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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Métropole correction}}
\rfoot{\small{07  septembre 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole 07 septembre 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

(physique-chimie et mathématiques)
\medskip

\textbf{\large Contrôle de la température dans un lave-linge.}

\medskip

Lors d'un cycle de lavage d'une machine à laver le linge, la phase qui consomme le
plus d'énergie est le chauffage de l'eau utilisée en phase de lavage.

\medskip

\textbf{Chauffage de l'eau dans le lave-linge.}

\medskip

Le chauffage de l'eau est assuré par une résistance chauffante d'une puissance
électrique $P_{\text{\'e1ec}} = \np[kW]{2,0} $.

En moyenne, le volume de l'eau utilisée lors d'une phase de lavage est $V = \np[L]{15} $.

\medskip

\textbf{ Q1.~~} Calculer la valeur du transfert thermique $Q $ nécessaire pour chauffer le volume
d'eau $V$ lors d'un cycle de lavage de 20 \textcelsius{} à 40 \textcelsius.

\medskip

\textbf{Données :}

\begin{itemize}
\item Capacité thermique massique de l'eau : $C_{eau} = \np{4180}~J\cdot kg^{-1}\cdot^\text{o} C^{-1} $.
\item Masse volumique de l'eau : $\rho_{eau} = \np[kg \cdot L^{-1}]{1,0} $.
\end{itemize}

\textbf{ Q2.~~} Donner la relation entre l'énergie électrique $E_{\text{é1ec}}$ consommée pendant la durée $\Delta t$
de la phase de chauffage et la puissance $P_{\text{é1ec}}$. Préciser les unités.

\vspace{0.5cm}

On considère que toute l'énergie électrique consommée par la résistance chauffante
est transférée au volume d'eau.

\medskip

\textbf{ Q3.~~} Vérifier que la durée $\Delta t$ de la phase de chauffage est de l'ordre de 10 minutes.

\medskip
\textbf{Étude d'une thermistance CTN.}
\medskip

La température de l'eau est contrôlée par une thermistance CTN, qui est un composant
dont la valeur de la résistance électrique $R$ varie en fonction de la température.

Il est possible, au laboratoire, d'étudier les variations de la résistance d'une
thermistance CTN en fonction de la température à l'aide du montage représenté dans
le document 1.

Les valeurs obtenues pour une thermistance donnée permettent de tracer la courbe
suivante.

\begin{center}
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.0003cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-3,-4000)(70,25000)
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.55pt](\n,-50)(\n,25000)}
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray ](\n,-50)(\n,25000)}
\multido{\n=0+1000}{26}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+5000}{6}{\psline[linewidth=0.55pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,Dy=5000]{-}(0,0)(-0.1,-50)(71,25500)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2500,linestyle=dashed]{10}{60}{ 2.71828 x 0.042 neg mul exp 28785 mul}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8,linecolor=red](10,20000)(15,15750)(20,12500)(25,10000)(30,8200)(35,6500)(40,5500)(45,4500)(50,3500)(55,3000)(60,2500)
\uput[d](32,-2000){Température \textcelsius}\uput[l](-5,12500){R($\Omega$)}
\end{pspicture}

Document 2 - Résistance de la thermistance CTN en fonction de la température
\end{center}
\medskip

Cette résistance (en $\Omega$), en fonction de la température $T$ (en \textcelsius), peut être modélisée
par la fonction $R$ définie sur $[0~;~100]$ :
\[R(T) = \np{28785}\times  \e^{-0,042\times T}.\]

\medskip

\textbf{ Q4.~~} À l'aide du graphique, déterminons à partir de quelle température la résistance
devient inférieure à $\np[ k\Omega]{10}$.

 Avec la précision donnée par le graphique, la courbe coupe la droite d'équation 

$y= \np{10000}$ au point d'abscisse $T = 25$ (en \textcelsius).

