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%% Tapuscrit : Denis Vergès
%% Correction Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STD2I/STL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Polynésie 16 juin 2014~\decofourright\\[4pt]STI2D--STL spécialité SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie la réponse choisie}
}
\medskip
 
Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe $z = - 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le complexe $z^3$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{ $8$}&\textbf{b.~~} \psframebox[linewidth=0.02pt]{$ - 8$}&\textbf{c.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$8\text{i}$}&\textbf{d.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$- 8\text{i}$}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un argument de $z$ est 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$- \dfrac{2\pi}{3}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{ $\dfrac{2\pi}{3}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$- \dfrac{\pi}{3}$} &\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{ $\dfrac{\pi}{3}$}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y' - 3y = 2$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
 
Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$f(x) = 2\text{e}^{-3x}$} &\textbf{b.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{ $f(x) = \text{e}^{3x} + \dfrac{2}{3}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$f(x) = \text{e}^{\frac{2}{3}x}$ }&\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{ $f(x) = \text{e}^{3x} -  \dfrac{2}{3}$}
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 4\pi^2 y = 0$ qui vérifie $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$ admet comme représentation graphique : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\psCancel[linewidth=0.02pt]{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{0.4}{2.71828 x exp neg}
\end{pspicture}}&\psCancel[linewidth=0.02pt]{
\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{- cos(x*3.14159)}
\end{pspicture}}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\psframebox[linewidth=0.02pt]{\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{-cos(x*6.28318)}
\end{pspicture}}&\psset{unit=1cm,algebraic=true}\psCancel[linewidth=0.02pt]{\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{sin(6.28318*x)}
\end{pspicture} }
\end{tabularx} 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
\og \emph{En 2009, les Français ont en moyenne produit  $\np[kg]{374}$   de déchets ménagers par habitant.} \fg

Source Ademe

\medskip
 
Le maire d'une commune de \np{53700} habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit \np{23000}~tonnes de déchets en 2009. Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
 
Cela permit à la ville d'atteindre $\np[kg]{400}$ de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an pendant 5 ans.

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item  La déception du maire en 2009 est due à une quantité  de déchets ménagers supérieure à la moyenne nationale.

 Cette proportion est  $\dfrac{\np{23000000}}{\np{53700}}\approx \np{428.3}$. 
Dans sa commune, il a été produit en moyenne  $\np[kg]{428}$  de déchets  ménagers par habitant.
\item On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item À un taux d'évolution de $-\np{1.5}\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.015}=\np{0.985}$. Nous obtenons $d_1$ en multipliant $d_0$ par ce coefficient multiplicateur d'où $d_{1} = 0, 985d_{0}$. 
		\item Nous déduisons le terme suivant d'un élément de la suite en multipliant celui-ci par le même nombre, par conséquent  la suite $\left(d_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.985} et de premier terme 400. 

Exprimons $d_{n}$ en fonction de $n$.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici,

 $d_n=400\times(\np{0.985})^n$.

 calculons la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$.

 Une suite géométrique de raison $q$ avec $0<q<1$ est une suite convergeant vers 0.$\displaystyle \lim_{n\to +\infty}d_n=0$.
		\item Déterminons  la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 si la baisse se poursuit au même rythme.
		En 2014, $n=3$ calculons $d_3$. $d_3=400\times (\np{0.985})^3\approx 382$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel $N$ et le réel $d$.}\\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
				&Affecter à $d$ la valeur 400\\ 
Traitement :	& Tant que $d > 374$\\ 
				&\hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
				&\hspace{0,5cm} Affecter à $d$ la valeur $0,985d$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		& Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
 la valeur affichée pour $N$  est 5 . Ce résultat signifie qu'en 2016 (2011+5) la production de déchets ménagers dans la commune sera inférieure ou égale à  \np[kg]{374}, production moyenne  produite par les Français en 2009.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip
 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath près.}

 Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
  
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
 
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

\medskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [16,7~;~17,3].
 
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice nous obtenons $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)\approx \np{0.968}$.
\item La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme est la probabilité de l'événement contraire de l'événement précédent. $P(\overline{C})=1-\np{0.968}=\np{0.032}$
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de $200$. On prélève au hasard une boîte dans la production. 

On note $p$ la probabilité de l'évènement : \og la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme \fg.

\medskip
 
On prélève au hasard $200$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$~boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de $200$~boîtes en contient 6 non conformes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifions que $p = 0,03$. En moyenne chaque lot de $200$~boîtes  contient 6 boites non conformes. La probabilité d'obtenir une boite non conforme est par conséquent  $\dfrac{6}{200}$ d'où $ p=\np{0.03}$.

Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (200;\ \np{0.03}) par conséquent $p(X=k)=\binom{200}{k}(\np{0.03})^k(\np{0.97})^{200-k}$.


\item Calculons la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de $200$~boîtes.

 Calculons la probabilité de l'événement contraire $P(0\leqslant X \leqslant 1)$
 
$p(X=0)=\binom{200}{0}(\np{0.97})^{200}\approx \np{0.002} \quad p(X=1)=\binom{200}{1}(\np{0.03})(\np{0.97})^{200-1}\approx \np{0.014}$. 

