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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt]juin 2009 Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
% 
%Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation suivante (E) : 
%\[(E)~~:\quad  (z - 2)\left(\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}\right) = 0.\]
 
%On donnera la forme algébrique des solutions.
$(z - 2)\left(\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\\
\text{i}z + \text{i} + \sqrt{3}&=&0
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
z &=&2\\
\text{i}z + &=&-\text{i} - \sqrt{3}
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
z &=&2\\
\text{i}z + &=&-1 +\text{i} \sqrt{3}
\end{array}\right.$
\item  %Les points A et B ont pour affixes respectives: $z_{\text{A}} = 2,~ z_{\text{B}} = 	- 1 + \sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
On a $z_{\text{A}} = 2 = 2\text{e}^{0\text{i}\pi}$. Le module est donc égal à $2$ et un argument à $0$. 
		\item %Déterminer la forme trigonométrique de $z_{\text{B}}$. 
$z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$. On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 2$.

On peut donc écrire $z_{\text{B}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right).$
		\item %Expliquer pourquoi les points A et B sont sur le même cercle $\Omega$ de centre O et de rayon 2.
Comme $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{B}} \right| = 2 \iff \text{OA} = \text{OB} = 2$, A et B appartiennent au cercle $\Omega$ de centre O et de rayon 2. 
		\item %On considère le point C d'affixe $z_{\text{C}} = -1 + \lambda\text{i}$  où $\lambda$ est un nombre réel négatif.
		 
%Déterminer le nombre $\lambda$ tel que le point C soit sur le cercle $\Omega$.
C $ \in \Omega \iff \text{OC} = 2 \iff \left|z_{\text{C}} \right| = 2 \iff \left|z_{\text{C}} \right|^2 = 4  \iff (-1)^2 + \lambda^2 = 4 \iff \lambda^2 =  3 \iff \lambda = -\sqrt{3}$ (car $\lambda$ est négatif.

Donc $z_{\text{C}} = -1 - \text{i}\sqrt{3}$.
%Que représente le nombre complexe $z_{\text{C}}$ par rapport au nombre complexe $z_{\text{B}}$ ? 
On voit que $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$.
		\item %Sur la feuille annexe 1, placer avec soin les points A, B et C dans le repère \Ouv.
Les points B et C sont les points communs à la droite d'équation $x = - 1$	 et du cercle $\Omega$.	 
%\emph{(On laissera apparents les traits de construction à la règle et au compas. Ces traits seront pris en compte dans l'évaluation de la question.)} 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

B et C sont symétriques autour de $\left(\text{O},~\vect{u}\right)$, donc ABC est isocèle en A ;

O est sur la médiane issue de A et se trouve aux 2/3 sur cette médiane : O est donc aussi le centre de gravité de ABC :

Conclusion ABC est un triangle équilatéral. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(2,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)\uput[dr](2,0){A}\uput[ul](-1,1.732){B}\uput[dl](-1,-1.732){C}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(0,0){2}\uput[ur](1.414,1.414){$\Omega$}\psline[linestyle=dashed](-1,-2.5)(-1,2.5)
\pspolygon(2,0)(-1,1.732)(-1,-1.732)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Un objet produit en série a un coût de production de 95~euros.
% 
%Un objet défectueux à l'issue de sa fabrication peut présenter seulement le défaut A, seulement le défaut B, ou les deux défauts A et B simultanément.
% 
%La garantie permet d'effectuer les réparations aux frais du fabricant avec les coûts suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 10 euros pour le seul défaut A, 
%\item 15 euros pour le seul défaut B, 
%\item 25 euros pour les deux défauts A et B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Sur un lot L de 200 objets prélevés sur l'ensemble de la production, on constate que 16 objets ont au moins le défaut A, 12 objets ont au moins le défaut B et 180 objets n'ont aucun des deux défauts. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre d'objets du lot L &Avec le défaut A &Sans le défaut A &Total\\ \hline 
Avec le défaut B&8	&4		&12\\ \hline 
Sans le défaut B&8	&180	&188\\ \hline 
Total 			&16	&184	&200\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %On prélève au hasard un objet parmi les 200~objets du lot L, décrits précédemment.
		 
%Calculer la probabilité $p_{1}$ que cet objet ne présente aucun défaut. On donnera la valeur décimale de $p_{1}$.
Il y a 186 objets sans défaut parmi 200 ; $p_{1} = \dfrac{186}{200} = \dfrac{93}{100} = 0,93$. 
		\item %On prélève au hasard un objet parmi les 200 objets du lot L, décrits précédemment.
		 
