\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{color}
%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.25cm,right=3.25cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI novembre
 2008 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}

\end{center}

%\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Des  feuilles de papier millimétré seront  mises à la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

%Le plan complexe est rapporté un repère orthonormat direct \Ouv. 

%L'unité graphique est 2~cm.

%On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

%On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :
%\[ P(z) = 4z^4 - 7z^3  + 11z^2 + 10z -12.\]

\begin{enumerate}
\item  %Résolution de l'équation $P(z) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les deux nombres réels $\alpha$  et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ :
		
		%\[P(z) =  \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right).\]
$P(z) = 4z^4 - 7z^3  + 11z^2 + 10z -12 = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right) =$

$ 4z^4 + \alpha z^3 + \beta z^2 - 8z^3 -2\alpha z^2 - 2\beta z + 16z^2 + 4\alpha z + 4\beta.$

En identifiant les termes de m\^eme degré :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-7&=& \alpha - 8\\
11&=&\beta - 2\alpha + 16\\
10&=&- 2\beta + 4\alpha\\
- 12&=&4\beta
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=& \alpha - 8\\
- 5&=&\beta - 2\alpha \\
10&=&- 2\beta + 4\alpha\\
- 3&=&\beta
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=& \alpha\\
11&=&\beta - 2 + 16\\
10&=&- 2\beta + 4\\
- 12&=&4\beta
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1&=& \alpha\\
-3&=&\beta\\
1&=&\alpha\\
- 3&=&\beta
\end{array}\right.$

Finalement :
\[P(z) =  \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 +  z - 3 \right).\]
		\item 	%Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
Dans $\C,~P(z) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z^2 - 2z + 4&=&0\\
4z^2 +  z - 3&=&0
\end{array}\right.$

Primo : $z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 + 3 = 0 \iff (z - 1)^2 - (\text{i}\sqrt{3})^2 = 0 \iff (z - 1 + \text{i}\sqrt{3})(z - 1 - \text{i}\sqrt{3}) = 0$.

D'o\`u les solutions : $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$.

Secundo : $4z^2 +  z - 3 = 0 \iff 4\left(z^2 + \dfrac{z}{4} - \dfrac{3}{4}\right) = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \dfrac{1}{64} - \dfrac{3}{4} = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \dfrac{49}{64} = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \left(\dfrac{7}{8} \right)^2 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\right)\left(z + \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{8}\right) = 0 \iff (z + 1) \left(z - \dfrac{3}{4}\right) = 0.$

D'o\`u les solutions : $- 1$ et $\dfrac{3}{4}.$

Finalement l'équation $P(z) = 0$ a quatre solutions : deux réelles $- 1$ et $\dfrac{3}{4}$ et deux solutions complexes  $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$.

	\end{enumerate}
\item %On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :
		
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}		
%$a = -1$,& $b = 1+\text{i}\sqrt{3}$,& $c = 1-\text{i}\sqrt{3}$,& $d = \dfrac{3}{4}$.\\
%\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $b$ et $c$.
$|b|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow |b| = 2$.

On peut alors écrire $b = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$. Un argument de $b$ esty donc $\dfrac{\pi}{3}.$

Comme $c = \overline{b}$ il en résulte que $|c| = 2$ et qu'un argument de $c$ est égal \`a $- \dfrac{\pi}{3}$.
		\item 	%Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv.
		Voir la figure
		\item 	%Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D dont on précisera le rayon $r$. Construire ce cercle.
		DA = $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{D}}\right| = \left|- \dfrac{7}{4}  \right| = \dfrac{7}{4}$ ;
		
DB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{D}}\right|^2 = \left| \dfrac{1}{4} + \text{i}\sqrt{3}  \right|^2 =  \dfrac{1}{16} + 3   = \dfrac{49}{16}$ ; donc DB = $\dfrac{7}{4}$ ;
 
M\^eme pour calcul pour DC = $\dfrac{7}{4}$ ;

Donc A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D et de rayon $\dfrac{7}{4}$.
		\item 	%Déterminer les affixes $e$ et $f$ des deux points E et F situés sur $\mathcal{C}$ et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle $\mathcal{C}$.
ABE rectangle en B entra\^{\i}ne que [AE] est un diam\`etre ; donc E est le symétrique de A autour de D soit le point d'affixe $\dfrac{5}{2}$.