Par conséquent $p(X \geqslant 2)=1-\left(\np{0.002}+\np{0.014}\right)=1-\np{0.016}=\np{0.984}$.


\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est : 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]\]

Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $200$. 

$p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \qquad\np{0.03} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.03}(1 - \np{0.03})}{200}}\approx \np{0.006}$

$p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \qquad \np{0.03} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.03}(1 - \np{0.03})}{200}}\approx \np{0.054}$

\item On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $200$~boîtes. Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté $10$ boîtes non conformes.
 
 La proportion de boites non conformes dans l'échantillon est égale à \np{0.05} $\left(\dfrac{10}{200}\right)$.
 
Il ne doit pas prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse puisque cette proportion appartient à l'intervalle de fluctuation à 95\,\%. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 6 \ln x + ax + b\] 

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, 

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Le point A(1~;~1) appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ (trait plein) ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$.
 
L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.1215}{6}{x ln 6 mul 3 x mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.85}{6}{6 x div 3 sub}
\psplot[plotpoints=80,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.01}{6}{x ln x mul 6 mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul sub 4.5 sub}
\uput[l](1,3){$\Gamma$}
\uput[ur](3,1.6){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](2,-6.2){$\Omega$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  La courbe $\Omega$ est la représentation graphique de $F$. La fonction $f$ n'étant pas toujours négative, la courbe $\Gamma$ ne peut être la courbe représentative de $F$ car  elle est la courbe représentatrice d'une fonction toujours décroissante.
\item Puisque A appartient à $\mathcal{C}_f$,  $f(1)=1$ et $f'(2)=0$ puisqu'en 2, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. 
\item  $f'(x)=6\times\dfrac{1}{x}+a$ . 
\item %À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, 
Puisque $f(1)=1$ en remplaçant $x$ par 1 nous obtenons $6\ln 1+a\times 1+b=1$ ou en simplifiant $a+b=1$.

Puisque $f'(2)=0$ en remplaçant $x$ par 2 nous obtenons $\dfrac{6}{2}+a=0$ ou en simplifiant $a+3=0$.

De cette dernière ligne, nous obtenons $a=-3$ et en reportant dans l'autre équation nous obtenons $b=4$.

 Par suite en reportant ces valeurs dans l'expression définissant $f$, nous avons : $f(x) = 6 \ln x - 3x + 4$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. 

\[\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}6\ln x +\lim_{x\to 0}(-3x+4)=-\infty +4=-\infty\]

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$ lorsque $x$ tend vers 0
%Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Montrons que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[,\: f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x)$.

Dans la partie précédente, nous avons déterminé la fonction dérivée de $f$.
Remplaçons $a$ par sa valeur.

 $f'(x)=\dfrac{6}{x}-3$. En factorisant par $\dfrac{3}{x},\ f'(x)=\dfrac{3}{x}\left(2-x\right)$. Nous avons obtenu le résultat attendu.
\item Étudions le signe de $f'(x)$. $f'(x)$ est du signe de $2-x$ puisque $x$ étant strictement positif, $\dfrac{3}{x}$ l'est également.

  Sur $\R \quad 2-x> 0\iff x<2$
  
Par conséquent si $x\in]0~;~2[,\ f'(x)>0$ et si $x\in ]2~;~+\infty[,\ f'(x)<0$.

\'Etudions les variations de la fonction $f$. 

Si pour tout $x\in I, \ f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $x \in]0~;~2[,\ f'(x)>0 $ par conséquent $f$ est strictement croissante sur ce intervalle.

Si pour tout $x\in I, \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Pour tout $x\in]2~;~+\infty[, \ f'(x)< 0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$2$}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[dr](7.32,0.45){$-\infty$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$6\ln 2-2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  La fonction $f$ admet un maximum en $2$ puisque en ce point la dérivée s'annule en changeant de signe.

$f(2)=6\ln2-3\times 2+4=6\ln 2-2 $. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par : $H(x) = 6x\ln x  - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.$
\begin{enumerate}
\item  $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$ lorsque $H'(x)=f(x$). 

\[H'(x)=6\ln x +6x\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{2}(2x)-2=6\ln x-3x+4=f(x)\]

$H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$.
\item Calculons la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 

\[I=\int_{1}^{\text{e}}f(x)\:\mathrm{d}x=\Bigg[H(x)\Bigg]_1^{\e}=H(\e)-H(1)=6\e\ln \e - \dfrac{3}{2}\e^2 - 2\e -\left(6\ln 1  - \dfrac{3}{2} - 2\right)=4\e-\dfrac{3}{2}\e^2+\dfrac{7}{2} .\] 


\item Sur $[1~;~\e],\ f(x)>0$. I est en unités d'aire, l'aire du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe  $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=\e$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec la précision permise par le  graphique,  $F(1)=-8$. 
		\item $F$ et $H$ sont des primitives de $f$ par conséquent $F(x)=H(X)+ C$. Déterminons la constante $C$.

 $F(1)=H(1)+C=-\dfrac{7}{2}+C=-8 \quad C=-8+\dfrac{7}{2}=-\dfrac{9}{2}$.

 $F(x)=6x\ln x-\dfrac{3}{2}x^2-2x-\dfrac{9}{2}$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}




\end{document}