\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} %\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-all,pst-node,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.5cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \addtolength{\headheight}{\baselineskip} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {métropole 7 septembre 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité} \lfoot{\small{Métropole correction}} \rfoot{\small{07 septembre 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole 07 septembre 2023}} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} (physique-chimie et mathématiques) \medskip \textbf{\large Contrôle de la température dans un lave-linge.} \medskip Lors d'un cycle de lavage d'une machine à laver le linge, la phase qui consomme le plus d'énergie est le chauffage de l'eau utilisée en phase de lavage. \medskip \textbf{Chauffage de l'eau dans le lave-linge.} \medskip Le chauffage de l'eau est assuré par une résistance chauffante d'une puissance électrique $P_{\text{\'e1ec}} = \np[kW]{2,0} $. En moyenne, le volume de l'eau utilisée lors d'une phase de lavage est $V = \np[L]{15} $. \medskip \textbf{ Q1.~~} Calculer la valeur du transfert thermique $Q $ nécessaire pour chauffer le volume d'eau $V$ lors d'un cycle de lavage de 20 \textcelsius{} à 40 \textcelsius. \medskip \textbf{Données :} \begin{itemize} \item Capacité thermique massique de l'eau : $C_{eau} = \np{4180}~J\cdot kg^{-1}\cdot^\text{o} C^{-1} $. \item Masse volumique de l'eau : $\rho_{eau} = \np[kg \cdot L^{-1}]{1,0} $. \end{itemize} \textbf{ Q2.~~} Donner la relation entre l'énergie électrique $E_{\text{é1ec}}$ consommée pendant la durée $\Delta t$ de la phase de chauffage et la puissance $P_{\text{é1ec}}$. Préciser les unités. \vspace{0.5cm} On considère que toute l'énergie électrique consommée par la résistance chauffante est transférée au volume d'eau. \medskip \textbf{ Q3.~~} Vérifier que la durée $\Delta t$ de la phase de chauffage est de l'ordre de 10 minutes. \medskip \textbf{Étude d'une thermistance CTN.} \medskip La température de l'eau est contrôlée par une thermistance CTN, qui est un composant dont la valeur de la résistance électrique $R$ varie en fonction de la température. Il est possible, au laboratoire, d'étudier les variations de la résistance d'une thermistance CTN en fonction de la température à l'aide du montage représenté dans le document 1. Les valeurs obtenues pour une thermistance donnée permettent de tracer la courbe suivante. \begin{center} \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.0003cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-3,-4000)(70,25000) \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.55pt](\n,-50)(\n,25000)} \multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray ](\n,-50)(\n,25000)} \multido{\n=0+1000}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)} \multido{\n=0+5000}{6}{\psline[linewidth=0.55pt](0,\n)(70,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,Dy=5000]{-}(0,0)(-0.1,-50)(71,25500) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2500,linestyle=dashed]{10}{60}{ 2.71828 x 0.042 neg mul exp 28785 mul} \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8,linecolor=red](10,20000)(15,15750)(20,12500)(25,10000)(30,8200)(35,6500)(40,5500)(45,4500)(50,3500)(55,3000)(60,2500) \uput[d](32,-2000){Température \textcelsius}\uput[l](-5,12500){R($\Omega$)} \end{pspicture} Document 2 - Résistance de la thermistance CTN en fonction de la température \end{center} \medskip Cette résistance (en $\Omega$), en fonction de la température $T$ (en \textcelsius), peut être modélisée par la fonction $R$ définie sur $[0~;~100]$ : \[R(T) = \np{28785}\times \e^{-0,042\times T}.\] \medskip \textbf{ Q4.~~} À l'aide du graphique, déterminons à partir de quelle température la résistance devient inférieure à $\np[ k\Omega]{10}$. Avec la précision donnée par le graphique, la courbe coupe la droite d'équation $y= \np{10000}$ au point d'abscisse $T = 25$ (en \textcelsius). \medskip \textbf{ Q5.~~} Résolvons sur $[0~;~100]$ l'équation $R(T) = \np{10000}$. \begin{align*} \np{28785} \e^{-0,042\times T}&=\np{10000}\\ \e^{-0,042\times T}&=\dfrac{\np{10000}}{\np{28785}}\\ \e^{-0,042\times T}&=\frac{\np{2000}}{\np{5757}}\\ -0,042\times T&=\ln \frac{\np{2000}}{\np{5757}}\\ T&=-\dfrac{\ln \frac{\np{2000}}{\np{5757}}}{\np{0.042}}\\ \end{align*} $T \approx \np{25.173}$ Cette valeur est approximativement la même que celle lue sur le graphique en réponse à la question\textbf{ Q4.