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%Tapuscrit :Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,\\ énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\[5pt]Métropole septembre 2006}}

\vspace{0,5cm}
%
%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

%Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

%Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation 
%\[\left(z^2+ 9\right)\left(z^2 - 9z + 27\right) = 0.\]
$\left(z^2+ 9\right)\left(z^2 - 9z + 27\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z^2+ 9&=&0\\
z^2 - 9z + 27&=&0
\end{array}\right.$

La première équation a pour solutions : $3\text{i}$ et $-3\text{i}$.

Pour la seconde : $\Delta = 81 - 4 \times 27 = - 27 = (3\text{i}\sqrt{3})^2$ ; elle a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{9 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad  -\dfrac{9 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2} \]
\item 	%Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, d'unité graphique 1~ cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives:
%\[z_{\text{A}} = 3\text{i}\quad  ;\quad  z_{\text{B}} = \dfrac{9}{2} +\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et} ~ z_{\text{C}} = \dfrac{9}{2} -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Écrire chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre, réel positif et $\theta$ un nombre réel.
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $3\text{i} = 3 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ ;
\item[$\bullet~$] $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = \frac{81}{4} + \frac{27}{4} = \frac{108}{4} = 27 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} \right| = 3\sqrt{3}$ ;

On peut donc écrire $z_{\text{B}} = 3\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{
3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 3\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}  \right) = 3\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ ; 
\item[$\bullet~$] Comme $z_{\text{C}}$ est le conjugué de $z_{\text{B}}$, on a $z_{\text{C}} = 3\sqrt{3}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item  %Soit I le point d'affixe $z_{\text{I}} = 2$. Calculer les distances AI, BI et CI.
IA$^2 = \left|3\text{i} - 2 \right|^2 = 9 + 4 = 13 \Rightarrow \text{IA} = \sqrt{13}$.

BI$^2 = \left|2 - \dfrac{9}{2} -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2  
 = \left|- \dfrac{5}{2} -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = \dfrac{25}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{52}{4} = 13 \Rightarrow \text{BI} = \sqrt{13}$ ; 
 
CI$^2 = \left|2 - \dfrac{9}{2} +\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = 
 \left|- \dfrac{5}{2} +\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right|^2 = \dfrac{25}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{52}{4} = 13 \Rightarrow \text{CI} = \sqrt{13}$.
%En déduire que les points A, B et C sont sur un m\^eme cercle dont on précisera le centre et le rayon.
$\text{IA} = \text{BI} = \text{CI} = \sqrt{13}$ montrent que A, B et C sont sur un m\^eme cercle de centre I et de rayon $\sqrt{13}$
		\item  %À l'aide d'une règle et d'un compas, construire les points I, A, B et C. On utilisera une feuille de papier millimétré et on laissera apparents les traits de construction pour les points B et C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip
\psset{unit=1.2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-3.5)(6,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=lightgray,subgriddiv=10](-1,-3.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-4)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psdots(0,3)(4.5,2.598)(4.5,-2.598)(2,0)(4.5,0)%ABCI
\uput[r](0,3){A}  \uput[r](4.5,2.598){B}  \uput[r](4.5,-2.598){C}  \uput[u](2,0){I} \uput[dl](0,0){O}
\psarc(0,0){5.19615}{-45}{45}
\psline[linestyle=dashed](4.5,-4)(4.5,4)
\psline(0,3)(2,0)(4.5,2.598) \psline(4.5,-2.598)(2,0)
\rput{45}(2,2.3){$3\sqrt{3}$}
\uput[ur](4.5,0){4,5}
\SpecialCoor
\psline{->}(0;0)(5.19615;45)   
\end{pspicture*}
\end{center}  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle : $y'' + 16y = 0,~ y$ désignant une fonction numérique d'une variable réelle définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
$y'' + 16y = 0,~ \iff y'' + 4^2y = 0,~ y$. On sait que les solutions sont de la forme :

$y = A\cos 4x + B \sin  4x,~A \in \R,~B \in \R$.
\item  %Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant : 
%\[f(0) = \dfrac{1}{10}\quad \text{et}~~ f'(0) = - \dfrac{2\sqrt{3}}{5}.\]
La solution $f(x) = A\cos 4x + B \sin  4x$ a pour dérivée : $f'(x) = - 4A\sin 4x + 4B \cos 4x$.