De m\^eme ABF rectangle en A entra\^{\i}ne que [BF] est un diam\`etre, donc que F est le symétrique de B autour de D : $\dfrac{1}{2}\left(1+\text{i}\sqrt{3} + z_{\text{F}} \right) = \dfrac{3}{4} \iff 2\left(1+\text{i}\sqrt{3} + z_{\text{F}} \right) = 3 \iff 2z_{\text{F}} = 1 - 2\text{i}\sqrt{3} \iff z_{\text{F}} = \dfrac{1}{2} - \text{i}\sqrt{3}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(-1,0)(1,1.732)(1,-1.732)(0.75,0)(2.5,0)(0.5,-1.732)%ABCDEF
\uput[ul](-1,0){A}\uput[ur](1,1.732){B} \uput[d](1,-1.732){C}\uput[dr](0.75,0){D}\uput[dr](2.5,0){E}\uput[d](0.5,-1.732){F}
\pscircle(0.75,0){1.75}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon(1,1.732)(-1,0)(2.5,0)
\pspolygon(-1,0)(1,1.732)(0.5,-1.732)
\uput[ur](2.2,1){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
		
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

%À l'instant $t =  0$, une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide.

% On note $v(t)$ la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en $m.s^{-1}$, à un instant $t$ donné. 
% 
% On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle 
% \[(\text{E})~~:\quad  y' + 140y =  5,88.\]

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad  z' + 140z = 0$, où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
Les solutions de (H) sont les fonctions : $t \longmapsto z(t) = K\text{e}^{- 140t},~K \in \R$.

\item  %On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[,~ y(t) =  z(t) + 0,042$, où la fonction $z$ est une solution de l'équation différentielle (H). 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la fonction $y$ est une solution de l'équation différentielle (E).
		On a donc $y(t) = K\text{e}^{- 140t} + 0,042$, donc $y'(t) = - 140K\text{e}^{- 140t}$.
		
D'o\`u $y'(t) + 140y(t) = - 140K\text{e}^{- 140t} + 140K\text{e}^{- 140t} + 140 \times 0,042 = 5,88$.

Donc $y$ est une solution de l'équation différentielle (E).
		\item  %Parmi les fonctions $y$ précédentes, démontrer que celle, notée $v,$ qui s'annule pour $t = 0$, est définie par : $v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right)$.
		On a $v(t) = K\text{e}^{- 140t} + 0,042$ et $v(0) = 0 \Rightarrow v(0) = K + 0,042 = 0 \iff$
		
		$ K = - 0,042$.
		
		La fonction $v$ est donc définie par $v(t) = -0,042\text{e}^{- 140t} + 0,042$.
	\end{enumerate}
		
\item  Deux utilisations de l'expression trouvée de $v(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer, en étudiant la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée $\ell$ dont on donnera la valeur numérique.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 140t} = 0,~ \displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t) = 0,042~\left(m\cdot s^{-1}\right)$.
		\item  %À quel instant $t$ la bille atteint-elle 95\:\% de sa vitesse limite ?
		Il faut résoudre $-0,042\text{e}^{- 140t} + 0,042 = 0,95\times 0,042 \iff -\text{e}^{- 140t} + 1 = 0,95  \iff 0,05 = \text{e}^{- 140t}$ et par croissance de la fonction ln, 
		
$-140t = \ln 0,05 \iff t = - \dfrac{1}{140}\ln 0,05  \approx 0,021~s$. 
\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
	
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}	

%Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est 4~cm.)

%Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
%\[ f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$.

\medskip

\textbf{I -   Étude d'une fonction auxiliaire}

%On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 
%\[g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
 \item Étude des variations de $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
On a $g'(x) = \text{e}^x(x - 2) + \text{e}^x = \text{e}^x(x - 1)$ qui est du signe de $(x - 1)$, car quel que soit $x \in \R,~\text{e}^x > 0.$

Donc $g'(x) > 0 \iff x > 1$ et $g'(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.
		\item  %Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.~
		
\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.2,3){0} \uput[u](5,3){1} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}\rput(1,1){$g(x)$}
\rput(1,2.5){$g'(x)$}\rput(3.5,2.5){$-$}\rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$+$}
\psline{->}(2.5,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7) 
\uput[d](2.2,2){$-3$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}\uput[u](5,0){-1 - \text{e}} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Résolution de l'équation $g(x) = 0$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que l'équation $g(x) =  0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~ 3].
		On a $g(3) = \text{e}^3 - 1 \approx 19 > 0$ et $g(1) = - 1 - \text{e} \approx -2,7 < 0$.
		
