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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,\\ énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI mars
 2010 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

%\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer, sous forme algébrique, les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ vérifiant le système : 
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%z_{1} + \text{i}z_{2} &=& 2 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)\\
%z_{1} - \text{i}z_{2} &=& \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)
%\end{array}\right.\]
Par somme des deux équations, on obtient $2z_{1} = 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \iff z_{1} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

De même par différence :

$2\text{i}z_{2} = 2 + 2 \text{i} \iff \text{i}z_{2} = 1 + \text{i} \iff z_{2} = 1 - \text{i}$. 
\item %On note A, B, C les points d'affixes respectives $a = 1 + \text{i}\sqrt{3},~~ 	b = 1 - \text{i},~~ c = ab$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la forme algébrique de $c$.
$c = ab = \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)(1 - \text{i}) = 1 + \sqrt{3} +\text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)$. 
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $a,~ b$ et $c$.
On a $|a|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow |a| = 2$ ;

On peut donc écrire $a = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3} \right)$.

Un argument de $a$ est donc $\dfrac{\pi}{3}$.

$|b|^2 = 1 + 1 = 2  \Rightarrow |b| = \sqrt{2}$.

Donc $b = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{-\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{-\pi}{4}\right)$.

Un argument de $b$ est donc $\dfrac{-\pi}{4}$

$|c| = |ab| = |a| \times |b|  = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

L'égalité $a = bc$ implique que arg$(c) = \text{arg}(a) +  \text{arg}(b) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{-\pi}{4} =  \dfrac{4\pi - 3\pi}{3 \times 4} = \dfrac{\pi}{12}$.
		\item %Placer les points A, B, C dans le repère \Ouv.
Voir plus bas.
	\end{enumerate} 
\item  %Déduire de la question précédente, la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
On a vu que $c = 1 + \sqrt{3} +\text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)$ et que son module est égal \`a  $2\sqrt{2}$.

On peut donc écrire :

$c = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}  \right)$.

On a vu d'autre part qu'un argument de $c$ est $\dfrac{\pi}{12}$.

Donc par identification des parties réelles et imaginaires :

\[\cos \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)}{4}~; ~\sin \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3} - 1 \right)}{4}.\]

\item  %Soit $M$ un  point quelconque du plan complexe d'affixe $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Interpréter géométriquement les modules $\left|z - (1 + \text{i}\sqrt{3})\right|$ et $|z- (1 - \text{i})|$·
$\left|z - (1 + \text{i}\sqrt{3})\right| = \text{A}M$ ; $|z- (1 - \text{i})| = \text{B}M$		 
		\item %Déterminer alors l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ tels que 
D'après la question précédente :
		
$\left|z - (1 + \text{i}\sqrt{3})\right| = |z- (1 - \text{i})| \iff \text{A}M = \text{B}M$.

L'ensemble des points $M$ est l'ensemble des points du plan équidistants de A et de B : ce sont les points de la médiatrice de [AB]. 
		\item %Représenter l'ensemble $\mathcal{D}$ dans le repère \Ouv. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1,1.732)(1,-1)(2.732,0.732)
\uput[ur](1,1.732){A}\uput[dr](1,-1){B}\uput[dr](2.732,0.732){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psline(-1,0.366)(4,0.366)
\uput[u](4,0.366){$\mathcal{D}$}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle notée
 
%\[(E) \quad  4y'' + 9y =  0\]

%où $y$ désigne une fonction numérique de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
L'équation $4r^2 + 9 = 0$  a pour solutions  $\dfrac{3}{2}\text{i}$ et $- \dfrac{3}{2}\text{i}$.

Les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc de la forme :

\[y = A\cos \dfrac{3}{2}t + B \sin \dfrac{3}{2}t.\]
\item  %Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions :
Avec $f(t) = A\cos \dfrac{3}{2}t + B \sin \dfrac{3}{2}t$, on déduit que $f'(t) = - \dfrac{3}{2}A\sin \dfrac{3}{2}t + \dfrac{3}{2}B\cos \dfrac{3}{2}t$.

Donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=& 1 \\
f'(2\pi)& =& \dfrac{3}{2}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A&=&1\\
\dfrac{3}{2}&=&-\dfrac{3}{2}B
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A&=&1\\
B&=&- 1
\end{array}\right.$

Donc $f(t) = \cos \dfrac{3}{2}t - \sin \dfrac{3}{2}t$.
%\[f(0) = 1 \quad  \text{et}\quad f'(2\pi) = \dfrac{3}{2}.\] 
\item  %Démontrer que pour tout nombre réel $t \quad : f(t) =\sqrt{2} \cos \left(\dfrac{3}{2}t +  \dfrac{\pi}{4}\right)$.
On peut écrire en factorisant $\sqrt{2}$ :

$f(t) = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos \dfrac{3}{2}t - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin \dfrac{3}{2}t \right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos \dfrac{3}{2}t - \sin \frac{\pi}{4}\sin \dfrac{3}{2}t\right) = \sqrt{2}\left(\dfrac{3}{2}t +  \dfrac{\pi}{4}\right)$ (en utilisant l'identité $\cos a\cos b - \sin a \sin b = \cos (a + b)$).
\item  %Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle 
%$\left[0~;~\dfrac{2\pi}{3}\right]$.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$\left[0~;~\dfrac{2\pi}{3}\right]$  est égale \`a :

\[V_{m} = \dfrac{1}{\frac{2\pi}{3} - 0}\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} f(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2\pi}\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \sqrt{2}\left(\dfrac{3}{2}t +  \dfrac{\pi}{4}\right)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2\pi}\times \sqrt{2}\times \left(\dfrac{-2}{3} \right) \left[\sin \left(\dfrac{3}{2}t +  \dfrac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{3}} =\]

\[ - \dfrac{\sqrt{2}}{\pi}\sin \left(\dfrac{3}{2}\times\frac{2\pi}{3} +  \dfrac{\pi}{4}\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{\pi} \times \left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{1}{\pi}.\]
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%\[f(x) = - \text{e}^{-x} + x^2 + x.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

%\medskip

\textbf{Partie A: Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $g(x) = \text{e}^{-x} + 2x + 1$. On note $g'$ la fonction dérivée de $g$.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g'(x)$.
$g$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et 

$g'(x) = - \text{e}^{-x} + 2$. 
\item %Déterminer le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
$g'(x) > 0  \iff  - \text{e}^{-x} + 2 > 0 \iff 2 > \text{e}^{-x} \iff \ln 2 > - x$ (par croissance de la fonction $\ln$) $\iff x > - \ln 2$.

De même  on obtient $g'(x) < 0 \iff x < - \ln 2$. 
\item %En déduire le sens de variation de $g$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels et dresser son tableau de variations. On précisera la valeur exacte de l'extremum de $g$.
On a donc :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si $x < - \ln 2,~g$ est décroissante ;
\item[$\bullet~$] si $x > - \ln 2,~g$ est croissante ;
\item[$\bullet~$] si $x = - \ln 2,~g$ a un extremum qui est un minimum : $g(- \ln 2) = \text{e}^{\ln 2} + 2\times (- \ln 2) + 1 = 2 - 2\ln 2 + 1 = 3 - 2\ln 2$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %En déduire que $g(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$.
Comme le minimum $g(- \ln 2)  = 3 - 2\ln 2 \approx 1,6 > 0$ il en résulte que $g$ est positive sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty.$
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.  
		\item %Vérifier que $f(x) = x^2\left(\dfrac{-\text{e}^{-x}}{(-x)^2} + 1 + \dfrac{1}{x}\right)$ et déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
On peut écrire :

$f(x) = x^2 \times \dfrac{1}{x^2}\left(-\text{e}^{-x}\right) + x^2 \times 1 + x^2 \times \dfrac{1}{x} = x^2\left(\dfrac{-\text{e}^{-x}}{(-x)^2} + 1 + \dfrac{1}{x}\right)$. 
	\end{enumerate}
\item %Étude des variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x :\quad  f'(x) = g(x)$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et :

$f'(x) = -\left(-\text{e}^{-x} \right)  + 2x + 1 = \text{e}^{-x} + 2x + 1 = g(x)$.
		\item %Déduire de la partie A le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$·
On a vu que sur $\R,~g(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $\R$.

