% Modèle de document en LaTeX
%Version 1.5 du 19/07/2002
% Auteur : Michel Gosse
%email : michel.gosse@ac-poitiers.fr

% Utilisation : il suffit de commenter ou de
% décommenter les lignes voulues.

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{diagbox}

\usepackage{lscape}

\usepackage{variations}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[np]{numprint}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
% Chargement des fontes mathématiques

% Choix des polices de caractèrs :
%\usepackage{times}
% On utilise la police times
%\usepackage{times,euler}
\usepackage{fancybox}
% Package pour fabriquer des boites
% On insère une boite ombrée par la commande :
% \shadowbox{texte à mettre en boite}
\usepackage{lastpage}
%Package pour numéroter les pages par
% rapport à la dernière. La commande
% \thepage
% renvoie le numéro de la page courante
%  \pageref{LastPage}
% renvoie le numéro de la dernière page du document.
% Il faut compiler deux fois le document.

\everymath{\displaystyle}

%\usepackage{geometry}
%package pour gérer la taille des marges
%pour avoir une marge horizontale de 1,5 cm et
% une marge verticale de 1,5 cm
%\geometry{ hmargin=1cm, vmargin=2cm }
\addtolength{\topmargin}{-17pt}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\textwidth}{19cm}
\addtolength{\voffset}{-30pt}
\addtolength{\hoffset}{-95pt}
\setlength{\columnsep}{40pt}
\usepackage{fancyhdr}
% package pour faire des entêtes
%On décommente les lignes suivaes :
%  \pagestyle{fancy}
% \lhead{en tête en haut à gauche}
% \chead{ en tête en haut au centre}
%  \rhead{en-tête en haut à droite}
% \lfoot{en-tête en bas à gauche}
% \cfoot{en-tête en bas au centre}
% \rfoot{en-tête en bas à droite}
\usepackage{amsmath,theorem,fancybox,fancyhdr,ifthen,lastpage,calc,color}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{Tabbing}
%\input{variation}
\usepackage{multicol}
% permet de faire du multicolonnage.
% Pour insérer deux colonnes :
% \begin{multicols}{2}
%insérer votre texte
% \end{multicols}
% \columnbreak  pour un saut de colonne
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}
% trace les lignes verticales entre les colonnes
\usepackage{enumerate}
%permet de faire des listes personnalisées
% Par exemple :
% \begin{enumerate}[argument] où argument vaut :
% A : \item produira A. B.....
% a : \item produira a. b.
% I : \item produira I, II, IIi
% i : \item produira i, ii, iii..
% 1: \item produira 1, 2, 3
% EX i : \item produira EX i., EX ii,
% {A}-I \item produira A-I, A-II,...
% \end{enumerate}

%\everymath{\displaystyle}
% met tous les symboles mathématiques en grande taille.
% Ces deux packages gèrent le français et
% permettent l'utilisation des lettres accentuées.

% copyright Herbert Voss
% compilation avec les options pdftex ou dvips
% pour les packages graphicx et hyperref.
%\newif \ifpdf
%    \ifx \pdfoutput \undefined
%        \pdffalse
%    \else
%        \pdftrue
%\fi
%
%\ifpdf
%    \pdfinfo { /Author (votre nom et votre email)
%               /Title  (Le titre du document)
%               /Subject (Le sujet du document)
%%ces données apparaitront dans les commentaires du fichier
%%pdf généré par pdflatex.
%    }
%    \pdfcatalog { /PageMode (/UseNone)
%              % /OpenAction (fitbh)
%    }
%\usepackage[pdftex]{graphicx}
%%    \usepackage[pdftex]{hyperref}
%\else
%   \usepackage[dvips]{graphicx}
%%    \usepackage[ps2pdf]{hyperref}
%   \fi

% Gestion des graphiques avec le package graphicx :
% On insère le graphique fig.eps avec une
% échelle de 1 par la commande :
% \includegraphics[scale=1]{fig.eps}

%Gestion des liens avec le package hyperref :
%\href{url}{texte pour faire un lien}


%*******Macros diverses ***********

% Définit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

% Commandes perso

% hspace: usage \h{}
\newcommand{\h}{\hspace}

% fraction: usage \f{}
\newcommand{\f}{\frac}

% parenthèses : usage \lp ou rp(
\newcommand{\lp}{\left(}
\newcommand{\rp}{\right)}