Comme $g$ est dérivable sur [1~;~3], il existe un réel unique $\alpha \in [1~;~3]$ tel que $f(\alpha) = 0$.
		\item  %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
		La calculatrice donne :
		
$2,1 < \alpha < 2,2$, puis $2,12 < \alpha < 2,13$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
Sur [0~;~1], $g(x) < 0$, donc 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $[0~;~\alpha],~g(x) < 0$ :
\item $g(\alpha) = 0$ ;
\item sur $[\alpha~;~+ \infty[,~g(x) > 0$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{II -  Étude de la fonction} \boldmath  $f$ \unboldmath
\begin{enumerate}
\item  Étude de la limite en $+ \infty$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$,
%\[f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}.\]
En multipliant chaque terme par $\text{e}^{-x}$, on peut écrire :

$f(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}\left(\text{e}^x + 1\right)}{\text{e}^{-x}\left(\text{e}^x + x\right)} = \dfrac{1 + \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}$.
		\item  %En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} + 1 = 1.$

$ x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 + x\text{e}^{-x} = 1$ et finalement 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$.

Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale \`a $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ sur l'intervalle
$[0~;~ +\infty[$.

\item Étude des variations de $f$
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[,~ f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$  où $g$ est la fonction définie en 1.
		$f'(x) = \dfrac{ \text{e}^{x}\left(\text{e}^x + x  \right) - \left(\text{e}^x + 1\right)\left(\text{e}^x + 1\right)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + x\text{e}^x  - \text{e}^{2x} - 2\text{e}^x - 1}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{x\text{e}^x - 2\text{e}^x - 1}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x (x - 2) - 1 }{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$.
		\item  %Déduire de la question I. 4., le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
Comme pour tout $x,~\left(\text{e}^x + x \right)^2 > 0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu au dessus. Donc $f'(x) < 0$ si $x < \alpha$. D'o\`u le tableau de variations :
		
\medskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){$0$} \uput[u](5,3){$\alpha$} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$} \rput(1,2.5){$f'x)$} \rput(1,1){$f(x)$}`
\psline{->}(2.4,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.3,1.7) 
\rput(3.5,2.5){$-$}\rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$+$}
\uput[d](2.1,2){2}  \uput[d](7.6,2){$+ \infty$}){}
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}
\item %Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ dans le repère \Oij.
Voir la figure.
\end{enumerate}
		
\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(5,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1pt]{0}{1}{2.71828 x exp 1 add 2.71828 x exp  x add div}
\psline(1,1)(0,1)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](5.5,0){$x$} \uput[l](0,8){$y$}\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{5.5}{2.71828 x exp 1 add 2.71828 x exp  x add div}
\psline[linecolor=red](-0.5,1)(5.5,1)

\end{pspicture}
\end{center}
		
\textbf{III -  Calcul d'aire}
 
\medskip
 
%On note $\mathcal{B}$ l'aire, exprimée en cm$^2$ du domaine limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

\begin{enumerate}
\item  %Hachurer sur le graphique le domaine  $\mathcal{B}$.
Voir la figure ci-dessus.
\item  %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
En posant $u(x) = \text{e}^x+ x$ et apr\`es avoir calculé $u'(x) = \text{e}^x+1$, on constate que $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.

Comme $\text{e}^x > 0$ et $x \geqslant  0$ sur $[0~;~ +\infty[$, on en déduit que $u(x) > 0$.

Donc une primitive sur sur $[0~;~ +\infty[$ de $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est la fonction 

$x \longmapsto F(x) = \ln |u(x)| = \ln u(x) = \ln \left(\text{e}^x + x \right)$.
\item  %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{B}$, puis une valeur approchée arrondie au mm$ ^2$.
On a donc $\mathcal{B} = \displaystyle\int_{0}^1 [f(x) - 1]\:\text{d}x = \left[F(x) - x\right]_{0}^1 = \left[\ln \left(\text{e}^x + x \right) - x  \right]_{0}^1 = \ln \left(\text{e} + 1\right) - 1 - \ln (1 + 0) + 0 = \ln (1 + \text{e}) - 1.$ (en unités d'aire).

L'unité sur chaque étant égale \`a 4~cm, 1 u. a.  = 16~cm$^2$.

Donc $\mathcal{B} = 16 \times \left[\ln (1 + \text{e}) - 1\right] \approx \nombre{0,31326} \approx 0,31$~cm$^2$ au mm$^2$ pr\`es.
\end{enumerate}
\end{document}