%Calculer la probabilité $p_{2}$ que cet objet présente seulement le défaut A. On donnera la valeur décimale de $p_{2}$.
D'après l e tableau $p_{2} = \dfrac{8}{200} = \dfrac{4}{100} = 0,04$. 
	\end{enumerate} 
 
\item %\emph{Pour la suite de l'exercice. on admettra que, sur l'ensemble de la production, $90$\:\% des objets n'ont aucun défaut, $4$\:\% des objets ont le seul défaut A, $2$\:\% des objets ont le seul défaut B et $4$\:\% des objets ont les deux défauts A et B.}

\bigskip
 
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard sur l'ensemble de la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire le coût de production augmenté éventuellement du coût de réparation. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$ ?
Les valeurs possibles sont : $95$ (pas de défaut), $105$ (défaut A seul), $110$ (défaut B) et $120$ (deux défauts). 
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. (On pourra présenter cette loi sous la forme d'un tableau.)
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$X$&95&105&110&120\\ \hline
$p(X = x_{i})$&0,9&0,04&0,02&0,04\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ de cette variable aléatoire $X$. Que représente-t-elle pour l'usine ?
E$(X) = 95 \times 0,9 + 105  \times 0,04 + 110  \times 0,02 + 120  \times 0,04 = 85,5 + 	4,2 + 2,2 + 4,8 = 96,7.$

96,70~\euro{} représente le coût moyen de revient d'un objet.	 
%\emph{On admet pour la suite de l'exercice que tous les objets produits sont vendus.}
 
		\item %L'usine peut-elle espérer faire des bénéfices en vendant 96~euros chaque objet produit ?
Non, car ce prix est inférieur au coût moyen de revient d'un objet (96,70~\euro).  
		\item %L'usine veut faire un bénéfice moyen de 10~euros par objet.
		 
%Expliquer comment on doit alors choisir le prix de vente d'un objet produit.
Le coût moyen de revient d'un objet étant de 96,70~\euro{} il faut vendre à au moins 106,70~\euro.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}
 
%$f$ est une fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$.
 
%La courbe représentative de cette fonction $f$, notée $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij{} du plan.

%\begin{center}
%\psset{unit=1.35cm}
%\begin{pspicture*}(-4.5,-3)(4.5,3.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10](0,0)(-4.5,-3)(4.5,3.25)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[r](1.1,3){$\mathcal{C}_{f}$}
%\psplot[plotpoints=6000,linecolor=blue]{-4.5}{4.5}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub} 
%\end{pspicture*}
%\end{center} 

%\medskip

%\emph{Les deux questions suivantes sont indépendantes.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Parmi les trois courbes données ci-dessous se trouve la représentation graphique de la fonction $f'$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. Indiquez de quelle courbe il s'agit en justifiant votre choix. 

\medskip

%\psset{unit=0.5cm}\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-2)(2,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
%\psplot{-4.5}{1}{2.71828 x exp x mul 1.5 mul 1 sub}
%\rput(-1.25,-2.5){Courbe 1}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
%\end{pspicture}&
%\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-2)(2,5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-2)(2,5)
%\psplot{-4.5}{0.75}{2.71828 x 2 mul  exp 2 mul 2.71828  x exp 2 mul  sub}
%\rput(-1.25,-2.5){Courbe 2}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
%\end{pspicture}&
%\begin{pspicture}(-4.5,-5)(2,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-4.5,-5)(2,2.5)
%\rput(-1.25,-5.5){Courbe 3}\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
%\psplot{-4.5}{0.83}{2.71828 4 x mul 3 div exp x  mul 2 mul  neg}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
% 
%\medskip
$f$ est décroissante sur $]- \infty~;~0]$, puis croissante sur $[0~;~+ [$, donc la dérivée est respectivement négative puis positive sur ces deux intervalles. La seule courbe vérifiant ces deux conditions est la courbe 2. 
\item  %La fonction $f$ est définie par 
%\[f(x) = \text{e}^{\alpha x} - 2\text{e}^{x},~ \text{où}~ \alpha~ \text{est un nombre réel.}\]
 
%Sachant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A de coordonnées $(0~;~-1)$ est horizontale, déterminer le nombre $\alpha$. On détaillera le raisonnement et les calculs.
On a $f'(x) = \alpha\text{e}^{\alpha x} - 2\text{e}^{x}$, donc le nombre dérivé $f'(0) = \alpha - 2$.

Donc  $f'(0) = 0  \iff  \alpha = 2$.

