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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique}
\lfoot{\small Métropole }
\rfoot{\small juin 2003}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{\decofourleft~\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat STI Métropole  juin 2003~\decofourright\\[5pt]Génie énergétique, génie civil, génie mécanique}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~cm.

\begin{enumerate}
\item %Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation

%\[z^2 - 6z + 34 = 0.\]
$\Delta = (- 6)^2 - 4 \times 34 = 36 - 136
 = - 100 = (10\text{i})^2$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :
 
 \[\dfrac{6 + 10\text{i}}{2} = 3 + 5\text{i} \quad ; \quad 3 - 5\text{i}.\]
 
\item %Soient A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = - 3 + 5\text{i},~ z_{\text{B}} = 3 - 5\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 4\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer A, B et C dans le repère.
Voir la figure à la fin de l'exercice.
		\item %Calculer les modules des nombres complexes $z_{\text{A}} - 3,~ z_{\text{B}} - 3$ et $z_{\text{C}} - 3$. En déduire que les points A, Bet C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
$z_{\text{A}} - 3 = 3 + 5\text{i} - 3 = 5\text{i}$, donc $\left|z_{\text{A}} - 3 \right| = 5$ ;		

$z_{\text{B}} - 3 = 3 - 5\text{i} - 3 = - 5\text{i}$, donc $\left|z_{\text{B}} - 3 \right| = 5.$

$z_{\text{C}} - 3 = - 3 + 4\text{i}$, donc $\left|z_{\text{C}} - 3 \right|^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \Rightarrow \left|z_{\text{C}} - 3 \right| = 5$.

Ces trois résultats signifient que les distances du point d'affixe $3$ aux points A, B et C sont égales à 5, donc A, B et C appartiennent au cercle de centre le point d'affixe 3 et de rayon 5.
		\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
A et B ont pour abscisse celle du centre du cercle, donc [AB] est un diamètre : le triangle ABC est inscrit dans un cercle dont l'un de ses c\^otés est un diamètre, c'est un triangle rectangle en C.
	\end{enumerate}

\item %Soit D le symétrique de A par rapport à C et E le symétrique de B par rapport à C. Placer les points D et E dans le repère. Montrer que ABDE est un losange.
C est le milieu des diagonales, donc ABDE est un parallélogramme ;

Ces diagonales sont perpendiculaires (ABC rectangle), donc le quadrilatère ABDE est un losange. 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-6)(8,13)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-4,-6)(8,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pspolygon(0,4)(3,5)(3,-5)
\uput[ul](0,4){C}\uput[ur](3,5){A}\uput[dr](3,-5){B}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](-3,3){E}\uput[l](-3,13){F}
\pspolygon(3,-5)(3,5)(-3,13)(-3,3)
\pscircle[linecolor=blue](3,0){5}
\psline(0,4)(-3,3) \psline(0,4)(-3,13)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Soit (E) l'équation différentielle 
%\[y' + 2y = 0\]
%où $y$ est une fonction numérique définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation (E).
		(E) est une équation différentielle linéaire du premier ordre de la dforme $y' - ay = 0$ dont les solutions sont les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = C\text{e}^{ax},\,C \in \R$. 
		
Les solutions de (E) dont donc les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = C\text{e}^{-2x},\,C \in \R$.
		\item %Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 1$.
$f(0) = 1 \iff C\text{e}^{-2\times 0} = 1 \iff C = 1$.

Donc $f(x) = \text{e}^{-2x}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0~;~10]$.
On a $V_{m} = \dfrac{1}{10 - 0}\displaystyle\int_{0}^{10} f(x)\:\text{d}x$.

On a $f(x) = \left(- \dfrac{1}{2} \right)\times \left(- 2\text{e}^{-2x}\right)$ ; donc une primitive de $f$ est $F$ définie par $F(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}$.

Donc $V_{m} = \dfrac{1}{10}\left[F(x)\right]_{0}^{10} = \dfrac{1}{10}\left[F(10) - F(0)\right] = \dfrac{1}{10}\left[- \dfrac{1}{2}\text{e}^{-20} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{0}\right] = \dfrac{1 - \text{e}^{- 20}}{10}$.
		\item %Déterminer, en fonction de $n$, la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[n~;~n+1]$.
On a de même :

$V_{m_{n}} = \dfrac{1}{n + 1 - n}\displaystyle\int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x = [F(n+1) - F(n)] = \left[- \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2(n+1)} +  \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2n}   \right] = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2n - 2} + \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2n} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2n}\left(1 - \text{e}^{-2}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $(u_n)$, la suite définie par $u_n = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2n}$ pour tout $n$ entier positif ou nul.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur exacte de $u_0,~u_1$ et $u_2$.
$u_{0} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{0} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)$ ;
		
$u_{1} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2}$ ; 

$u_{2} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-4}$.		
		\item %Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		$u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2(n+1)} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2n-2)} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\text{e}^{-2n)} \times \text{e}^{-2} = u_{n}\times \text{e}^{-2}$.
		
