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\begin{document}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie des matériaux, mécanique }
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E }}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~cm sur chaque axe.\\
%Soit $P$ le polynôme défini par : 
%\[P(z) = z^3 - z^2 - 2z - 12\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P(3)$. Que peut-on en déduire pour le polynôme $P$ ?
		$P(3) = 3^3 - 3^2 - 2\times 3 - 12 = 27 - 9 - 6 - 12 = 0.$
		
		On peut donc en déduire que $P$ est factorisable par $z - 3$.
		\item   %Déterminer les réels $a,{} b$ et $c$ tels que $P(z) =(z- 3)\left(az^2 + bz + c\right)$.
$(z- 3)\left(az^2 + bz + c\right) = P(z) = z^3 - z^2 - 2z - 12 \iff az^3 + bz^2 + cz - 3z^2 - 3bz - 3c = $

$z^3 - z^2 - 2z - 12 \iff az^3 + (b - 3)z^2 +   + (c - 3b)z - 3c = 
z^3 - z^2 - 2z - 12 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 3&=&-1\\
c - 3b&=&-2\\
-3c&=&-12
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b - 3&=&-1\\
c - 3b&=&-2\\
-3c&=&-12
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b &=&2\\
c - 3b&=&-2\\
c&=&4
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a&=&1\\
b &=&2\\
4 - 6&=&-2\\
c&=&4
\end{array}\right.$

Donc  $P(z) =(z - 3)\left(z^2 + 2z + 4\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : $z^2 + 2z + 4 = 0$.
$z^2 + 2z + 4 = 0 \iff (z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z + 1)^2 + 3 = 0 \iff$

$ (z + 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2 = 0  \iff \left(z + 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(z + 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes : $-1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $-1 + \text{i}\sqrt{3}$.
		\item   %En déduire les solutions de l'équation $P(z) = 0$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
		On a donc $P(z) = 0 \iff z = 3\quad \text{ou} \quad z = -1 - \text{i}\sqrt{3} \quad \text{ou} \quad z = -1 + \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 
%+Soit A, B, C et D les points du plan complexe d'affixes respectives :
%\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad  ; \quad z_{\text{B}} = 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}  \quad  ; \quad z_{\text{C}}= 3 - \left(3\sqrt{3}\right)\text{i} \quad  ;\quad  z_{\text{D}}=3\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ puis écrire $z_{\text{A}}$ sous forme trigonométrique.
$\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 1 + 3 = 4 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}\right| = 2$.

On peut alors écrire $z_{\text{A}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}$.

Finalement $z_{\text{A}} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
		\item  %Écrire $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
		On remarque que $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}} = \overline{-1 + \text{i}\sqrt{3}} = -1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item	%Placer sur la feuille de papier millimétré les points A, B, C et D dans le repère \Oij.
Voir plus bas
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que : $\vect{\text{DC}} = \dfrac{3}{2}\vect{\text{AB}}$.
		On a $z_{\vect{\text{DC}}} = -3\text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\vect{\text{AB}}} = -2\text{i}\sqrt{3}$, d'où $z_{\vect{\text{DC}}} = \dfrac{3}{2}z_{\vect{\text{AB}}} \iff \vect{\text{DC}}~\text{et}~\vect{\text{AB}}$ sont colinéaires, donc les droites (DC) et (AB) sont parallèles.
		\item  %En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
		ABCD a deux côtés opposés parallèles : c'est un trapèze.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0) (-2,-6)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(-1,1.732)(-1,-1.732)(3,-5.196)(3,0)%ABCD
\uput[ul](-1,1.732){A}\uput[dl](-1,-1.732){B}\uput[dr](3,-5.196){C}\uput[ur](3,0){D}
\pscircle(0,0){2}
\pspolygon(-1,1.732)(-1,-1.732)(3,-5.196)(3,0)%ABCD
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}
 