% parenthèses : usage \la ou ra(
\newcommand{\la}{\lbrace}
\newcommand{\ra}{\rbrace}

% tabulations : usage \qq(
\newcommand{\qq}{\qquad}

% racine carrée : usage \rac{}
\newcommand{\rac}{\sqrt}

% Module, val absolue : gauche et droite : usage \l| et \r|
\newcommand{\lb}{\left|}
\newcommand{\rb}{\right|}


% newline : usage \n
\newcommand{\n}{\newline}

% Pour avoir de jolis vecteurs.
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}

% Ensembles R, C, N et D
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\disf}{\displaystyle\frac}
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\ie}{\leqslant}
% Repère (O,i,j)
%usage : \RE
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
% z=2 \lp \cos \f{\pi}{8} + i \sin \f{\pi}{8} \rp
%$\forall z \in \C$ - $\la -1 \ra$
%$arg \, \omega = \lp \V{AM} , \V{BM} \rp$
%*********Fin des macros***********

% Début du document
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D},
pdftitle = {Polynésie - 11 juin 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\landscape
\pagestyle{empty}
\begin{multicols*}{2}
\begin{center}
\shadowbox{\Large{Corrigé du baccalauréat STI2D Polynésie 11 juin 2015 }}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ \textsc {Exercice 1 }} \\

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit ~$M$~le point d'affixe ~$z$.\\
$\lvert z \rvert = 1 \iff OM = 1$\\
L'ensemble \textbf{E }cherché est donc le cercle de centre O et de rayon 1 : \textbf{réponse c.}

\item $z_1 = \sqrt2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ \quad $z_2 = - \sqrt3 + \text{i}$\\

Ecrivons ~~$z_2$~ sous forme exponentielle.

$\lvert z_2 \rvert = \sqrt{(-\sqrt3)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$\\

Soit~~$\theta = arg ( z_2)$

$\cos(\theta) = \dfrac{-\sqrt3}{2}$ \quad et \quad $\sin(\theta) = \dfrac12$ \qquad d'où \quad $\theta = \dfrac{5 \pi}{6}$

Ainsi on a \quad $z_2 =  2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} $

D'où \quad $z_1 z_2  = \sqrt2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times 2 \text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} = 2 \sqrt2  \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{5 \pi}{6} \right)} = 2 \sqrt2  \text{e}^{\text{i}\left(\frac{13\pi}{12} \right)} $\\

 \textbf{réponse c.}

\item $\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}} f(x) = - \infty$ \qquad  \textbf{réponse b.}


 
\item Soit l'équation différentielle $y'+ 2 y = 5$.

On sait que ses solutions sont toutes les fonctions définies sur ~$\R$, par une expression de la forme : \qquad $x \longmapsto C \text{e}^{-2x} + \dfrac52 \qquad C \in \R$

Parmi les quatre fonctions proposées, seule la \textbf{réponse a/} peut s'écrire sous cette forme, avec ~$C = - \dfrac12$ : en effet \quad $\dfrac{5 - \text{e}^{-2x}}{2} = \dfrac52 - \dfrac12 \text{e}^{-2x}$
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

%L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique
%dans les habitations, \ldots) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers.

%À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5\,\%
%par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de
%920 millions d'euros dans les services énergétiques.

%\begin{center}\textbf{Les résultats seront arrondis au million d'euros près}\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Chiffre d'affaires pour l'année 2015 : \quad $920 + \dfrac{5}{100} \times 920 = 966$ ~ millions d'euros.



\medskip

\item Augmenter de ~$5 \%$~ revient à multiplier par ~$1 + \dfrac{5}{100} = 1,05$

On a donc, pour tout entier ~$n$~: \quad $C_{n+1} = 1,05 C_n$.