Donc $\left\{\begin{array}{l c l}
f(0) &=& \dfrac{1}{10}\\
f'(0) &=& - \dfrac{2\sqrt{3}}{5}
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&\dfrac{1}{10}\\
4B&=&- \dfrac{2\sqrt{3}}{5}\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&\dfrac{1}{10}\\
B&=&- \dfrac{\sqrt{3}}{10}\end{array}\right.$

La solution vérifiant les conditions est définie par :
$f(x) = \dfrac{1}{10}\cos 4x -  \dfrac{\sqrt{3}}{10}\sin 4x$

\item 	%Démontrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) = \dfrac{1}{5}\cos \left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right).$
On peut écrire $f(x) = \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{2}\cos 4x -  \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x \right) = \dfrac{1}{5}\left(\cos - \frac{\pi}{
3}\cos 4x +  \sin - \frac{\pi}{3}\sin 4x \right) =  \dfrac{1}{5}\cos \left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$, d'après la formule d'addition : 
$\cos a\cos b + \sin a\sin b = \cos (a - b)$.

\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre, dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$.
$f(x) = \dfrac{1}{5} \iff \dfrac{1}{5}\cos \left(4x + \frac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{5} \iff \cos \left(4x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \iff 4x + \frac{\pi}{3} = 0 + 2k\pi,~k \in \Z \iff 4x = - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \iff x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2}$.
		\item  %Déterminer les solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{1}{5}$ qui appartiennent à l'intervalle $[0~ ;~ 2\pi[$.
On doit avoir :

$0 \leqslant -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \leqslant 2\pi \iff
\frac{\pi}{12} \leqslant k\frac{\pi}{2} \leqslant 2\pi + \frac{\pi}{12}\iff \frac{2}{\pi}\frac{\pi}{12} \leqslant k\frac{\pi}{2}\frac{2}{\pi} \leqslant \frac{2}{\pi}\left(2\pi + \frac{\pi}{12}\right)$

$ \iff \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 4 + \frac{1}{6}$.

Donc les valeurs possibles pour $k$ sont 1, 2, 3 et 4.

$k = 1,~x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}	= \dfrac{5\pi}{12}$ ;

$k = 2~x = 	-\frac{\pi}{12} + 2\frac{\pi}{2} = \dfrac{11\pi}{12}$ ;

$k = 3~x = -\frac{\pi}{12} + 3\frac{\pi}{2} = \dfrac{17\pi}{12}$ ;

$k = 4~x = -\frac{\pi}{12} + 4\frac{\pi}{2} = \dfrac{23\pi}{12}$ 
%Représenter ces solutions sur un cercle trigonométrique.

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){4}\uput[dl](0;0){O}
\psdots(4;75)(4;165)(4;255)(4;345)
\psline(4;75) \psline(4;165)  \psline(4;255)  \psline(4;345)
\uput[ur](4;75){$\dfrac{5\pi}{12}$} \uput[ul](4;165){$\dfrac{11\pi}{12}$} \uput[dl](4;255){$\dfrac{17\pi}{12}$} \uput[dr](4;345){$\dfrac{23\pi}{12}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par 
%\[g(x) =  2x^2 - 4 \ln x + 4.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

%\[g'(x) = \dfrac{4x^2 - 4}{x}.\]
$g$ somme de fonctions dérivable sur $]0~ ;~ + \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$g'(x) = 4x - \dfrac{4}{x} = \dfrac{4x^2 - 4}{x}$.
\item 	%Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ puis dresser son tableau de variations (on ne demande pas le calcul des limites).
Comme $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme $4x^2 - 4$ ou encore $1 - x^2$ ; celui-ci est positif sauf entre les racines $-1$ et $1$.

Donc sur $]0~;~1[,~g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante ;

sur $[1~ ;~+ \infty[,~g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante.

On a $g(1) = 2\times 1^2 - 4 \ln 1 + 4 = 6$. D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)\psline[doubleline=true](2.1,0)(2.1,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](7.6,2){$+\infty$}
\rput(1,1){$g(x)$}
\psline{->}(2.4,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7)
\uput[u](5,0){6} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item 	%Déterminer le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$.
Le minimum $f(1) = 6$ de la fonction est supérieur à zéro : la fonction $g$ est donc positive non nulle sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans toute la suite du problème, on étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$ par

%\[f(x) =  2x - 3 + 4 \dfrac{\ln x}{x}.\]
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $1$~ cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $0$.
		On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		\item %Interpréter graphiquement le résultat précédent.
		Géométriquement le résultat précédent montre que l'axe des ordonnées $y = 0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
		Soit la fonction $d$ définie sur $]0~ ;~ + \infty[$ par $d(x) = f(x) - (2x - 3) = 4 \dfrac{\ln x}{x}$.
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} d(x) = 0$, donc la droite  $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
\item  %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ est donnée par le signe de  $d(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ c'est-à-dire du signe de $\ln x$ ;

donc sur $]0~;~1[,~d(x) < 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est sous la droite $\mathcal{D}$ ;

sur $]1~;~+ \infty[,~d(x) > 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\item 	%Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et prouver que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif:

