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%% Tapuscrit : Denis Vergès
%correction : Jean-Claude Souque
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STI2D/STL},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D/STL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Polynésie 11 septembre 2014~\decofourright\\[4pt]STI2D--STL spécialité SPCL}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip 

On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : 

\[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Écrivons les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique. 
\begin{description}
\item[$\bigstar Z_1~~$:] 
\smallskip
$Z_1=\dfrac{3\sqrt{2}}{1+\text{i}}=3\sqrt{2}\times\dfrac{1}{1+\text{i}}=3\sqrt{2}\times\dfrac{1-\text{i}}{(1+\i)(1-\i)}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\left(1-\i\right)=\psshadowbox{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}$

$\Big\vert Z_1\Big\vert = \sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2}}=\sqrt{9}=3$

$\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\theta=\dfrac{-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}}{3}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$ d'où $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ \hspace {2em}\psshadowbox{$Z_1=3\left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+\i \sin\left( -\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$}
\item[$\bigstar Z_2~~$:]
$Z_2=\dfrac{4\i}{1+\i\sqrt{3}}=\dfrac{4\i(1-\i\sqrt{3})}{(1+\i\sqrt{3})(1-\i\sqrt{3})}=\i (1-\i\sqrt{3})=\psshadowbox{\sqrt{3}+\i}$

$\Big\vert Z_2\Big\vert=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$

$\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin \theta=\dfrac{1}{2}
\end{cases}$
d'où $\theta=\dfrac{\pi}{6}$\hspace{2em} \psshadowbox{$Z_2=2\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\i \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$}

\end{description}
\item  Les points A$_{1}$ et A$_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ ont été placés dans le repère donné en annexe. 
\item Calculons sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ .  

$Z_1Z_2=\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\i\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(\sqrt{3}+\i\right)=\dfrac{3\sqrt{2}\times \sqrt{3}}{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\i\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3\sqrt{2}\times \sqrt{3}}{2}\right)=\psshadowbox{\dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}+\i\left(\dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}\right )}$

donnons sa forme trigonométrique
$Z_1Z_2=\rho\rho'\left(\cos(\theta+\theta')+\sin(\theta+\theta')\right)$

$\rho\rho'=3\times 2 \qquad \theta+\theta'=\dfrac{-\pi}{4}+\dfrac{\pi}{12}=-\dfrac{\pi}{12}$ 

\psshadowbox{$Z_1Z_2=6 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$}

\item Déterminons les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.


par conséquent $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}=\psshadowbox{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1}{6}\times \left(-\dfrac{3(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}\right)=\psshadowbox{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip 
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de \np{22000}~\euro. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc 

$b_{0} = \np{22000}$.

%\medskip
 \newpage
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons  les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015. 

À une hausse de 4,5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{\np{4.5}}{100}$ c'est-à-dire 1,045.
 
 \begin{description}
\item[]$b_1=\np{22000}\times \np{1.045}=\np{22990}$.
\item[]$b_2=\np{22990}\times \np{1.045}=\np{24024.55}$.
\end{description}
\item Le bénéfice de l'année $(n+1)$ est celui de l'année $n$ multiplié par $\np{1.045}$.

$\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique puisque chaque élément sauf le premier, se déduit,  du précédent  en le multipliant par un même nombre. La  raison de cette suite est   $\np{1.045}$ et le premier terme $b_0=\np{22000}$.
\item Exprimons alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$.\hspace{2em} $b_{n}=\np{22000}\times(\np{1.045})^n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 {\footnotesize
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$N$ prend la valeur 0\\ 
$B$ prend la valeur \np{22000}\\ 
Tant que $B \leqslant \np{40000}$\\ 
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0,5cm}$B$ prend la valeur $1,045 * B$\\
Fin Tant que\\ 
$A$ prend la valeur $N + 2013$\\
Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 }
\begin{enumerate}
\item %Expliquer à quoi correspondent les variables N et B. 
La variable N correspond au rang de l'année après 2013 et B correspond au bénéfice prévu cette année-ci.
\item En exécutant cet algorithme,  le dernier résultat affiché est 2027. 
\item  Cette valeur correspond à la première année à partir de laquelle le bénéfice prévu sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
\item La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons dans $\R$ l'inéquation suivante: $\np{22000} \times 1,045^x > \np{40000}$.
		
		\begin{minipage}[]{0.45\linewidth}
		\begin{align*}
		\np{1.045}^x &>\dfrac{\np{40000}}{\np{22000}}\\
		\np{1.045}^x &>\dfrac{40}{22}\\
		\np{1.045}^x &>\dfrac{20}{11}\end{align*}\end{minipage}
		\begin{minipage}[]{0.45\linewidth}
\begin{align*}
		x\ln\np{1.045} &>\ln \left(\dfrac{20}{11}\right)\\
		x &>\dfrac{\ln\dfrac{20}{11}}{\ln\np{1.045}}\\
		x &> \np{13.582}
\end{align*}
\end{minipage}
		
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle $[\np{13.582}~;~+\infty[$.
		\item  Le résultat de la question 2. de la partie B donne l'année à partir de laquelle le bénéfice prévu dépassera \np{40000}~\euro{} et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente donne les rangs pour lesquels le bénéfice dépasse \np{40000}~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip
 {\footnotesize
Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé \og alcoolémie \fg{} et est mesuré en grammes par litre (g/L).

Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\R_{+}$ par :
$ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}$.
 }
 \smallskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures est $f(2)$. 

$f(2)=\np{2.5}\times 2\times \e^{-2}=5\e^{-2}\approx\np{0.677}$.

\item Montrons que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$. 

$f'(t)=\np{2.5}\e^{-t}+\np{2.5}t(-\e^{-t})=\np{2.5}\e^{-t}\left(1-t\right)$.