$f(x) = f(x) = \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%La fonction $f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par
% \[f(x) = \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}.\]

% La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $+ \infty$

%$\left(\text{on pourra factoriser par}~ \text{e}^x\right)$.
On peut écrire $f(x) =  \text{e}^x\left(\text{e}^x - 2 \right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left( \text{e}^x - 2 \right) = + \infty$ et finalement par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item  %Déterminer, en justifiant par des calculs, la limite de $f(x)$ en $- \infty$. Interpréter graphiquement.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x = + \infty$, puis $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$ et par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
\item  %Vérifier que pour tout nombre réel $x~:~ f'(x) = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 1\right)$.
$f$ est une somme de fonctions dérivables  ; elle est donc dérivable sur $\R$.

En posant $u(x) = 2x$, la dérivée de $\text{e}^u$ est $u'\text{e}^u = 2\text{e}^{2x}$.

Finalement : $f'(x) =  2\text{e}^{2x} - 2\text{e}^{x} = 2\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 1 \right)$.
 
%Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (on justifiera soigneusement le signe de $f'(x)$.
Comme $\text{e}^{x} > $ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $\text{e}^{x} - 1$.

Or $\text{e}^{x} - 1 = 0 \iff \text{e}^{x} = 1 \iff x = 0$ ; $\text{e}^{x} - 1 > 0 \iff \text{e}^{x} > 1 \iff x > 0$, d'o\`u le tableau de variations de $f$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](7.6,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.4,1.7)(4.7,0.3)  \psline{->}(5.3,0.3)(7.7,1.6)\rput(2.15,1.85){$0$} \rput(5,0.3){-1}\rput(7.6,1.8){$+\infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Soit $g$ la fonction définie sur l'ensemble des réels $\R$ par 
%\[g(x) = \text{e}^x + 4.\]
 
%On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. 
\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans $\R$ l'équation suivante : $X^2 - 3X - 4 = 0$.
On a $\Delta = 9 - 4 \times (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 > 0$. Il y a donc deux racines réelles $X_{1} = \dfrac{3 + 5}{2} = 4$ et $X_{1} = \dfrac{3 - 5}{2} = - 1.$ 
\item %En déduire les coordonnées du (ou des) points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
$M(x~;~y) \in \mathcal{C}_{f} \cap \mathcal{C}_{g} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&\text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x}\\
y&=&\text{e}^x + 4
\end{array}\right. \Rightarrow  \text{e}^{2 x} - 2\text{e}^{x} = \text{e}^x + 4 \iff \left(\text{e}^{x}\right)^2 - 3\text{e}^{x} - 4 = 0.$

En posant $X = \text{e}^{x}$ l'équation à résoudre devient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
X^2 - 3X - 4 &=& 0\\
X&=&\text{e}^{x}
\end{array}\right.$

On a vu que la première équation a pour solutions $-1$ et $4$, mais la seconde exige que $X > 0$, donc la seule possibilité est $X = 4 = \text{e}^x$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien : $x = \ln 4 = 2\ln 2$.

Pour $x = \ln 4,~y = 4 + 4 = 8$.

Conclusion : les deux courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un seul point commun de coordonnées $(\ln 4~;~8)$.
 
%$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont données en annexe 2, dans le même repère orthonormé \Oij{} du plan. L'unité est 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~ cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
%On note $S$ le domaine du plan délimité par la droite d'équation $x = 0$, la droite d'équation $x = 1$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la courbe $\mathcal{C}_{g}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer sur la feuille \textbf{annexe 2} le  domaine $S$.
Voir plus bas. 
		\item  %Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $S$.
		On sait qu'en  unités d'aire la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ est donnée par 
		
$\displaystyle\int_{0}^1 (g(x) - f(x))\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \left(\text{e}^x + 4 - \text{e}^{2 x} + 2\text{e}^{x}\right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 \left(3\text{e}^x + 4 - \text{e}^{2x} \right)\:\text{d}x = \left[3\text{e}^x + 4x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_{0}^1 = 3\text{e} + 4 -  \dfrac{1}{2}\text{e}^2 - 3 - 0 + \dfrac{1}{2} = 3\text{e} -  \dfrac{1}{2}\text{e}^2 + \dfrac{3}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

%\begin{center}
%{\large \textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}}

%\vspace{1cm}

%\psset{unit=0.66667cm}
%\begin{pspicture*}(-9,-6.5)(9,6.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-9,-6.5)(9,6.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-9,-6.5)(9,6.5)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} 
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,12)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=6000,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x  exp 4 add}
\psplot[plotpoints=6000,linecolor=blue]{1}{0}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub}
}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(3,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-3,-2)(3,12)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{-3}{1.528}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 2 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{-3}{2.08}{2.71828 x  exp 4 add}
\uput[l](1.5,11.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[r](2,11.5){\red $\mathcal{C}_{g}$}
\uput[dl](0,0){O}
\rput(0.5,3){$S$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}