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% Tapuscrit et corrigé Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Antilles--Guyane},
pdftitle = {20 juin 2019},
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pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 10 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D - Antilles--Guyane ~\decofourright\\[5pt]10 septembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\smallskip
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations et le tableau de signes sont donnés ci-dessous:

%\begin{center}
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,2.5)
%\psframe(9,2.5)\psline(0,2)(9,2)\psline(1,0)(1,2.5)
%\psline(2.95,0)(2.95,2)\psline(3.05,0)(3.05,2)
%\psline(6.95,0)(6.95,2)\psline(7.05,0)(7.05,2)
%\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5) \psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5) \psline{->}(7.5,0.5)(8.5,1.5) 
%\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.5,1.9){$- \infty$} \uput[u](3,1.9){$- 1 $} 
%\uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7,1.9){$1$} \uput[u](8.5,1.9){$+ \infty$} 
%\rput(0.5,1){$f(x)$} 
%\end{pspicture}
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,1.5)
%\psline(0,1)(10,1)
%\psframe(10,1.5)\psline(2,0)(2,1.5)\psline(3.95,0)(3.95,1)\psline(4.05,0)(4.05,1)
%\psline(5.95,0)(5.95,1)\psline(6.05,0)(6.05,1)
%\rput(1,0.5){Signe de $f(x)$} \rput(3,0.5){$+$}\rput(5,0.5){$+$}\rput(7,0.5){$-$}
%\rput(8,0.5){$0$} \rput(9,0.5){$+$}
%\uput[u](1,0.9){$x$}\uput[u](2.5,0.9){$- \infty$} \uput[u](4,0.9){$- 1 $} 
%\uput[u](6,0.9){$1$} \uput[u](8,0.9){$2$} \uput[u](9.5,0.9){$+ \infty$}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\smallskip
%
%Une courbe susceptible de représenter la fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item~La première courbe ne convient pas car $f$ n'est pas positive sur l'intervalle $]-1~;~1[$.
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4.5,-2)(4,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
%\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,3)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,3)}
%\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\multido{\n=2+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\def\f{x dup mul 1.5 x mul sub 1 sub x dup mul 1 sub div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{\f}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  1 sub}%
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{\f }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1}
%\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-1.5){$x = - 1$}
%\rput{90}(1.2,2.5){$x = 1$}
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,3)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,3)
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-1)(0.5,-1)
%\end{pspicture*}
%\end{center} 
		\item~La deuxième courbe ne convient pas car $f$ n'est pas positive sur $]- \infty~;~- 1[$: 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(4,4)
%\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4.5,-1)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{-1.01}{2.65 x  add dup mul 4 mul 2 sub }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  2 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{x 2  sub x 1 sub div  }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1}
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-1)(1,4)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,4)
%\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-0.5){$x = - 1$}
%\rput{90}(1.2,3.5){$x = 1$}
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
%\end{pspicture*}
%\end{center} 

		\item~Pour la troisième courbe tout convient les variations, le signe de la fonction  et on a bien $f(2) = 0$.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4.5,-1)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
%\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{x 1 x  add div }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  2 add}%
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{ x 2  sub x 1 sub div  }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1  }
%\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-0.5){$x = - 1$}
%\rput{90}(1.2,3.5){$x =  1$}
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,4)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,4)
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

		\item~Pour la quatrième courbe il y a une incohérence : la fonction n'est pas définie en $- 1$ et ensuite elle est définie en $- 1$ : $f(- 1) = - 1$ !

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4.5,-2)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
%\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
%\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{1 1 x  add div neg 1 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul 2 add}%
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.6}{4}{ x 2  sub x  div  }
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1  }
%\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-1.5){$x = - 1$}
%\rput{90}(1.2,3.5){$x = 1$}
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,4)
%\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,4)
%\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
	\end{enumerate}
\item %On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par:

