\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lscape}
% Tapuscrit & corrig\'e Olivier Reboux avec nos remerciements
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-eucl,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\definecolor{SandyBrown}{RGB}{244,144,0}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie des matériaux}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 23 juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

 \begin{enumerate}
 \item (E) est une équation différentielle de la
   forme $y'' + \omega^{2}y = 0$, avec $\omega = \frac{1}{2}$. Les
   solutions de cette équation sont donc de la forme :

   \[y = A\cos\left (\frac{1}{2}x \right) + B \sin\left (\frac{1}{2}x \right).\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A$, on en déduit
     que $f(0)=1$. Comme la tangente à la courbe admet pour pente
     $\frac{1}{2}$, on en déduit que $f' (0)= \frac{1}{2}$.
		\item $f(0)=1$ entraine que $A \cos\left (0 \right) + B\sin\left
       (0 \right) = 1$ soit $A = 1$. 

     $f'(x) = -\frac{1}{2}\sin\left (\frac{1}{2}x \right) + \frac{B}{2}\cos\left
       (\frac{1}{2}x \right)$. 

Comme $f'(0) =\frac{1}{2}$ que $A \sin(0) + \frac{B}{2}\cos(0) =
     \frac{1}{2}$. Donc $B = \frac{1}{2}$.

On en déduit que $f(x) = \cos\left (\frac{1}{2} x\right) + \sin\left (\frac{1}{2}x \right)$.
	\end{enumerate}
\item Voir la figure \ref{fig_STIGMbcde_00A_C}.
	\begin{figure}[!h]
     \centering
     \begin{pspicture}(-4.5,-1.5)(9,6)
\psset{xunit=1.5,yunit=1.5,PointSymbol=none,PointName=none,algebraic}%
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.6,-1)(6,4)

\psclip%
       {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(6,4)}%
       {%
         \pscustom
%          Aire sous une courbe
         [%
         fillstyle=solid,%
         fillcolor=SandyBrown,%
         ]%
         {%
           \psplot[plotpoints=250]{0}{3.141592}{cos(x/2)+sin(x/2)}%
           \psline(3.141592,0)(0,0)
         }%
         \psplot[plotpoints=250]{-3}{6}{cos(x/2)+sin(x/2)}%
         \psplot[plotpoints=2]{-3}{6}{0.5*x+1}%
       }%
\endpsclip%
\pstGeonode[PosAngle=135,PointName=A](0,1){A} 
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointName=\pi,PointSymbol=+](3.14159,0){B} 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\caption{Corrigé}\label{fig_STIGMbcde_00A_C}
\end{figure} 
		\item$[f(x)]^{2} = \left(\cos\left (\frac{1}{2}x \right) +
       \sin\left(\frac{1}{2}x \right)\right)^2 = \cos^{2}\left(\frac{1}{2} \right) + 2 \cos\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left (\frac{1}{2} \right) + \sin^{2}\left(\frac{1}{2} \right)$. 

Or d'après le formulaire $ \cos^{2}(a) + \sin^{2}(a)= 1$ et $ \sin (2a) = \frac{1}{2}\cos (a)\sin (a)$, on en déduit que :

\[\left [f(x)\right]^{2} = 1 + \sin(x).\]
   \item 
\begin{align*}
V 	& = \pi \int_{0}^{\pi} \left [ f(x)\right]^{2} \text{d}x   \\
	& = \pi\left[ x - \cos(x)\right]_{0}^{\pi} 					\\
	& = \pi \left(\pi -  \cos(\pi) - 0 + \cos(0)\right) 		\\
V	& = \pi\left(\pi - 2\right)									\\
\end{align*}
   \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des
facteurs est nul. Donc soit $z = -4$ soit $z^{2} - 4z + 16 = 0$. Le
discriminant $\Delta$ de cette dernière équation vaut : $\Delta = 16 - 4 \times 16 = -3\times 16 = \left(4\text{i}\sqrt{3}\right)^{2}$.

On en déduit que l'équation admet deux racines complexes conjuguées $z_A = \frac{4 - 4\text{i}\sqrt{3}}{2} = 2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ et $z_B = 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.

Les solutions de l'équation sont donc $- 4$, $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ et $2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
\item $\left|z_A\right| = \sqrt{4 + 12} = 4$. 

Un argument $\theta$ de $z_A$ vérifie : $\cos\left (\theta \right) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. On en déduit
  que $\theta = \frac{\pi}{3}$.

Voir la figure.
\begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
      \psset%
      {%
        xunit=1,%
        yunit=1,%
        % PointSymbol=none,%
        % PointName=none,%
        algebraic,%
      }% 
      \pstGeonode[PosAngle=-135](0,0){O} 
      \pstGeonode[PosAngle=90](4;60){A} 
      \pstGeonode[PosAngle=-90](4;-60){B} 
      \pstGeonode[PosAngle=135](-4,0){C} 
      \pspolygon(A)(B)(C)
      \pstCircleOA{O}{A}
      \pstMiddleAB[PosAngle=90]{A}{C}{D}
      \psline(A)(D)
      \psaxes%
      [%
      Dx=1,%
      Dy=1,%
      ysubticks=2,%
      xsubticks=2,%
      labelsep=-0.5cm,%
      xlabelPos=axis,%
      ylabelPos=axis,%
      subticksize=1,%
      xticksize=-4 4,%
      yticksize=-5 5,%
      tickcolor=gray,%
      axesstyle=frame,%
      linewidth=1pt]%
      (0,0)(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
    \end{pspicture}

  \end{figure} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item $\left|z_A\right| = \left|z_B\right| = 4$ car les deux nombres complexes sont conjugués. De plus $\left|z_C\right| = 4$. On en déduit que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $4$.
		\item Voir la figure.
		\item Montrons que $ABC$ est un triangle équilatéral.
$AC = \left|z_A - z_C\right| = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$. Par symétrie $BC = 4\sqrt{3}$. $AB = \left|z_B - z_A\right| = \left|4\text{i}\sqrt{3}\right| = 4\sqrt{3}$. Donc, $ABC$ est un triangle équilatéral.
    