%\[f'(x) = \dfrac{ g(x)}{x^2}.\]
$f$ somme de fonctions dérivable sur $]0~ ;~ + \infty[$ est dérivable et sur cet intervalle,

$f'(x) = 2 +4 \left(\dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1\times \ln x}{x^2} \right) = 2 + 4\left(\dfrac{1 - \ln x}{x^2} \right)  = \dfrac{2x^2 + 4 - 4\ln x}{x^2} = \dfrac{ g(x)}{x^2}$.
\item 	%À l'aide des résultats de la partie A, indiquer le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~ ;~ + \infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Comme $x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$. Or on a vu à la partie A que $g(x) > 0$ si $x > 0$ ; donc la fonction $f$ est croissante sur  $]0~ ;~ + \infty[$. D'o\`u le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,2.5)\psline[doubleline=true](2.1,0)(2.1,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.1,2){$0$}  \uput[u](5.6,2){$+\infty$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.8,0.3)(5.3,1.7)
\uput[u](2.4,0){$-\infty$} \uput[d](5.6,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1 ; 2].
La fonction $f$ est croissante sur $[1~;~2]$ ; $f(1) = 2 - 3 + 4 \dfrac{\ln 1}{1} = - 1 < 0$ et 

$f(2) = 4 - 3 + 4\dfrac{\ln 2}{2} = 1 + 4\dfrac{\ln 2}{2} > 0$.

Conclusion : il existe un réel unique $\alpha$ de  $[1~;~2]$ tel que $f(\alpha) = 0$.
		\item  %Donner un encadrement d'amplitude $10^{-4}$ de $\alpha$.
La calculatrice donne : $f(\nombre{11981}) \approx -\nombre{0,0004}$ et $f(\nombre{11982}) \approx \nombre{0,00004}$.

Donc $\nombre{11981} < \alpha <  \nombre{11982}$.
	\end{enumerate}
\item %Pour quelle valeur de $x$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle, au point d'abscisse $x$, une tangente parallèle à $\mathcal{D}$ ?
Le coefficient directeur de $\mathcal{D}$ est égale à $2$. Il faut donc résoudre l'équation :

$f'(x) = 2 \iff \dfrac{2x^2 + 4 - 4\ln x}{x^2} = 2 \iff 2x^2 + 4 - 4\ln x = 2x^2 \iff $

$4 - 4\ln x = 0 \iff 4 = 4\ln x \iff 1 = \ln x \iff x = \text{e}$.
\item 	%Construire avec soin la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ (on utilisera une feuille de papier millimétré).
Voir la figure à la fin.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
%Dans cette partie, on souhaite calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine $\mathcal{E}$ situé entre les droites d'équations $x = 1$ et $x = 5$, la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$.

\begin{enumerate}
\item  %Hachurer le domaine $\mathcal{E}$ sur le graphique réalisé à la partie B.
Voir la figure
\item  %Montrer que $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^5 4\dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x$.
On a vu à la question 2. c. de la partie B que $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{D}$ pour $x > 1$.

L'aire de la partie est donc égale, en unité d'aire à l'intégrale
 
$\displaystyle\int_{1}^5  f(x) - (2x - 3)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^5 4 \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %On pose, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $H(x) = (\ln x)^2$.
		
%Déterminer la dérivée de la fonction $H$.
Pour $x > 0$, la fonction $H$ est dérivable et sur cet intervalle 

$H'(x) = 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{\ln x}{x}$. 
		\item  %Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
D'après le résultat précédent :
		
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^5 4\dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = 2 \displaystyle\int_{1}^5 2\dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x = 2\left[(\ln x)^2  \right]_{1}^5 = 2(\ln 5)^2 - 2(\ln 1)^2 = 2(\ln 5)^2$.

L'unité d'aire étant égale à $1 \times 1 = 1$~cm$^2$, on a 

$\mathcal{A} = 2(\ln 5)^2~\left(\text{cm}^2\right) \approx 5,180 \approx 5,18$cm$^2$ à 1 mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-8)(8,10)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{5}{2 x mul 3 sub x ln 4 mul x div add}
\psline(5,7)(1,-1)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-8)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=lightgray](-1,-8)(8,10)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.484}{5.92}{2 x mul 3 sub x ln 4 mul x div add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{6.5}{2 x mul 3 sub}
\uput[r](6,9){$\mathcal{D}$} \uput[l](5.3,9){$\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci
\end{document}