%\[f(x) = 4x^3 \quad \text{et } \quad g(x) = x^2 + x + 2.\]
%
%On note :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$.
%\item[$\bullet~~$] $\mathcal{D}$ le domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite
%d'équation $x = 1$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=5cm,yunit=1.25cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-0.5)(1.25,4.1)
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5](0,0)(-0.75,-0.5)(1.25,4.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{1.25}{x dup mul x add 2 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.25}{-0.5}{x 3 exp 4 mul}
%\pscustom[fillstyle=vlines,linecolor=orange,hatchcolor=orange]{
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1.25}{x dup mul x add 2 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.25}{0}{x 3 exp 4 mul}
%}
%\uput[u](0.4,2.6){$\mathcal{C}_g$}
%\uput[dr](0.55,0.63){$\mathcal{C}_f$}
%\rput(0.4,1.5){\boldmath $\mathcal{D}$\unboldmath}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%L'aire du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unité d'aire, est égale à:

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{31}{24}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{31}{12}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{15}{8}$&
%\textbf{d.~~}$\dfrac{11}{6}$
%\end{tabularx}
%\medskip
Les deux fonctions sont positives sur l'intervalle [0~;~1], donc on a :

$\mathcal{A}(\mathcal{D}) = \displaystyle\int_0^1 (g(x) - f(x))\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left(x^2 + x + 2 - 4x^3 - \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} + 2x - x^4 \right]_0^1 =$

$ \dfrac{1^3}{3} + \dfrac{1^2}{2} + 2\times 1 - 1^4 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}+ 2 - 1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}+ 1 = \dfrac{2 + 3 + 6}{6} = \dfrac{11}{6}$.
\item  %Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la densité d'une variable alé  = atoire suivant une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. L'aire du domaine grisé est environ égale à $0,68$.

%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=40cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-1.1,-0.02)(10.2,0.23)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.025]{->}(0,0)(-0.9,0)(10.2,0.225)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.025](0,0)(0,0)(10.2,0.225)
%\psGauss[linecolor=blue,mue=5,sigma=2]{-1}{10.2}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{\psGauss[linecolor=blue,mue=5,sigma=2]{3}{7}
%\psline(7,0)(3,0)(3,0.12)
%}
%\rput(5,0.085){aire $\approx  0,68$}
%\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,0.225)}
%\multido{\n=0.000+0.025}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(10.2,\n)}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%À partir de ce graphique, on en déduit que:
%
%	\begin{enumerate}
%		\item  $\mu = 2$ et $\sigma = 5$
%		\item  $\mu = 0,2$ et $\sigma = 5$
%		\item  $\mu = 5$ et $\sigma = 1$
%		\item  $\mu = 5$ et $\sigma = 2$
% \end{enumerate}
On lit sur le graphique $0,68 \approx P(\mu - \sigma~;~\mu + \sigma)$.

Donc $\mu = 5$ et $\sigma = 2$. 
\item  %Soit $a$ un nombre réel. La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[3~; ~a$].
 
%On sait que $p(X < 7) = 0,8$.
% 
%La valeur de $a$ est :
% 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}7,2 &\textbf{b.~~} 9 &\textbf{c.~~} 8& \textbf{a.~~} 8,2
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $p(X < 7) = \dfrac{7 - 3}{a - 3} = 0,8 \iff \dfrac{4}{a - 3} = 0,8 \iff 4 = 0,8(a - 3) \iff 4 = 0,8a - 2,4 \iff$

$ 0,8a = 6,4 \iff a = 8$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\medskip

%Les abeilles assurent la reproduction de plus des trois-quarts des espèces végétales du globe terrestre grâce à la pollinisation. Depuis une dizaine d'années, on constate une diminution du nombre de colonies d'abeilles à cause de l'évolution du climat et de l'utilisation d'insecticides pour protéger certaines cultures.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On observe une colonie constituée de \np{40000}~abeilles. On estime que, dans cette colonie, \np{1000}~abeilles naissent chaque jour et $500$ décèdent chaque jour de manière naturelle.
%
%Déterminer, en justifiant, le nombre de jours nécessaires pour que la population de cette colonie atteigne les \np{50000}~individus.
Chaque jour il y a \np{1000} naissances et 500 décès, donc chaque jour la colonie s'accroit de $\np{1000} - 500 = 500$ individus.

Le nombre d'individus est représenté par une suite arithmétique de premier terme $a_0 = \np{40000}$ et de raison $r = 500$. Si $n$ est le nombre de jours, il faut donc résoudre l'inéquation :

$\np{40000} + 500n \geqslant \np{50000} \iff 500n \geqslant \np{10000} \iff n \geqslant 20$.

