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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole--La Réunion 18 juin 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une
bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$. La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$}&
\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$}&
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$}&
\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$}.
\end{tabularx}
\medskip

\item $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - \text{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1 \times z_2$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$}& 
\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$}&
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$}&
\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$}
\end{tabularx}
\medskip

\item Les solutions de l'équation différentielle $y" + \dfrac{1}{3} y = 0$ sont de la forme :


\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$}

\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$t \mapsto A \cos \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t \right) + B \sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$}

\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t \mapsto A\text{e}^{-\sqrt{3}t}$}

\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t \mapsto - \dfrac{1}{3}$}.

\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 1}$. La limite de cette fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- \infty$}&
\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$+ \infty$}&
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0$}&
\textbf{d.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$2$}.
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip
{\footnotesize
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un
conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.

La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.

On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.

Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres (km), la relation liant $P_E$, $P_S$ et $L$ est donnée par : $P_S = P_E \times  \text{e}^{- aL}$
où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
 
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
 
Dans tout l'exercice :

\begin{itemize}
\item la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $\np[mW]{7}$;
\item à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $\np[mW]{0,08}$;
\item pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $\np[mW]{0,08}$.
\end{itemize}
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le premier type de fibre de longueur $100$~km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. 

Pour ce type de fibre, il sera nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie.
En effet, calculons $P_S (100)$ pour $a=\np{0.046}$.\hspace{3em} $7\times \e^{-\np{0.046}\times100}\approx\np{0.0703}$.

Le signal à la sortie n'est pas détectable car inférieur à $\np[mW]{0,08}$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la
variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035 y = 0$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolvons l'équation différentielle  (E) : $y' + 0,035 y = 0$.

Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur $\R$ sont les fonctions $y$ définies par $y(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\np{0.035}$. Les solutions de  (E) sont les fonctions définies par $y(t)=C\e^{-\np{0.035}t}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $g(0) = 7$, vérifions que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
		
	
$g(x) = 7\text{e}^{-0,035x}$.
		
	Pour  ce faire, déterminons la valeur de $C$. $y(0)=C\e^{-\np{0.035}\times 0}=C=7$.	
	
	Par conséquent la fonction $g$ solution de (E) vérifiant la condition initiale est définie par :
$g(x)=7\e^{-\np{0.035}x}$ pour tout $x$ de $[0~,~+\infty[$.


		\item  Le coefficient d'atténuation de cette fibre est \np{0.035}.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le sens de variation de la fonction $g$.
		
		La fonction dérivée est définie par $g'(x)=7\left(-\np{0.035}\e^{-\np{0.035}x}\right)=-\np{0.245}\e^{-\np{0.035}x}$.
		
		Pour tout $x \in[0~,~+\infty[,\quad g'(x)<0 $ comme produit d'un réel strictement négatif et d'un réel strictement positif.
		
		Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 
		
		Pour tout $x \in[0~,~+\infty[,\quad g'(x)<0 $ par conséquent la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0~,~+\infty[$.

		\item Déterminons la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
		
		$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=0$ car $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\e^{-x}=0$.
		
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le signal sera-t-il encore détecté au bout de $100$~km de propagation ? Calculons $g(100)$.
		
		$g(100)=7\e^{-\np{0.035}\times 100}\approx \np{0.2114}$. Il sera donc possible de détecter le signal.
		\item Déterminons la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal
à la sortie sans amplification. Résolvons $g(x)< \np{0.08}$.

$7\e^{-\np{0.035}x}< \np{0.08}\ ;\quad \e^{-\np{0.035}x}< \np{0.01142857}\ ;\quad  -\np{0.035}x< \ln \np{0.01142857}\ ;\quad x> -\dfrac{\ln\np{0.01142857}}{\np{0.035}}\ ;\quad$

$ x > \np{127.76}$ à $10^{-2}$~près.

La longueur maximale de la fibre permettant une détection est d'environ \np[km]{127.76}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip
{\footnotesize 
Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en
France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil
et GPL).

Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à \og faible émission de
CO$_2$ \fg{} c'est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.