} \medskip \textbf{ Q6.~~} On note $R'$ la fonction dérivée de $R$ sur $[0~;~100]$. Déterminons une expression de $R'(T)$ en $\Omega \cdot ^{\text{o}} C^{-1}$. \[R'(T)=-\np{28785} \times \np{0.042}\times \e^{-0,042\times T}= -\np{1208.97}\e^{-0,042\times T}\] La sensibilité de la thermistance CTN est donnée par la fonction $S$ définie sur $[0~;~100]$ par: \[ S = - \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}.\] Le dispositif de régulation de la température sera d'autant plus performant que la valeur de la sensibilité de la thermistance sera grande. \medskip \textbf{ Q7.~~} Montrons que la sensibilité de la thermistance CTN est environ 12 fois plus grande à 30~\textcelsius{} qu'à 90~\textcelsius. Pour ce faire, comparons $S(30)$ et $S(90)$. \[\dfrac{S(30)}{S(90)}=\dfrac{-\np{1208.97}\e^{-0,042\times 30}}{-\np{1208.97}\e^{-0,042\times 90}}=\dfrac{\e^{-0,042\times 30}}{\e^{-0,042\times 90}}\approx 12,43.\] Nous avons bien approximativement $S(30) = 12 S(90)$ \vspace{0.75cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 4 points} \begin{center} Mathématiques \end{center} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.} \textbf{Chacune d'elles est notée sur 1 point.} \vspace{1.25cm} \textbf{\textsc{Question} 1} \vspace{0.25cm} \emph{Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip On considère un réel $x$, strictement positif et on note $\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln (10)}$. Pour tout réel $x$, strictement positif, $\log(100x)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline A& B& C& D\\ \hline \psCancel[cancelType=b]{$10x$}& \psCancel[cancelType=b]{$100 \log (x)$} & $2 + \log (x)$ &\psCancel[cancelType=b]{$10 + \log (x)$} \\ \hline \end{tabularx} \[\log (100 x)=\log 100 +\log (x)=\log (10)^2+\log (x)=2 +\log(x)\] \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Question} 2} \vspace{0.5cm} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2\e^{3x} - 2$. Déterminons la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \[\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty} 2\e^{3x}-\lim_{x\to -\infty}2= 0-2=-2\] \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Question} 3} \vspace{0.5cm} On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Sur le graphique suivant, on considère le point E dont l'affixe est notée: $Z_\text{E}$. \begin{center} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false} \begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8) \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray](\n,-2.5)(\n,2.5)} \multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray](-2.5,\n)(2.5,\n)} \psaxes[linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5) \pscircle[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,0){3} \uput[ur](0,0){O}\uput[ur](1,1.732){$\text{E}$}\psdots[dotstyle=bullet,dotscale=1.2](0,0)(1,1.732)(2,0) \psline[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[ur](2,0){$\text{A}$} \end{pspicture} \end{center} Par lecture graphique, donnons l'écriture exponentielle de $Z_\text{E}$. \[z_{\text{E}}=2\e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\] Appelons A le point de coordonnées (2~,~0). Le point E appartient à la médiatrice de [OA]. Nous avons donc EO = EA $= 2$, puisque OE est le rayon du cercle. Le triangle OEA est donc équilatéral. Une mesure de ses angles est $\dfrac{\pi}{3}$rad. \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Question} 4} \vspace{0.5cm} On considère l'équation différentielle $(E)$ : \[y' = 2y + 0,5\] où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. Déterminons les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$. Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur $\R$ sont les fonctions $y$ définies par \[y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}\] où $C$ est une constante quelconque. $y'=2y+0,5 \iff y'-2y=0,5$ donc $a=-2,\ b=\np{0.5}$ par conséquent sur $\R$ $f(x)=C \e^{2x}+\dfrac{\np{0.5}}{2}$ c'est-à-dire $f(x)=C \e^{2x} - \np{0.25}$ où $C$ est une constante quelconque. \end{document}