La population atteindra les \np{50000} individus au bout de 20 jours.
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Après ce premier temps d'observation, un insecticide est régulièrement pulvérisé dans le champ près  duquel les abeilles butinent.
%
%On estime alors à 20\;\% la proportion d'abeilles de la colonie qui décèdent chaque jour à cause de cet insecticide. On suppose que le nombre de naissances et de décès de manière naturelle reste identique (\np{1000} naissances et $500$ décès de manière naturelle).
%Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'individus de la colonie $n$ jours après le début des pulvérisations de l'insecticide. On a donc $u_0 = \np{50000}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On modélise cette situation par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[u_{n+1} = 0,8u_n + 500.\]

%Calculer le nombre d'abeilles dans la colonie un jour après le début des pulvérisations.
On a donc $u_1 = 0,8 \times u_0 + 500 = 0,8 \times \np{40000} + 500 = \np{32000} + 500 = \np{32700}$.

Un jour après le début des pulvérisations, le nombre d'abeilles est égal à \np{32700}.
\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = u_n - \np{2500}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = 0,8v_n$.
		On a $v_{n+1}  = u_{n+1} - \np{2500} = 0,8u_n + 500 - \np{2500} = 0,8u_n -\np{2000}$.
		
		Or $\np{2000} = \dfrac{\np{2000} \times 0,8}{0,8} = 0,8 \times \dfrac{\np{2000}}{0,8}   = 0,8 \times \np{2500}$.
		
Donc  $v_{n+1}  = 0,8u_n - 0,8 \times \np{2500} = 0,8\left( u_n - \np{2500}\right) =  0,8v_n$.

Finalement : pour tout naturel $n$\:, $v_{n+1} = 0,8v_n$.
		\item %En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
Le résultat précédent montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 de premier terme $v_0 = u_0 - \np{2500} = \np{50000} - \np{2500} = \np{47500}$.
		
On sait qu'alors pour tout naturel $bn$, \: $v_n = v_0\times 0,8^n = \np{47500} \times 0,8^n$.
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n = \np{47500} \times 0,8^n + \np{2500}$.
$v_n = u_n - \np{2500} \iff u_n = v_n + \np{2500} = \np{47500} \times 0,8^n + \np{2500}$
 	\end{enumerate}
\item  %Des études ont montré qu'une colonie d'abeilles n'est plus en mesure d'assurer sa survie si elle compte moins de \np{5000}~individus.
	
%La colonie étudiée va-t-elle survivre ? Justifier la réponse.
Il faut étudier l'inéquation $v_n < \np{5000}$, soit 

$\np{47500} \times 0,8^n + \np{2500} < \np{5000} \iff \np{47500} \times 0,8^n < \np{2500} \iff 0,8^n < \dfrac{\np{2500}}{\np{47500}} \iff 0,8^n < \dfrac{25}{475} \iff 0,8^n < \dfrac{1}{19} \iff n \ln 0,8 < \ln \frac{1}{19} \iff n \ln 0,8 < - \ln 19 \iff n > - \dfrac{\ln 19}{\ln 0,8}$(car $\ln 0,8 < 0$).

Or $- \dfrac{\ln 19}{\ln 0,8} \approx 13,2$.

Donc le nombre d'abeilles passera au dessous du seuil de \np{5000} individus durant le 14\up{e} jour.

\emph{Autre méthode}

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$, car $0< 0,8 < 1$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  \np{47500} \times 0,8^n = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \np{2500} < \np{5000}$.

Ceci montre qu'il existe un jour où la population passant sous les \np{5000} la colonie d'abeilles sera en danger.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Le but de cette partie est de valider, ou non, la proportion $p = 0,2$ d'abeilles qui décèdent chaque jour à cause de l'insecticide.
% 
%L'insecticide utilisé ici provoque la désorientation des abeilles, ce qui perturbe leur retour à la colonie  et entraîne leur mort.
% 
%Un matin, on équipe $500$ abeilles de la colonie, de puces électroniques. On constate le lendemain que, dans cet échantillon de $500$ abeilles, $102$ sont décédées à cause de l'insecticide.
% 
%Cette observation est-elle compatible avec l'hypothèse $p = 0,2$ au seuil de $95$\;\% ?
%
% \psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
%\begin{minipage}{\linewidth} 
%\emph{On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\;\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par }:\[\left[ p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] .\]
%\end{minipage}
%}
On a $n \geqslant 30$, \:$np = 500 \times 0,2 = 100$ et $n \times (1 - p) = 500 \times 0,8 = 400$ ; on peut donc calculer 
l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\;\% qui est égal à :

$\left[0,2 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,2 \times 0,8}{500}} ~;~1,96 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,2 \times 0,8}{500}}\right] \approx [0,164~;~0,236]$.