 \medskip
 
%Un industriel se fournit en pièces détachées chez deux fournisseurs différents :  le producteur Lavigne et le producteur Olivier. Les pièces fournies ont trois niveaux de qualité différents, en fonction des utilisations prévues. Ces niveaux de qualité influent sur la durée de vie estimée des pièces selon le tableau 1 où les durées de vie estimées sont exprimées en années.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c|}{}&Qualité	&Qualité	&Qualité\\
%\multicolumn{1}{c|}{}&supérieure	&ordinaire	&« premier prix »\\ \hline
%Producteur Lavigne	&5		&3		&2\\ \hline
%Producteur Olivier	&3		&2		&1\\ \hline
%\multicolumn{4}{c}{\emph{Tableau $1$ : durées de vie estimées des pièces en années.}}\\
%\end{tabularx}

%\medskip

%Un lot est constitué de \nombre{2000}~pièces indiscernables suivant le tableau 2 ci-dessous :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}&Qualité	&Qualité 	&Qualité	&Total\\ 
\multicolumn{1}{c|}{}&supérieure&ordinaire&« premier prix »&
\\ \hline
Producteur Lavigne&100&200	&	500&	800\\ \hline
Producteur Olivier&	400	&	500&300	&1200  \\ \hline
Total&{\textcolor{blue}500}	&700	&800	&\nombre{2000}\\ \hline
\multicolumn{5}{c}{\emph{Tableau $2$ : répartition des pièces en fonction de leur origine et de leur qualité.}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier et compléter le tableau 2.
Voir plus haut.
		\item  %Montrer que \nombre{1000}~pièces ont une durée de vie estimée de deux ans.
	Il y a 500 pièces \og premier prix \fg{} de chez Lavigne et 500 pièces ordinaire de chez Olivier soit en tout \nombre{1000} pièces ayant une durée de vie de deux ans. 
	\end{enumerate}
\item %On choisit une pièce au hasard, chaque pièce ayant la même probabilité d'être choisie. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité que la durée de vie estimée de la pièce choisie soit de deux ans.
	D'après la question précédente la probabilité est $\dfrac{\nombre{1000}}{\nombre{2000}} = \dfrac{1}{2} = 0,5$. 
		\item   %On suppose que la pièce choisie provient du producteur Lavigne. Quelle est alors la probabilité que sa durée de vie estimée soit de deux ans ?
Il y a 500 pièces de durée de vie deux ans sur les 800 pièces de chez Lavigne. La probabilité cherchée est donc de $\dfrac{800}{800} = \dfrac{5}{8} = 0,625$.
	\end{enumerate}
\item	%On note $X$ la variable aléatoire qui, pour chaque pièce du lot considéré, associe sa durée de vie estimée.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement « $X = 3$ ».
Il y a $200 + 400 = 600$ dont la durée de vie est de trois ans. La probabilité cherchée est donc égale \`a $\dfrac{600}{\nombre{2000}} = \dfrac{3}{10}= 0,3$.	
		\item  %Établir sous forme d'un tableau la loi de probabilité de $X$.
On a de m\^eme $p(X = 5) = \dfrac{100}{\nombre{2000}} = \dfrac{1}{20}= 0,05$ et 

$p(X = 1) = 1 - (0,625 + 0,3 + 0,05) = 1 - 0,975 = 0,025$. D'où le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline$X = x_{i}$						&5		&3 & 2&1 \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$	&0,05&0,3&0,625&0,025   \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	
		\item  %Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce nombre.
		E$(X) = 5 \times 0,05 + 3 \times 0,3 + 2 \times 0,625 + 1  \times 0,025 = 0,25 + 0,9 + 1,25 + 0,025 = 2,425$.

Cette espérance représente la durée de vie moyenne d'une pièce. 
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 4 points}
 
\medskip

%Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, d'expression : 
%\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right) - 1.\]
% On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.
 
 \medskip

 \textbf{Partie A Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. Donner une interprétation graphique du résultat.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$.

Ceci montre que la droite d'équation $y = -1$ est asymptote horizontale \`a  $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moins l'infini.
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$,{} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
 	\end{enumerate}
\item	%Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Vérifier que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}$.
En posant $u(x) = 1 + \text{e}^x,~f(x) = \ln u(x) - 1$, donc $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u'(x) = \text{e}^x$.

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.  
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
		On sait que $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, donc $1 + \text{e}^x > 1 > 0$ et finalement le quotient $f'(x)$ est lui aussi supérieur \`a zéro : la fonction est donc croissante sur $\R$. D'où le tableau de variations (avec $f(0) = \ln (2) - 1$ :
		
\medskip
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](4,2.5){$0$} \uput[u](5.6,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(4,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.4,0){$-1$}\uput[d](5.6,2){$+\infty$}
\psline{->}(2.6,0.3)(5.4,1.7) \rput(4,1){$\ln (2) - 1$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip		 
		\item   %Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point E d'abscisse $0$.
On a $f'(0) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.