La suite $\left(C_n\right)$ est géométrique de raison ~$1,05$~ et de premier terme ~$C_0 = 920$

\item  Pour tout entier ~$n$~: \qquad $C_n = C_0 \times 1,05^n = 920 \times 1,05^n$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Chiffre d'affaires en 2019 : \quad $C_5 = 920 \times 1,05^5 \approx 1174$ arrondi au million d'euros près. 
		\item $1,05^5 \approx 1,276$. Le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 est donc de ~$27,6 \%$, arrondi à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item  
%On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur
%ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
	\begin{enumerate}
		\item ~~\\
		%On considère l'algorithme ci-dessous.
%Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|rX|}\hline
1&\textbf{Variables}\\
2&\hspace{0.6cm} N: un nombre entier naturel\\
3&\hspace{0.6cm}  C : un nombre réel\\
4&\textbf{Initialisation}\\
5&\hspace{0.6cm}  Affecter à $N$ la valeur $0$\\
6&\hspace{0.6cm}  Affecter à $C$ la valeur $920$\\
7&\textbf{Traitement}\\
8&\hspace{0.6cm}  Tant que \textcolor{blue}{$C < 920 \times 2 $}\\
9&\hspace{1cm}  Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
10&\hspace{1cm} Affecter à $C$ la valeur $C * 1,05$\\
11&\hspace{0.6cm} Fin Tant que\\
12&\textbf{Sortie}\\
13&\hspace{0.6cm} Afficher \textcolor{blue}{$2014+N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

		\item En faisant tourner cet algorithme, on obtient l'affichage $N = 2029$
		
C'est donc en 2029 que le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services
énergétiques dépassera les \np{1840}~millions d'euros.
		\item Méthode plus directe : on résout l'inéquation ~~$(I) : 1,05^n \geqslant 2$.\\
		$(I)~~\iff \ln (1,05^n) \geqslant \ln 2 ~~ \iff ~~n \ln 1,05 \geqslant \ln 2 ~~\iff~~ n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,05}$
		
Or \quad $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,05} \approx 14,2$
		
Donc c'est bien 15 ans après 2014, donc en 2029 que ~$C_n$ aura doublé.
	\end{enumerate}
\item  Pour une hausse annuelle
de 10\,\% , on résout l'inéquation ~~$(I_2)~~: \quad 1,10^n \geqslant 2$.\\

$(I_2)~~\iff ~~n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,10}$

		Or \quad $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,05} \approx 7,3$
		
		Donc c'est à partir de ~$n = 8$~ soit l'année 2022, que ~$C_n$ aura doublé.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip


  

\textbf{A-- Étude de la fonction représentée par la courbe}\boldmath $(\mathcal{C})$\unboldmath

\medskip

%Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par

%\[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad  \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\]

%On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé
%(O,~A,~B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0) = 4$.\\

Or \quad $f(0) = 4 ~~ \iff ~~ k - 0,5\left(\text{e}^{0} + \text{e}^{0}\right) = 4 ~~ \iff ~~ k - 0.5 \times 2 = 4 ~~ \iff ~~ k = 5$

Donc on a bien : \quad $f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)$

\item $f(4) = f(-4) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,8} + \text{e}^{-0,8}\right)\approx 3,7$ ~à $10^{-1}$ près.

Cette valeur correspond à la hauteur sous le pont en bordure de chaussée pour véhicules motorisés.

En tenant compte de la hauteur de sécurité de 50~cm, on en déduit que la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour
qu'il puisse passer sous le pont est de ~$3,2$~mètres, à $10^{-1}$ près.
\item Pour tout réel $x$ de ~ $[-8~;~8]$, on a :

$f'(x) = -0,5 \left( 0,2 \text{e}^{0,2x} -0,2 \text{e}^{-0,2x}  \right) = - 0,1 \text{e}^{0,2x} + 0,1 \text{e}^{-0,2x}$\\

\begin{tabbing}


Or \quad $0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$ \=$= 0,1\text{e}^{-0,2x} - 0,1\text{e}^{-0,2x} \text{e}^{0,4x}$\\
\> $= 0,1\text{e}^{-0,2x} - 0,1\text{e}^{-0,2x + 0,4x}$\\
\> $= 0,1\text{e}^{-0,2x} - 0,1\text{e}^{0,2x}$\\
\> $= f'(x)$
\end{tabbing}
\item Pour tout réel ~$x$~, le facteur ~$0,1 \text{e}^{-0,2x}$~est strictement positif.