Or sur l'échantillon la fréquence observée est égale à : $\dfrac{102}{500} = \dfrac{204}{\np{1000}} = 0,204$.

Comme $0,204 \in [0,164~;~0,236]$, on peut considérer que la proportion $p = 0,2$ est crédible.
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.

Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On dispose des renseignements suivants :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{.5\linewidth}|X|>{\centering \arraybackslash}m{.4\linewidth}|}\cline{1-1}\cline{3-3}
%\textbf{Caractéristiques des bornes de recharge}&&\textbf{Exemples de capacités de batterie:}\\
%{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Type de borne de recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\ \hline
%\multirow{2}{*}{Normal}&\multirow{2}{*}{230}&16\\ \cline{3-3}
% &&32\\ \hline
%\multirow{2}{*}{Semi-rapide}&\multirow{2}{*}{400}&16\\ \cline{3-3}
%&&32\\ \hline
%Rapide& 400 &63\\ \hline
%\end{tabularx}}& &{\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
%$\bullet~~$ Marque A : 22 kWh\\
%\\
%$\bullet~~$ Marque B : 24 kWh\\
%\\
%$\bullet~~$ Marque C : 33 kWh\\
%\\
%$\bullet~~$ Marque D : 60 kWh\\ 
%\end{tabularx}}\\
%&&\\[.1cm]\cline{1-1}\cline{3-3}
%\multicolumn{1}{c}{\textbf{Document 1}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Document 2}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
%\begin{minipage}{.5\linewidth}
%\begin{center}
%\textbf{Bon à savoir, pour une batterie vide}
%\end{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}}
%Après 50 \;\% du temps de charge complète, la batterie est à environ à 80\,\% de sa capacité de charge.
%&\psset{unit=.8cm}\begin{pspicture}(0,.8)(2,2.5)
%\psframe[linewidth=2pt,framearc=.3,fillstyle=solid, fillcolor=white,linecolor=darkgray](.5,0)(1.5,2.5)
%\psframe[linewidth=1pt,fillstyle=solid, fillcolor=darkgray,linecolor=darkgray](.8,2.5)(1.2,2.7)
%\psframe[linewidth=1pt,fillstyle=solid, fillcolor=darkgray,linecolor=darkgray](.65,.15)(1.35,2)
%\rput[l]{90}(1,.5){\white{\large {\sf{80 \%}}}}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
%\end{minipage}
%}
%
%\textbf{Document 3}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).

%Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).

%On considère une batterie de la marque D.

%Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.
La puissance de charge \og Rapide /fg{} est égale à $400 \times 63 = \np{25200}$~W soit 25,2 kW.

Donc le temps de charge est égale à $\dfrac{60}{23,2} \approx 2,38$~h soit 2h et $0,38 \times 60 = 22,8$~min donc environ 2~h 23~min.
\item  %Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle :

\[y' + 0,55y = 12,1.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre cette équation différentielle sur $[0~;~+\infty[$.
		On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par :
		
		$f(t) = K\text{e}^{- 0,55 t} + \dfrac{12,1}{0,55} = K\text{e}^{- 0,55 t} + 22$ avec $K \in \R$.
		\item %Justifier que $f(0)=0$.
		Au temps $t = 0$, la batterie est déchargée donc $f(0) = 0$.
		\item  %Montrer que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par: $f(t) = - 22\text{e}^{-0,55t} + 22$.
		D'après la question précédente :
		
		$f(0) = 0 \iff K\text{e}^{- 0,55 \times 0} + 22 = 0 \iff K + 22 = 0 \iff K = - 22$.
		