D'où $M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - \left(\ln (2) - 1 \right) = \dfrac{1}{2}(x - 0) \iff y = \dfrac{1}{2}x + \ln (2) - 1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que, pour tout $x$ de $\R$, on a : $f(x) -(x - 1) = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right)$.
Pour tout $x$ de $\R$, on a : $f(x) - (x - 1) = \ln \left(1 + \text{e}^x\right) - 1 - x + 1 = 	\ln \left(1 + \text{e}^x\right) - x = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right)$.	
%En déduire que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) - (x - 1) = \ln\left(\text{e}^{-x} + 1\right)$.

D'après la question précédente : $f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^x \right) - \ln \left(\text{e}^x \right) = \ln \dfrac{1 +\text{e}^x}{\text{e}^x} = \ln \left( \dfrac{1}{\text{e}^x} + \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x}\right) = \ln \left(\text{e}^{-x} + 1\right)$.
		\item  %Déterminer la limite de $f(x) - (x - 1)$ en $+\infty$. Donner une interprétation graphique du résultat.
D'après la question précédente :
		
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - (x - 1) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\text{e}^{-x} + 1\right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} + 1 = 1, {}\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln\left(\text{e}^{-x} + 1\right) = 0$.

Ceci montre que la droite d'équation $y = x - 1$ est asymptote \`a $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item  %Soit $\Delta$ la droite d'équation : $y = x - 1$.
		
%Étudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$.
D'après la question précédente la différence $f(x) - (x - 1)$ est égale \`a $\ln \left(\text{e}^{-x} + 1\right).$

Comme $\text{e}^{-x} > 0,~\text{e}^{-x} + 1 > 1$, donc $\ln \left(\text{e}^{-x} + 1\right) > \ln 1 = 0$.

Ceci montre que, quel que soit $x \in \R$,  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$.
	\end{enumerate}
\item	En prenant comme unité graphique 2~cm sur chaque axe, construire sur une feuille de papier millimétré la droite T, la droite $\Delta$, la droite d'équation : $x = 1$, et la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\textbf{Partie B Encadrement d'une aire}

\begin{enumerate}
\item %Hachurer sur le graphique la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = 1$ et $x = 2$.

%On va déterminer un encadrement de la valeur de l'aire $\mathcal{A}$, de cette surface en unités d'aire.

\item 	%Tracer la droite D d'équation : $y = 0,8x - 0,2$.
Voir la figure
\item 	%Par lecture graphique préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et de la droite D sur l'intervalle [1~  ;~ 2].
On voit que sur [1~ ;~2] la droite D est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item 	%On admet que : 
%\[\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x  \leqslant \int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant \int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x$  et $J = \displaystyle\int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x$.
$I = \displaystyle\int_{1}^2 (x - 1)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2} - x \right]_{1}^2 = 2 - 2 - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}$ (évident sur la figure).

$J = \displaystyle\int_{1}^2 (0,8x-0,2)\:\text{d}x = \left[0,4x^2 - 0,2x \right]_{1}^2 = 1,6 - 0,4 - 0,4 + 0,2 = 1$.
		\item %En déduire un encadrement de $\mathcal{A}$.
On en déduit d'après l'hypothèse faite que 

\[I \leqslant \mathcal{A} \leqslant J \iff \dfrac{1}{2} \leqslant \mathcal{A} \leqslant 1.\]
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt]
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{2}{2.71828 x exp 1 add ln 1 sub}
\psline(2,0)(1,0)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](-2.5,-0.9){\blue $\mathcal{C}_{f}$}\uput[u](-1.8,-2.8){$\Delta$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{3}{2.71828 x exp 1 add ln 1 sub}
\psplot{-2}{3}{x 1 sub}
\psplot{-2}{2}{0.8 x mul 0.2  sub}
\psline{<->}(-1,-0.8)(1,0.2)\uput[d](-0.6,-0.6){T}\uput[u](1.5,1){D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}