\medskip

\textbf{Document 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{5}{|m{14.6cm}|}{Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux,
l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de CO$_2$ par véhicule
de 100 g/km.}\\
\multicolumn{5}{|>{\centering \arraybackslash}c|}{\textbf{Ventes et prévisions}}\\ \hline
\small \textbf{Véhicules (VP-VUL)} &\small \textbf{Ventes 2010}&\small  \textbf{Parc 2010}&\small \textbf{Prévisions ventes 2030}& \textbf{Prévisions parc 2030}\\ \hline 
Véhicules thermiques 	&100\,\% &100\,\% &64\,\% &89\,\%\\ \hline 
Véhicules hybrides 		&0\,\% &0\,\% &24\,\% &7\,\%\\ \hline 
Véhicules électriques 	&0\,\% &0\,\% &12\,\% &4\,\%\\ \hline 
\textbf{Total des voitures VP et VUL}& 2,2 millions& 35 millions& 2 millions& 35 millions\\ \hline 
Émission moyenne de CO$_2$ par véhicule& 127 g/km &165 g/km &49 g/km &100 g/km  \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Document 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013}}\\ \hline
\textbf{Véhicules (VP- VUL)}& \textbf{Ventes 2011}& \textbf{Ventes 2012}& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline
Véhicules hybrides &\np{13600} &\np{27730} &\np{41340}\\ \hline
Véhicules électriques&\np{4313} &\np{9314} &\np{13954}\\ \hline
\textbf{Total des ventes y compris véhicules thermiques}&
\np{2204065}& \np{1898872} &\np{1790000}\\ \hline
\end{tabularx}
}
\vspace{1.5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon les prévisions de l'ADEME,   le nombre de véhicules hybrides
vendus serait en 2030 de \np{480000} véhicules. \hspace{1em} $\dfrac{24}{100}\times \np{2000000}=\np{480000}$.

\item Selon les prévisions de l'ADEME,   le pourcentage de véhicules à
faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile serait en 2030 de 11\,\%.

 En effet, la base étant la même, les véhicules à faible émission de CO$_2$
sont les véhicules hybrides (7\,\%) et les véhicules électriques (4\,\%).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}

\item  Le tableau suivant est incomplet. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Véhicules VP et VUL&\multicolumn{2}{|c|}{ Augmentation des ventes de véhicules}\\ \hline
&de 2011 à 2012 &de 2012 à 2013\\ \hline
Véhicules hybrides& 103,9\,\% &\ldots\\ \hline
Véhicules électriques &116\,\% &49,8\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Déterminons le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013.

D'après le document 2, en 2013 il y avait   \np{41340} véhicules hybrides contre \np{27730} en 2012. Le taux d'augmentation est de  $\dfrac{\np{41340}-\np{27730}}{\np{27730}}\approx \np{0.49080}$.

Le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013 est d'environ \np{49,1}\,\%.

\item {\footnotesize Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16\,\% par an de 2013 à 2030.

Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de \np{41340}.

On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique
de raison $1,16$.

On note $u_n$ le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année $2013 + n$.}
	\begin{enumerate}
		\item  $u_0=\np{41340}$.
		\item %Exprimons $u_n$ en fonction de $n$. 
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$

 d'où, $u_n=\np{41340}\times(\np{1.16})^n$
		
		
		\item L'augmentation de 16\,\% par an des ventes de véhicules hybrides  permettrait 
d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030.

En 2030, $n=17$ et $u_{17}=\np{41340}\times (\np{1.16})^{17}\approx \np{515414}$.

En 2030 il y aurait environ \np{515414} véhicules hybrides vendus alors que seulement \np{480000} véhicules hybrides étaient attendus.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques
de 2013 à 2030.
	
Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de \np{13954}.}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules
électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16\,\% à partir de 2013.
		