		Donc $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par: $f(t) = -22\text{e}^{-0,55t} + 22$.
		\item  %La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour que la batterie soit chargée à 50\,\%. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(t) = 11$ et en déduire la durée d'une demi-charge, exprimée en heure et minute.
On a $f(t) = 11 \iff -22\text{e}^{-0,55t} + 22 = 11 \iff 11 = 22\text{e}^{-0,55t} \iff \dfrac{1}{2} = \text{e}^{-0,55t} = \iff \ln \dfrac{1}{2} = - 0,55t \iff - \ln 2 = - 0,55t \iff $

$\ln 2 = 0,55t \iff t = \dfrac{\ln 2}{0,55} \approx 1,260$.

$1,26$~h $= 1$~h et $0,26 \times 60$~min soit 15,6~min.

Le temps de demi-charge est à peu près égal à 1~h 16~min.
		\item  %Dans la pratique, on considère que le temps de charge complète de ce type de batterie est d'environ 6 heures.
		
%Vérifier l'affirmation du document 3.
Une batterie de marque A a une capacité de 22 kW. Elle sera à 80\,\% de sa capacité soit à $22 \times 0,80$ au bout d'un temps $t$ tel que :

$22 - 22\text{e}^{-0,55t} = 22 \times 0,8$, soit en simplifiant par 22 :

$1 - \text{e}^{-0,55t} = 0,8 \iff \text{e}^{-0,55t} = 0,2$, d'où par croissance de la fonction logarithme népérien :

$- 0,55t = \ln 0,2 \iff t = \dfrac{\ln 0,2}{- 0,55}$.

Or $\dfrac{\ln 0,2}{- 0,55} \approx 2,92625$ soit 1~h et $0,92625 \times 60 \approx 55,56$

La batterie est à 80\,\% de sa charge à un peu moins de 3~h : le document 3 dit vrai.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Une thermistance est un composant électronique dont la résistance varie en fonction de la température et qui est utilisé, entre autres, comme capteur de température.
%
%Afin d'alerter les utilisateurs de cas de surchauffe, on munit les batteries de thermistances.
%
%Un constructeur de thermistances indique que la valeur $R$, exprimée en Ohm $(\Omega)$, de la résistance de celle-ci est donnée, pour des températures $\theta$, exprimées en degré Celsius ($\degres$C) et comprises entre $0~\degres$C
%et $120~\degres$C, par  : 
%
%\[R = - 0,04 \theta^3 + 7,2 \theta^2 - 240 \theta + \np{3000}.\]
%
%On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~120] par : 

\[g(x) = - 0,04x^3 + 7,2x^2 - 240x + \np{3000}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la dérivée de $g$.
		La fonction polynôme $g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :
		
$g'(x) = -0,04\times 3x^2 + 2\times 7,2x - 240 = - 0,12x^2 + 14,4x - 240$.
		\item %Dresser, en justifiant, le tableau de variations de $g$ sur [0~;~120].
La dérivée de $g$ est un trinôme du second degré : $\Delta = 14,4^2 - 4 \times (- 0,12) \times (- 240) = 207,36 - 115,2 = 92,16 > 0$, avec $92,16 = 9,6^2$.

Les racines du trinôme sont donc :

$x_1 = \dfrac{-14,4 + 9,6}{2 \times (- 0,12)} = \dfrac{4,8}{0,24} = 20$ et $x_2 = \dfrac{-14,4 - 9,6}{2 \times (- 0,12)} = \dfrac{24}{0,24} = 100$.

On sait que $g'(x) < 0$, sauf sur l'intervalle [20~;~100] où $g'(x) \geqslant 0$.

La fonction est donc décroissante sauf sur l'intervalle [20~;~100] où elle est croissante, d'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.1,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$20$}\uput[u](7,2.4){$100$}\uput[u](9.7,2.4){$120$}
\rput(0.5,2.25){$g'(x)$}\rput(2,2.25){$-$}\rput(4,2.25){0}\rput(5.5,2.25){$+$}\rput(7,2.25){0}\rput(8.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$g(x)$}\uput[d](1.38,2){\np{3000}}\uput[u](4,0){760}\uput[d](7,2){\np{11000}}\uput[u](9.6,0){\np{8760}}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %En déduire la résistance maximale et la température pour laquelle elle est atteinte.
La résistance maximale est $g(100) = \np{11000}$, obtenue à 100\degres.
 	\end{enumerate}
\item  %Un message d'alerte apparaît sur l'ordinateur de bord du véhicule lorsque la résistance atteint \np{5000}~$\Omega$, ce qui signifie que la batterie est trop chaude.
	