Or $u_{n+1} = u_{n}\times \text{e}^{-2}$ signifie que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\text{e}^{-2}$, de premier terme $u_{0} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)$.
		\item %Déterminer la valeur exacte de la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_9$.
On a $u_0 + u_1 + \cdots + u_9 = u_{0} \times \dfrac{1 - \left(\text{e}^{2}\right)^{10}}{1 - \text{e}^{2}} = \dfrac{1}{2} \left(1 -\text{e}^{-2}\right)\dfrac{1 - \left(\text{e}^{2}\right)^{10}}{1 - \text{e}^{2}} = \dfrac{1 - \text{e}^{-20}}{2}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = \dfrac{- 3 - 2x}{\text{e}^x}.\]
%
%On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative
% de la fonction $f$ dans un repère orthonormal d'unité graphique $1$~cm.
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A : étude de la fonction } \boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (- 3 - 2x) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = + \infty$, on a par produit des limites :

\[\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = +  \infty.\]
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
En écrivant $f(x) = \dfrac{-3}{\text{e}^x} - 2\dfrac{x}{\text{e}^x}$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{-3}{\text{e}^x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$ et finalement par somme de limites :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0.\]

		\item %En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. On précisera son équation.
Le dernier résultat signifie géométriquement que la courbe $(\mathcal{C})$ a pour asymptote au voisinage de plus l'infini l'axe des abscisses d'équation $y = 0$.  
	\end{enumerate}  
\item %Calculer $f'(x)$, où $f$ désigne la fonction dérivée de $f$.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ dont la dérivée est $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Donc :

$f'(x) = \dfrac{- 2\text{e}^x - (- 3 - 2x)\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{(1 + 2x)\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2} =
\dfrac{1 + 2x}{\text{e}^x}$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Quel que soit le réel $x\, \text{e}^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $1 + 2x$.

$\bullet~~1 + 2x > 0 \iff x > - \dfrac{1}{2} \Rightarrow f'(x) > 0$ : la fonction est croissante sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty \right[$ ;

$\bullet~~1 + 2x < 0 \iff x < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$ ;

$\bullet~~1 + 2x = 0 \iff x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ ; il y a un minimum en $- \dfrac{1}{2}$ qui  est égal à 

$f\left(- \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{- 3 - 2\times \left(- \frac{1}{2} \right)}{\text{e}^{- \frac{1}{2}}} = \dfrac{- 2}{\text{e}^{- \frac{1}{2}}} = - 2 \sqrt{\text{e}}$.

D'où le tableau de variations :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3.5)
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.25)\psline{->}(5.5,0.25)(7.5,1.47)
\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.3,2.5){$- \infty$}\uput[u](5,2.5){$- \frac{1}{2}$}\uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$}\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[d](2.4,2){$+ \infty$}\uput[u](5,0){$-2\sqrt{\text{e}}$}
\uput[d](7.5,2){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Résoudre, dans $\R$, l'équation d'inconnue $x~:~ f(x) = 0$.
% En déduire, en fonction de $x$ réel, le signe de $f(x)$.
Dans $\R,\, f(x) = 0 \iff - 3 - 2 x = 0 \iff - 3 = 2x \iff x = - \dfrac{2}{3}$.

L'équation $f(x) = 0$ a une unique solution dans $\R$ : $- \dfrac{2}{3}$.

Comme au dessus le signe de $f(x)$ est celui du numérateur, donc :

$\bullet~~f(x) > 0 \iff - 3 - 2x > 0 \iff - \dfrac{3}{2}> x$, donc $f(x) > 0$ sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{3}{2}\right[$ ;

$\bullet~~f(x) < 0 \iff - 3 - 2x < 0 \iff - \dfrac{3}{2}< x$, donc $f(x) > 0$ sur $\left]- \dfrac{3}{2}~;~+ \infty\right[$ ;

$\bullet~~f\left(- \dfrac{3}{2}\right) = 0$.