Donc ~$f'(x)$~ est du signe de ~$\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$~ sur $[-8~;~8]$.\\

Or \quad $1 - \text{e}^{0,4x} > 0 ~~\iff ~~ \text{e}^{0,4x} < 1 ~~\iff ~~ 0,4x < \ln 1 ~~\iff ~~ 0,4x < 0  ~~\iff ~~ x < 0 $


Tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$ :\\
\medskip
\begin{center}
\begin{variations}
% 1				&	2		&	3	&	4	& 5 		& 6 				\\ \filet
x				&	~~ -8	&		&		&	0 		&   	&  		8	\\ \filet
f'(x)			&			&		& +		& 	0		& -	 	&			\\ \filet
 \m{f(x)} 		&   f(-8) 	& &	\c	& \h{4} 	& \d 	&		f(8) 			\\
\end{variations}
\end{center}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B-- Calculs d'aires}

\medskip



\begin{enumerate}
\item
 
\begin{tabbing}
$I$ \= $= \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$\\
\> $= \left[ \dfrac{1}{0,2}\text{e}^{0,2x} + \dfrac{1}{-0,2}\text{e}^{-0,2x} \right]_{-8}^8 $\\
\> $= \left( \dfrac{1}{0,2}\text{e}^{1,6} - \dfrac{1}{0,2}\text{e}^{-1,6} \right) - \left( \dfrac{1}{0,2}\text{e}^{-1.6} - \dfrac{1}{0,2}\text{e}^{1,6} \right)$\\
\> $=  \dfrac{1}{0,1} \left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right)$\\
%\> $\approx 47,52$
\end{tabbing}


\item L'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut :\\
\begin{tabbing}
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(5 - f(x)\right)\:\text{d}x $ \= $= \displaystyle\int_{-8}^8 \left( 5 - \left(5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\right)\right)\:\text{d}x $\\
~~\\
\> $= \displaystyle\int_{-8}^8 \left( 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\right)\:\text{d}x$\\
~~\\
\> $= 0,5 I = 0,5 \times \dfrac{1}{0,1} \left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right) = 5 \left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right)$\\

\end{tabbing}

\item $S = 2 \times 5 \left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right) = 10 \left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}\right) \approx 47,51$ ~~m$^2$ \quad  à $10^{-2}$ près.
\item 
Nombre de bidons nécessaires : $N = \dfrac{S}{3 \times 5} \approx 3,2$
Donc 4 bidons seront nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette
construction.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  

$M$ suit la loi normale de moyenne $m = \np{1000}$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
	\begin{enumerate}
		\item La calculatrice donne ~$P(995 \leqslant X \leqslant \np{1005}) \approx 0,523$ à $10^{- 3}$ près\\

		\item $P( \text{\og paquet refusé \fg}) = P( X \leqslant 990) \approx 0,077$\\
	\end{enumerate}

\medskip

%Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet
%conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$.
		
%On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
		
\medskip
		
\item  
%On prélève au hasard 100~paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment
%important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec
%remise.
		
%On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet
%échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item On a une répétition de $100$ expériences aléatoires identiques et indépendantes (contrôle qualité d'un paquet) à deux issues possibles, succès ou échec, le succès consistant à prélever un paquet à rejeter, de probabilité $p = 0,08$. Donc la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100~;~0,08)$.
		\item $P(X = 3) = \dbinom{100}{3} \times 0,08^3 \times 0,92^{97} \approx 0,025$
		\item $P(X \geqslant 5) = 1 - P(X < 5) \approx 0,910$
	\end{enumerate}
\item  On suppose que la proportion $p$ de paquets non conformes vaut ~$p = 0,08$\\

On détermine alors l'intervalle de
fluctuation asymptotique à $95\,\%$ de la fréquence de paquets à rejeter sur un échantillon de 100 paquets.

\[I = \left[0,08 - 1,96\sqrt{\frac{0,08(1 - 0,08)}{100}}~;~0,08 + 1,96\sqrt{\frac{0,08(1 - 0,08)}{100}}\right]\]
		
$I = \left[0,027~;~0,133\right]$ \quad bornes arrondies à $10^{- 3}$ près\\

On calcule la proportion ~$f$~de paquets refusés sur l'échantillon de $100$~paquets prélevé dans le stock global : \quad $f = \dfrac{10}{100} = 0,1$
		
\textbf{Conclusion} : \quad $f \in I$~~ donc on peut considérer que l'échantillon est représentatif de l'usine.
	
\end{enumerate}
\end{multicols*}
\end{document}