%On cherche la température correspondant à cette valeur.
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, à un degré près, de la température cherchée.
D'après le tableau de variations, on cherche sur l'intervalle [20~;~100]. la calculatrice donne 

$g(50) = \np{4000}$ et $g(60) = \np{5880}$, donc la température appartient à [50~;~60], puis 

$g(55) = \np{4925}$ et $g(56) = \np{5114,6}$, donc la température appartient à [55~;~56].

Le message d'alerte apparaît sur l'ordinateur de bord du véhicule entre 55\degres{} et 56\degres.
		\item  On considère l'algorithme suivant : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  20$\\
$y  \gets 760$\\
Tant que $y < \np{5000}$\\
\hspace{0,8cm}$x \gets x + 1$\\
\hspace{0,8cm}$y \gets - 0,04x^3 + 7,2x^2 - 240x + \np{3000}$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $x$ contienne la température cherchée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  4 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère le nombre complexe $z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $z_1$ sous forme algébrique.
		On sait que $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc 
		
$z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i} \sin \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + \text{i}$.
		\item %Vérifier que $z_1$ est solution de l'équation $(2 + \text{i})z = 1 + 3\text{i}$.
$\bullet~~$En remplaçant dans l'équation :
		
$(2 + \text{i})(1 + \text{i}) = 1 + 3\text{i} \iff 2 + 2\text{i} + \text{i} - 1 = 1 + 3\text{i}$ qui est vraie.
		
$\bullet~~$En résolvant l'équation :

$(2 + \text{i})z = 1 + 3\text{i} \iff z = \dfrac{1 + 3\text{i}}{(2 + \text{i})} = \dfrac{(1 + 3\text{i})(2 - \text{i})}{(2 + \text{i})(2 - \text{i})} = \dfrac{2 + 3 + 6\text{i} - \text{i}}{4 + 1} = \dfrac{5 + 5\text{i}}{5} = 1 + \text{i}$	
 	\end{enumerate}
\item %Écrire le nombre complexe $z_2 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
On calcule d'abord le module de $z_2$ :

$\left|z_2\right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_2\right| = 2$.

On factorise ce module dans l'écriture de $z_2$ :

$z_2 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$.

On reconnait $- \dfrac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{2\pi}{3}$, donc 

$z_2 = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin  \frac{2\pi}{3}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
\item %On considère $z_3$ le nombre complexe de module 4 et d'argument $\dfrac{7\pi}{6}$.

On a donc $z_3 = 4\text{e}^{\frac{7\pi}{6}}$.

D'autre part $z_1^2 \times z_2 = \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right)^2\times 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\times 2\text{e}^{\frac{2\pi}{3}} = 4 \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 4\text{e}{\text{i}\left(\frac{3\pi}{6}  + \frac{4\pi}{6}\right)} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$.

On a donc $z_3 = z_1^2 \times z_2$.

%Vérifier  que $z_3 = z_1^2 \times z_2$.
\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
	
On considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$,\; $z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et

$z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} - 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan complexe représenté en annexe page 10/10 (à rendre avec la copie).
Voir à la fin.
		\item %Démontrer que le triangle OBC est rectangle en O.
On a $\vect{\text{OB}}\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{OC}}\begin{pmatrix}-2\sqrt{3}\\- 2\end{pmatrix}$.

Calculons le produit scalaire $\vect{\text{OB}} \cdot \vect{\text{OC}} = - 1 \times (-2\sqrt{3}) + \sqrt{3} \times (- 2) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$ ; les vecteurs $\vect{\text{OB}}$ et $\vect{\text{OC}}$ sont orthogonaux, donc les droites (OB) et (OC) sont perpendiculaires, donc le triangle OBC est rectangle en O.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 4}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.,-5.)(5.,5.)
\psgrid[gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5.5,-5.5)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle[linewidth=1.2pt](0,0){1}
\pscircle(0,0){2}\pscircle(0,0){3}\pscircle(0,0){4}\pscircle(0,0){5}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(1,1)(-1,1.732)(-3.464,-2)
\uput[ur](1,1){A}\uput[ul](-1,1.732){B} \uput[dl](-3.464,-2){C}
\pspolygon(0,0)(-1,1.732)(-3.464,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}