En utilisant l'écriture trouvée au 1. b. on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty } \dfrac{\text{e}^{-x}}{(-x)^2} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty } \dfrac{-\text{e}^{-x}}{(-x)^2} = - \infty$ et comme 	$\displaystyle\lim_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x} = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty } f(x) = - \infty$.
	
\medskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psframe(5,2.5)
\psline(0,2)(5,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.4,2){$-\infty$} \uput[u](3,2){$0$} \uput[u](4.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,0.4)(4.5,1.6)
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](1.4,0){$-\infty$}\uput[d](4.5,2){$+ \infty$} 
\rput(3,1){$-1$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1]$.
On a $f(0) = - 1 < 0$ et $f(1) = -\text{e}^{-1} + 1^2 + 1 = 2 - \dfrac{1}{\text{e}} > 0.$

La fonction $f$ étant croissante sur l'intervalle [1~ ;~2], il existe donc un unique réel $\alpha$ avec $0 < \alpha < 1$ tel que $f(\alpha) = 0$. 
%À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice livre :

$f(0,4) \approx -0,11~;~f(0,5) \approx 0,14$ donc $0,4 < \alpha < 0,5$.

$f(0,44) \approx -0,01~;~f(0,45) \approx 0,01$ donc $0,44 < \alpha < 0,45$. 
\item %On considère la fonction $p$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $p(x) = x^2 + x$. 

%Sa courbe représentative notée $\mathcal{P}$ est représentée sur la feuille annexe. 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{P}$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par : 

$d(x) = f(x) - p(x) = - \text{e}^{-x}$

On sait que pour tout réel $x,~ \text{e}^{-x} > 0$, donc $-\text{e}^{-x} < 0$.

Quel que soit le réel $x \in \R,~d(x) < 0$ : géométriquement ceci signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est sous la courbe $\mathcal{P}$.
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - p(x)]$.
On a vu que $f(x) - p(x) = - \text{e}^{-x}$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - p(x)] = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} - \text{e}^{-x} = 0$.

Au voisinage de plus l'infini la courbe $\mathcal{P}$ est \og tangente \fg{} \`a la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item %Construire dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe en tenant compte des précédents résultats.
Voir plus bas.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $\beta$ un nombre réel strictement supérieur à 1. Calculer en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}(\beta)$ du domaine plan compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ d'une part, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \beta$ d'autre part.
On a $\mathcal{A}(\beta) = \displaystyle\int_{1}^{\beta} [p(x) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{\beta} \text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-x} \right]_{1}^{\beta} = \text{e}^{-1} - \text{e}^{-\beta}$~(u. a.) 
\item  %Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\beta)$ quand $\beta$ tend vers $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{\beta \to + \infty} \text{e}^{-\beta} = 0$, donc 

\[\displaystyle\lim_{\beta \to + \infty} \mathcal{A}(\beta) = \text{e}^{-1}.  \]
\end{enumerate}

\newpage

\psset{unit=0.75cm}
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\begin{pspicture}(-8,-8)(8,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-8,-8)(8,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-8,-8)(8,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-3.542}{2.542}{x dup mul x add}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-2.45}{2.542}{x dup mul x add 1 2.71828 x exp div sub}
\uput[l](-3.3,7.5){\blue $\mathcal{P}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[l](-2.1,-6){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}