\medskip

\textbf{ Q5.~~} Résolvons sur $[0~;~100]$ l'équation $R(T) = \np{10000}$.

\begin{align*}
\np{28785} \e^{-0,042\times T}&=\np{10000}\\
 \e^{-0,042\times T}&=\dfrac{\np{10000}}{\np{28785}}\\
  \e^{-0,042\times T}&=\frac{\np{2000}}{\np{5757}}\\
  -0,042\times T&=\ln \frac{\np{2000}}{\np{5757}}\\
T&=-\dfrac{\ln \frac{\np{2000}}{\np{5757}}}{\np{0.042}}\\
\end{align*}
$T \approx \np{25.173}$

 Cette valeur est approximativement la même que celle lue sur
le graphique en réponse à la question\textbf{ Q4.}

\medskip

\textbf{ Q6.~~} On note $R'$ la fonction dérivée de $R$ sur $[0~;~100]$. Déterminons une expression de
$R'(T)$ en $\Omega \cdot ^{\text{o}} C^{-1}$.

\[R'(T)=-\np{28785} \times \np{0.042}\times  \e^{-0,042\times T}= -\np{1208.97}\e^{-0,042\times T}\]

La sensibilité de la thermistance CTN est donnée par la fonction $S$ définie sur $[0~;~100]$
par:
\[ S = - \dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}T}.\]

Le dispositif de régulation de la température sera d'autant plus performant que la
valeur de la sensibilité de la thermistance sera grande.

\medskip

\textbf{ Q7.~~} Montrons que la sensibilité de la thermistance CTN est environ 12 fois plus grande
à 30~\textcelsius{} qu'à 90~\textcelsius.

Pour ce faire, comparons $S(30)$ et $S(90)$.

\[\dfrac{S(30)}{S(90)}=\dfrac{-\np{1208.97}\e^{-0,042\times 30}}{-\np{1208.97}\e^{-0,042\times 90}}=\dfrac{\e^{-0,042\times 30}}{\e^{-0,042\times 90}}\approx 12,43.\]

Nous avons bien approximativement $S(30) = 12 S(90)$
\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 4 points}
\begin{center}
Mathématiques
\end{center}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des
autres.}

\textbf{Chacune d'elles est notée sur 1 point.}

\vspace{1.25cm}
\textbf{\textsc{Question} 1}
\vspace{0.25cm}

\emph{Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On considère un réel $x$, strictement positif et on note $\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln (10)}$.

Pour tout réel $x$, strictement positif, $\log(100x)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
A& B& C& D\\
\hline
\psCancel[cancelType=b]{$10x$}& \psCancel[cancelType=b]{$100 \log (x)$} & $2 + \log (x)$ &\psCancel[cancelType=b]{$10 + \log (x)$} \\
\hline
\end{tabularx}
 \[\log (100 x)=\log 100 +\log (x)=\log (10)^2+\log (x)=2 +\log(x)\]
\vspace{1cm}
\textbf{\textsc{Question} 2}
\vspace{0.5cm}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2\e^{3x} - 2$.

Déterminons la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

\[\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty} 2\e^{3x}-\lim_{x\to -\infty}2= 0-2=-2\]

\vspace{1cm}
\textbf{\textsc{Question} 3}
\vspace{0.5cm}

On désigne par i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

Sur le graphique suivant, on considère le point E dont l'affixe est notée: $Z_\text{E}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray](\n,-2.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray](-2.5,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,0){3}
\uput[ur](0,0){O}\uput[ur](1,1.732){$\text{E}$}\psdots[dotstyle=bullet,dotscale=1.2](0,0)(1,1.732)(2,0)
\psline[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[ur](2,0){$\text{A}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, donnons l'écriture exponentielle de $Z_\text{E}$.

\[z_{\text{E}}=2\e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\]

Appelons A le point de coordonnées (2~,~0). Le point E appartient à la médiatrice de [OA].

Nous avons donc EO = EA $= 2$, puisque OE est le rayon du cercle. Le triangle OEA est donc équilatéral. Une mesure de ses angles est $\dfrac{\pi}{3}$rad.

\vspace{1cm}
\textbf{\textsc{Question} 4}
\vspace{0.5cm}

On considère l'équation différentielle $(E)$ : 
\[y' = 2y + 0,5\]
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction
dérivée de $y$.

Déterminons les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  

\[y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}\] où $C$ est une constante quelconque.

$y'=2y+0,5 \iff y'-2y=0,5$ donc $a=-2,\ b=\np{0.5}$  par conséquent sur $\R$ $f(x)=C \e^{2x}+\dfrac{\np{0.5}}{2}$ 

c'est-à-dire $f(x)=C \e^{2x} - \np{0.25}$ où $C$ est une constante quelconque.
\end{document}