Nous avons bien obtenu le résultat attendu.
\item Vérifions que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :$(E) :\qquad  y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.$

 $2,5(1 - t)\text{e}^{- t}+  2,5t\text{e}^{- t}=\np{2.5}\e^{-t}\left( (1-t)+t\right)=\np{2.5}\e^{-t}$
 
 $f$ est une solution de $(E)$.

\item En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$,

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)=0 $ car $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \dfrac{\e^{t}}{t}=+\infty$ ; il en résulte que $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \dfrac{t}{\e^{t}}=0$.

% et donner une interprétation géométrique de cette limite. 
L'axe des abscisses est  asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de l'infini.
\item Déterminons les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
 
Étudions le signe de $f'(t)$.

 Pour tout $t$, nombre réel positif, $\np{2.5} \e^{-t}>0$ par conséquent le signe de $f'(t)$ est celui de $1-t$.
 
 Sur $\R \quad 1-t>0\iff t<1$. Il en résulte si $t\in[0~;~1[$ alors $f't)>0$ et si $t\in]1~;~+\infty[$ alors $f'(t)<0$.
 
 \emph{Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. }

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~1[$ car $f'(t)>0$ sur cet intervalle.
 
 \emph{Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.}

 La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1~;~+\infty[$ car $f'(t)<0$ sur cet intervalle.
\item La fonction $f$ admet un maximum en 1, valant $\np{2.5}\e^{-1}\approx \np{0.92}$. 

L'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée  est $\np[g/L]{0.92}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré,
  La courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ a été tracée.% On prendra 2~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 
\item En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5~g/L.
 
Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12~h, déterminons à partir de quelle heure, elle pourra reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure. Lisons sur le graphique l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=\np{0.5}$. Nous lisons environ 2 heures et trente-cinq minutes.

 Elle pourra partir vers 14 heures trente-cinq minutes.
%On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

\textbf{Partie A} Loi exponentielle et radioactivité

\medskip
 {\footnotesize
On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t  \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 

Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :
 
\[ P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]
 }
\begin{enumerate}
\item Montrons que pour tout 
$t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$. 

Une primitive de  $x\mapsto \lambda\e^{-\lambda x}$ est $x\mapsto -\e^{-\lambda x}$. 

$\displaystyle \int_0^t \lambda\e^{-\lambda x} \mathrm{d}x =\left[-\e^{-\lambda x}\right]_0^t=-\e^{-\lambda t}+1$

Par conséquent, nous avons bien $t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$. 


\item Calculons la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. 

En utilisant les données nous avons $ P(T \leqslant 18) = 1 - \text{e}^{-18\lambda}=\np{0.5}$. Résolvons $1 - \text{e}^{-18\lambda}=\np{0.5}$

\begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{align*}
  \text{e}^{-18\lambda}&=1-\np{0.5}\\
  \text{e}^{-18\lambda}&=\np{0.5}\\
  \ln \left(\text{e}^{-18\lambda}\right)&=\ln\np{0.5}\\
  -18\lambda&=\ln\np{0.5}
\end{align*}
\end{minipage}
  \begin{minipage}[]{0.4\linewidth}
\begin{align*}
  18\lambda&=\ln 2\\
  \lambda &=\dfrac{\ln2}{18}\\
  \lambda &\approx \np{0.0385}
\end{align*}
\end{minipage}
%On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$. 
\item On suppose que $\lambda = 0,04$.
 
 La durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227 est $\dfrac{1}{\lambda}$. 

$\dfrac{1}{\np{0.04}}=25$
 
  
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Loi normale et usinage

\medskip
 {\footnotesize
Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
 
\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près}.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$.
 
Calculons la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.  

 $P(\np{3.645}\leqslant X\leqslant \np{3.655})\approx \np{0.701}$

\item Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion p de pièces conformes est 79\,\%. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 



Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% lorsque p=\np{0.79} et n=100

\[I= \left[\np{0.79} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.79}(1 - \np{0.79})}{100}}~;~\np{0.79} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.79}(1 - \np{0.79})}{100}}\right] \approx [\np{0.710}~;~\np{0.870}]\]

On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$~pièces. 

Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
 
La proportion de pièces défectueuses est $\frac{25}{100}$ par conséquent celle de pièces conformes est de $\np{0.75}$. Cette proportion appartenant à $I$, il n'y a pas nécessité d'effectuer des réglages.

\end{enumerate}
\vfill


%\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}
\vspace{2cm}
 
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-10,-9)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9.9,-9)(8.5,8.5)
\psline(10;210)(10;30)
\psline(10;240)(10;60)
\psline(10;225)(10;45)
\psline(10;-30)(10;150)
\psline(10;-45)(10;135)
\psline(10;-60)(10;1200)
\pscircle(0,0){2} 
\pscircle(0,0){3}
\pscircle(0,0){4}
\pscircle(0,0){5}
\pscircle(0,0){6}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](2.12132,-2.12132)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=violet,dotscale =1.4,dotangle=45](1.73206,1)
\uput[r](2.12132,-2.12132){\textcolor{red}{A$_1$}}
\uput[r](1.73206,1){\textcolor{violet}{A$_2$}}
\end{pspicture*}
\end{center} 


\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(8.4,1.15)
\multido{\n=0+0.05}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.1](0,0)(-0.25,-0.05)(8.25,1.05)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\Func{ 2.71828 x  neg exp 2.5 x mul mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{8}{ \Func}
\psset{arrowscale=2}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](8,0){$t$ en heures}\uput[r](0,1.02){alcoolémie en g/L}\uput[d](2.54,0){\scriptsize $\approx 2$ h $35$min}
\psline[linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 2.542641 def \Func)(!2.542641 /x 2.542641 def \Func)(2.542641,0)
\end{pspicture}







\end{document}