Donc, $D$ est à la fois le pied de la hauteur et de la médiane. On en déduit que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\text{e}^{x} = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\text{e}^{x}} = 0$. On en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

On démontre de même que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.
\item
    \begin{enumerate}
     	\item $f'(x) = \text{e}^{x} - \frac{1}{\text{e}^{x}} =
       \frac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{x}} = \frac{(\text{e}^{x}-1)(\text{e}^{x}+1)}{\text{e}^{x}}$.
     	\item Les facteurs $(\text{e}^{x}+1)$ et $\text{e}^{x}$ sont strictement positif, donc le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $(\text{e}^{x}-1)$. 

Or $(\text{e}^{x}-1) > 0$ si et seulement si $x > 0$.

On en déduit le tableau de variations avec $f(0) = \text{e}^0 - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{\text{e}^0} = 1  - \dfrac{5}{2} + 1 = - \dfrac{1}{2}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$}  \uput[u](2.4,3){$ -\infty$}\uput[u](5,3){0} \uput[u](7.6,3){$+\infty$} 
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(3.5,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](2.4,2){$+\infty$} \uput[u](5,0){$-\frac{1}{2}$}\uput[d](7.6,2){$+ \infty$} 
\psline{->}(2.7,1.6)(4.6,0.3) \psline{->}(5.3,0.3)(7.5,1.6)
\end{pspicture}
\end{center}
     \end{enumerate}
\item
    \begin{enumerate}
		\item On calcule le discriminant $\Delta = 9$, il y a donc deux
       solutions réelles $X_1 = \frac{1}{2}$ et $X_2 = 2$.
		\item $f(x) = 0$ si et seulement si $\text{e}^{x} - \frac{5}{2} +
       \frac{1}{\text{e}^{x}} = 0$. En réduisant au même dénominateur on
       obtient : $\dfrac{2\left(\text{e}^{x} \right)^2 - 5\text{e}^{x}+2}{2\text{e}^{x}}=0$. Or comme $\text{e}^{x}$ est non nul, cela revient
 à résoudre l'équation $2\left (\text{e}^{x}\right)^{2}-5\text{e}^{x}   + 2 = 0$.
     	\item On a posé $X = \text{e}^{x}$, et on a vu qu'il y a deux solutions $X_{1} = \dfrac{1}{2}=\text{e}^{x_{1}}$ donc grâce à la croissance de la fonction ln,  $x_1 = \ln\left (\frac{1}{2}
       \right) = - \ln(2)$ et de même $X_{2} = 2 = \text{e}^{x_{2}}$ donne $x_2 = \ln\left (2\right)$. 
     	\item Les coordonnées des points d'intersection de la courbe
$\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses sont $\left(-\ln(2)\,;\,0\right)$ et $\left (\ln(2)\,;\,0\right)$.
     	\item La fonction est décroissante sur $\R^{-}$ donc $f(x) > 0$
pour $x < - \ln(2)$ et positif entre $\ln(2)$ et $0$. Sur
$\R^{+}$ la fonction est croissante, la fonction est donc
négative entre $0$ et $\ln (2)$ puis positive pour $x > \ln (2)$.
     \end{enumerate}
\item Une équation de la tangente au point d'abscisse $a = \ln (2)$
est donnée par : $y = f'(a)(x - a)+ f(a)$. Ce qui donne : $y =
     \frac{3}{2}(x - \ln (2)) = \frac{3}{2}x - \frac{3\ln(2)}{2}$.
   	\item Voir la figure.
\begin{center}   
\psset{xunit=2.6cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2.1,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(2,5)
\psaxes%
[%
Dx=1,%
Dy=1,%
ysubticks=4,%
xsubticks=8,%
labelsep=-0.5cm,%
xlabelPos=axis,%
ylabelPos=axis,%
subticksize=1,%
tickcolor=gray,linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2.1,5)

\pscustom
[fillstyle=solid,fillcolor=SandyBrown]%
{\psplot[plotpoints=2500]{0.6931}{2}{2.71828 x exp 2.5 sub 1 2.71828 x  exp div add}%
\psline(2,0)(0.6931,0)
}%
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{2.71828 x exp 2.5 sub 1 2.71828 x  exp div add}%
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-0.6}{2}{1.5 x mul 2 ln 1.5 mul sub}%
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\item
	\begin{enumerate}
		\item $F'(x) = \text{e}^{x}-\frac{5}{2} + \text{e}^{-x} = f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$.
		\item \begin{align*}
         I &= \int_{\ln(2)}^{2} f(x) \text{d} x = \left [F(x)
         \right]_{\ln (2)}^{2}\\
         & = \text{e}^{2} - 5 - \frac{1}{\text{e}^{2}} - \text{e}^{\ln(2)} +
         \frac{5}{2}\ln (2) + \frac{1}{\text{e}^{\ln(2)}}\\
         & = \text{e}^{2} - \text{e}^{-2} -6,5 +
         \frac{5}{2}\ln (2) \text{u. a.}
       \end{align*}
		\item Voir la figure.
		\item $A = 8I = 8\text{e}^{2} - 8\text{e}^{-2} + 20 \ln (2) - 52 \approx 19,89$ cm\up{2}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}