\begin{center}
		
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1&Année &Prévisions des ventes de voitures électriques\\ \hline
2& 2013& \np{13954}\\ \hline
3& 2014&  \np{16186,64}\\ \hline
4& 2015&  \np{18776,5024}\\ \hline
5& 2016&  \np{21780,74278}\\ \hline
6& 2017&  \np{25265,66163}\\ \hline
7& 2018&  \np{29308,16749}\\ \hline
8& 2019&  \np{33997,47429}\\ \hline
9& 2020&  \np{39437,07017}\\ \hline
10& 2021&  \np{45747,0014}\\ \hline
11& 2022&  \np{53066,52163}\\ \hline
12& 2023&  \np{61557,16509}\\ \hline
13& 2024&  \np{71406,3115}\\ \hline
14& 2025&  \np{82831,32134}\\ \hline
15& 2026&  \np{96084,33276}\\ \hline
16& 2027&  \np{111457,826}\\ \hline
17& 2028&  \np{129291,0782}\\ \hline
18& 2029&  \np{149977,6507}\\ \hline
19& 2030&  \np{173974,0748}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
Une formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour
compléter le tableau par \og recopie vers le bas \fg est :\hspace{2em} =\$B2*1,16.
		\item Ce taux d'augmentation annuel ne permettrait pas  d'atteindre les prévisions de l'ADEME
des ventes de véhicules électriques en 2030 car il est prévu d'atteindre \np{240000} véhicules électriques $ \left( \dfrac{12}{100}\times \np{2000000} \right)$.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle
des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l'ADEME
en 2030.
	
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline	
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$u$ : un nombre réel\\
\hspace{0.4cm}$q$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $u$ la valeur \np{173974}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $q$ la valeur $1,16$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant  \np{240000}$\\
\hspace{0.8cm}$q$ prend la valeur $q + 0,01$\\
\hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $\np{13954} \times  q^{17}$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $(q - 1) \times 100$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
	\begin{enumerate}
		\item La valeur \np{173974} prise par la variable $u$ dans l'initialisation de l' algorithme représente le nombre de véhicules électriques vendus en 2030 si le taux d'augmentation annuelle est de $\np{0.16}$.
		\item  Complétons le tableau ci-dessous.% Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c||*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étapes de l'algorithme&\multicolumn{2}{|c|}{ Variables}\\ \hline
&$q$& $u$\\ \hline
Initialisation& 1,16& \np{173974}\\ \hline
Étape 1 &\np{1.17} & \np{201306}\\ \hline
Étape 2 &\np{1.18}&\np{232644}\\ \hline
Étape 3 &\np{1.19}&\np{268532}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  La valeur affichée par l'algorithme est 19.  Ce résultat indique qu'il faudrait une augmentation annuelle de 19\,\% pour atteindre les prévisions en 2030.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip
{\footnotesize 
\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5~litre
de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1, 55~litre.

À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,015$.

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Celle des trois figures donnant la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale est la figure 3. La courbe de densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$. Cette courbe semble admettre comme axe de symétrie la droite d'équation $x=\np{1.5}$, valeur de $\mu$.

%Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
		
\begin{center}

\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}


\def\m{0.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}


\begin{center}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}



\def\m{1}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}



\def\m{1.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%  fonction densité
\psplot[plotpoints=10000]{\xmin}{\xmax}{\f}%         tracé de la fonction densité

\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

		\item À l'aide de la calculatrice $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)\approx \np{0.6827} $.
		
		\emph{\footnotesize Nous pouvions remarquer qu'il était demandé $p(\mu-\sigma \leqslant X\leqslant \mu+\sigma)$}
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de
jus de fruits est nulle. La loi normale n'est pas une loi discrète. 
		\item La probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits est 

$p(\np{1.46}\leqslant X\leqslant \np{1.54})$. À l'aide de la calculatrice, nous obtenons $p(\np{1.46}\leqslant X\leqslant \np{1.54})\approx \np{0.9923}$.
		\item La probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage est $p(X>\np{1.55})$.
		
	$p(X>\np{1.55})=1-p(X\leqslant\np{1.55})\approx 1-\np{0.9996} \approx \np{0.004}$.
%On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Une bouteille est dite conforme si elle contient entre $1,46$~litre et $1,54$~litre de jus de fruits.
Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est \np{0,0077}.
Un supermarché achète un lot de \np{10000}~bouteilles.}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée
de bouteilles non conformes dans un tel lot.

L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%   de la proportion $p$ observée est  : 

\[\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]
		 
 $\Bigg[\np{0.0077} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.0077} (1- \np{0.0077} )}{10000}}~ ,~ \np{0.0077} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.0077} (1- \np{0.0077} )}{10000}})\Bigg]\approx \big[\np{0.0060}~;~\np{0.0094}\big]$	
		\item Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le
gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.

		$p=\dfrac{90}{10000}=\np{0.009}$. Cette proportion de bouteilles non conformes appartient à l'intervalle de fluctuation. Par conséquent, 		
l'usine OCEFRAIS n'a pas de raison de s'inquiéter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}