\item %Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère indiqué.
Voir plus bas : en $- \frac{3}{2}$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est horizontale.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Détermination d'une primitive et calculs d'aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item	%Montrer que la fonction $F$ définie par $F(x) = \dfrac{2x+5}{\text{e}^x}$ est une  primitive de $f$ sur $\R$.
Calculons $F'(x) = \dfrac{2\text{e}^x - (2x + 5)\text{e}^x}{\left(\text{e}^x \right)^2} = \dfrac{2 - 2x - 5}{\text{e}^x} = \dfrac{-3 - 2x}{\text{e}^x} = f(x)$.

On a $F'(x) = f(x)$ ce qui montre que $F$ est une primitive sur $\R$ de $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer l'aire du domaine délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =  5$.
Voir à la fin
		\item %Calculer la valeur, en cm$^2$, de cette aire, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
On a vu que si $x > - \frac{3}{2},\, f(x) < 0$, donc l'aire (en unité d'aire) de la surface hachurée est égale à :

\[- \int_{-\frac{1}{2}}^5 f(x)\:\text{d}x\]

Comme l'unité d'aire est égale à 1\,u. a. $= 1 \times 1 = 1$\,cm$^2$, on a donc :

$\mathcal{A} =  - \int_{-\frac{3}{2}}^5 f(x)\:\text{d}x = -\left[F(5) - F\left(-\frac{3}{2}\right)  \right] = F\left(-\frac{3}{2}\right) - F(5) = \dfrac{- 3 + 5}{\text{e}^{-\frac{3}{2}}} - \dfrac{15}{\text{e}^5} = 2\text{e}^{\frac{3}{2}} - \dfrac{15}{\text{e}^5}$~cm$^2$.

La calculatrice donne $\mathcal{A} \approx 8,86$~cm$^2$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout $x$ de $\R$, on pose $g(x) = - f(x)$ et on appelle  $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $g$. Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère que la courbe $(\mathcal{C})$.
		La courbe $(\Gamma)$ est la symétrique de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.
		\item %Soit $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine compris entre les courbes $(\mathcal{C})$  et $(\Gamma)$ et les droites d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et $x =   \alpha$ (où $\alpha$ est un réel positif donné). Calculer, en cm$^2$ et en fonction de $\alpha$, la valeur de $\mathcal{A}(\alpha)$.
		On a vu que sur $\left[- \frac{3}{2}~;~+ \infty\right[,\,f(x) \leqslant 0$, donc $g(x) \geqslant 0$ et par conséquent sur l'intervalle $\left[- \frac{3}{2}~;~\alpha\right[,\, g(x) - f(x) \geqslant 0$ et on a donc :
		
\[\mathcal{A}(\alpha) = \int_{- \frac{3}{2}}^{\alpha} [g(x) - f(x)]\:\text{d}x.\]

Or $g(x) - f(x) = - f(x) - f(x) = - 2f(x)$, donc :

$\mathcal{A}(\alpha) = - 2\displaystyle\int_{- \frac{3}{2}}^{\alpha} f(x) \:\text{d}x = - 2\left[F(x)  \right]_{- \frac{3}{2}}^{\alpha} = - 2\left[F(\alpha) - F\left(- \frac{3}{2}\right)\right] =$

$- 2\left[\dfrac{2\alpha + 5}{\text{e}^{\alpha}} - 2 \text{e}^{\frac{3}{2}}\right] =$\,\fbox{~~$4\text{e}^{\frac{3}{2}} - \dfrac{4\alpha + 10}{\text{e}^{\alpha}}$~~}.
		\item %Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$  tend vers $+ \infty$.
$\mathcal{A}(\alpha) = 4\text{e}^{\frac{3}{2}} - 4\dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}} - \dfrac{10}{\text{e}^{\alpha}}$.

Or $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}} = 0$ et $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \dfrac{10}{\text{e}^{\alpha}} = 0$, donc finalement :

\[\lim_{\alpha \to + \infty} \mathcal{A}(\alpha) = 4\text{e}^{\frac{3}{2}}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-8)(10,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-8)(10,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{<->}(-1,-3.2974)(0,-3.2974)\psline{<->}(-1,3.2974)(0,3.2974)
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=olive]{
\psline(-1.5,0)(5,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{-1.5}{3 2 x mul add neg 2.71828 x exp div}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.02}{10}{3 2 x mul add neg 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.02}{10}{3 2 x mul add neg 2.71828 x exp div neg}
\uput[u](10,0){$x$}\uput[r](0,8){$y$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,-2){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,2){\red $(\Gamma)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}