souhaite installer des abris à vélos couverts.
%
%Pour les fabriquer, on a besoin de connaître l'aire des faces latérales.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.35\linewidth}
%\includegraphics[width=5cm]{abri_velo}
%\end{minipage}
%
%\medskip
Soit E le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $0,04$ et F le point d'abscisse 2 ayant même ordonnée que E. 
 
Une face latérale est représentée par le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ les droites d'équation $x = 0,04$ et $x = 2$ et la droite (EF) parallèle à l'axe des abscisses (voir figure ci-dessous).

\begin{center}
\psset{unit=2.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.25)(3.5,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.04}{2}{2.5 2 x ln mul sub x mul}
\psline(2,2.227)(2,0.3575)(0.04,0.3575)
}
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(3.5,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.001}{4}{2.5 2 x ln mul sub x mul}
\uput[ur](0.04,0.3575){E}\uput[ur](2,0.3575){F}
\uput[ur](0.04,0){P}\uput[ur](2,0){Q}\uput[ul](0.8,2.4){\red$\mathcal{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.04,0.3575)(2,0.3575)(2,0)(0.04,0)
\psline[linestyle=dashed](0.04,3)(0.04,0)
\psline(0,0.3575)(3.5,0.3575)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par :

\[G(x) = x^2 [1,75 - \ln{}(x)]\]

est une primitive de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.

La fonction $G$ est un produit de fonctions dérivable et sur $]0~;~ +\infty[$, on a :

$G'x) = 2x[1,75 - \ln{}(x)] - \dfrac{1}{x} \times x^2 = 3,5x - 2x\ln {} x - x = 2,5x - 2x\ln {} x = f(x)$.

Ceci montre que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$.
\item On souhaite calculer $\displaystyle\int_{0,04}^2f(x)\: \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les quatre propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui permet de calculer cette intégrale:
		
%\begin{center}
%		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$f(2) - f(0,04)$& $G(2) - G(0,04)$& $f(0,04) - f(2)$& $G(0,04) - G(2)$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
D'après la question précédente : $\displaystyle\int_{0,04}^2f(x)\: \text{d}x = \left[G(x)\right]_{0,04}^2 = G(2) - G(0,04)$.
		\item %Donner une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0,04}^2f(x)\: \text{d}x$ à $10^{-1}$ près.
On a $G(2) - G(0,04) = 2^2 [1,75 - \ln{}(2)] - 0,04^2 [1,75 - \ln{}(0,04)] = 1,75(4 - \np{0,0016})- 4\ln{} 2 + \np{0,0016}\ln{} 0,04 = \np{6,9972} - 4\ln {} 2 + \np{0,0016}\ln{} 0,04 \approx 4,21$, soit environ 4,2 au dixième près.
	\end{enumerate}
\item %Toutes les dimensions sont exprimées en mètre. En déduire une valeur approchée, à $0,1$~m$^2$ près, de l'aire d'une face latérale.
L'ordonnée de E est égale à $f(0,04) \approx \np{0,3575}$.

L'aire de la face latérale est égale à l'aire précédente à laquelle il faut retrancher l'aire du rectangle PQFE et l'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 0,04$.

L'aire du rectangle PQFE est environ $4 - 0,04) \times 0,3575 \approx 0,7$.

D'autre part $\displaystyle\int_0^{0,04} f(x)\:\text{d}x = G(0,04) - G(0) = 0,04^2(1,75 - \ln {} (0,04)\approx 0,008$.

L'aire de la face latérale est donc à peu près égale à :

$4,21 - 0,7 - 0,008 \approx 3,502$, soit 3,5~m$^2$ au dixième près.
\end{enumerate}
\end{document}