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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\[5pt]Métropole 22 juin 2010}}

\vspace{0,5cm}

%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

%Du papier millimétré est mis  la disposition des candidats.

%Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%En 2008, les ateliers Ouest et Est d'une même entreprise produisent respectivement \np{1100} et 900 pièces d'un unique modèle chaque jour.
% 
%On estime que 2\:\% de la production de l'atelier Ouest est défectueuse ainsi que 3\:\% de la production de l'atelier Est.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Compléter sur l'annexe à rendre avec la copie, le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&Pièces défectueuses &Pièces non défectueuses &Total\\ \hline
Ouest &22&\np{1078}&\np{1100}\\ \hline 
Est&27&873&900\\ \hline 
Total&49&\np{1951}& \np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %On prélève, au hasard, une pièce dans la production totale. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%On définit les évènements suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $E$ : \og la pièce prélevée est produite dans l'atelier Est \fg,
%\item $D$ : \og la pièce prélevée est défectueuse \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$.

%Calculer $p(E),~ p(D),~ p(E \cap D)$ puis $p(E \cup D)$.
On a $p(E) = \dfrac{900}{\np{2000}} = \dfrac{450}{\np{1000}} = 0,45$.

$p(D) = \dfrac{22 + 27}{\np{2000}} = \dfrac{49}{\np{2000}} = 0,0245$.

$p(E \cap D)$ = \dfrac{27}{\np{2000}} = 0,0135$.

$p(E \cup D) = p(E) + p(D) - p(E \cap D) = 0,45 + 0,0245 - 0,0135 = 0,461.$
		\item~ %On a prélevé au hasard une pièce dans la production de l'entreprise. Elle est défectueuse.
		 
%Calculer la probabilité qu'elle provienne de l'atelier Ouest.
Il faut la calculer la probabilité que la pièce vienne de l'atelier Ouest sachant qu'elle est défectueuse, soit :

$p_{D}\left(\overline{E}\right) = \dfrac{p\left(\overline{E} \cap D \right)}{p(D)} = \dfrac{\frac{22}{\np{2000}}}{\frac{49}{\np{2000}}} = \dfrac{22}{49} \approx 0,449$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
% 
%En 2009, la production journalière est la suivante :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&Pièces défectueuses &Pièces non défectueuses &Total\\ \hline 
%Ouest 	&20 &980 		&\np{1000}\\ \hline 
%Est 	&24 &776 		&800\\ \hline 
%Total 	&44 &\np{1756} 	&\np{1800}\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%Chaque pièce coûte 7~\euro{} à produire et est testée.
% 
%La réparation d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Ouest coûte 3~\euro{} et celle d'une pièce défectueuse produite dans l'atelier Est 5~\euro{}.
% 
%Chaque pièce est ensuite vendue 10~\euro{}. Ainsi, par exemple, une pièce défectueuse produite par l'atelier Ouest rapporte : $10 - 7 - 3$ soit 0~\euro{} à l'entreprise.
% 
%On appelle $B$ le gain journalier de l'entreprise.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le gain journalier $B$ de l'entreprise.
Le coût journalier de production est : $7 \times \np{1800} = \np{12600}$~\euro.

Le coût de réparation des pièces défectueuses est : $20 \times 3 + 24 \times 5 = 60 + 120 = 180$~\euro.

La vente rapporte : $\np{1800} \times 10 = \np{18000}$~\euro.

Le gain journalier de l'entreprise est donc égal à :

$\np{18000}  - \np{12600} - 180 = \np{5220}$~\euro. 
\item %Durant l'année, les ateliers fonctionnent 300 jours. Estimer le gain annuel, exprimé en euros, de l'entreprise.

Sur une année de 300 jours ouvrables le gain est égal à :

$300 \times \np{5220} = \np{1566000}$~\euro. 
\item %Le chef d'entreprise envisage d'éliminer les pièces défectueuses avant réparation pour ne vendre que les pièces non défectueuses. Cette stratégie lui coûte \np{100000}~\euro{} par an compte tenu du recyclage. Cette stratégie est-elle rentable pour l'entreprise ?
Le nouveau gain journalier est égal à :

$\np{1756}(10 - 7) = \np{1756} \times 3 = \np{5268}$~\euro.

Le nouveau gain annuel est égal à :

$300 \times \np{5268} - \np{100000} = \np{1480400} < \np{1566000}$.

Conclusion : la stratégie n'est pas rentable. 
\end{enumerate}
 
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté à un repère \Ouv{} orthonormal direct d'unité graphique 2~cm.

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item  %On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par 

%\[P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z + 8.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $P(-1) = 0$.
$P(-1) = (-1)^3 - 3\times(-1)^2 + 4\times(-1) + 8 = - 1 - 3 - 4 + 8 = 0$.

$(-1)$ est une racine de $P$. 
		\item %Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z,$
		
%\[P(z) = (z + 1)\left(z^2 + az + b\right).\]
En développant :

$(z + 1)\left(z^2 + az + b\right) = z^3 + az^2 + bz + z^2 + az + b = z^3 + (a + 1)z^2 + (b + a)z +  b$.

En identifiant ce polynôme à $z^3 - 3z^2 + 4z + 8$, on obtient le système

$\left\{\begin{array}{l c l r}
a+ 1&=&-3&(1)\\
a + b&=&4&(2)\\
b&=&8&(3)
\end{array}\right.$

On a donc $b = 8$ et en substituant dans  (2), on trouve $a = - 4 $ comme avec (1).

Donc $P(z) = z^3 - 3z^2 + 4z + 8 = (z + 1)\left(z^2 - 4z + 8 \right)$.
 
		\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$.
		En utilisant le résultat précédent :
		
$P(z) = 0 \iff (z + 1)\left(z^2 - 4z + 8 \right) \iff$

\left\{\begin{array}{l c l }
z + 1&=&0\\
z^2 - 4z + 8&=&0
\end{array}\right.$.
	
On a déjà vu la solution $(-1)$ ; pour l'équation du second degré :

$\Delta = 16 - 4 \times 8 = - 16 = (4\text{i})^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

$\dfrac{4 + 4\text{i}}{2} = 2 + 2\text{i}$ et la solution conjuguée $2 - 2\text{i}$.

\[S = \{-1~;~2 + 2\text{i}~ ;~2 - 2\text{i}\}\]	
	\end{enumerate} 
\item %On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $z_{\text{A}} = -1,~z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$ et z_{\text{C}} = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		Voir la figure plus bas. 
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. En déduire une écriture exponentielle de ces trois nombres.
$z_{\text{A}} = - 1 = 1\text{e}^{\text{i}\pi}$ : le module est $1$ et un argument est $\pi$ ;

$z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$ ; donc $\left|z_{\text{B}}  \right|^2 = 2^2 + 2^2 = 8 = (2\sqrt{2})^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{B}}  \right| = 2\sqrt{2}$.

On peut factoriser par le module :

$z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)$ : un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{\pi}{4}.$

Comme $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$ son module est égal à $2\sqrt{2}$ et un de ses arguments est $-\dfrac{\pi}{4}$.

On a donc : $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{C}}= 2\sqrt{2}\text{e}^{-\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle ABC.
B et C étant symétriques autour de (O$x$), le triangle ABC est isocèle de base BC = 4 et de hauteur 3. Son aire est donc égale à :

\[\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{4 \times 3}{2}  = 6~(\text{u. a.})\]

Comme l'unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4~$cm$^2$, on a $\mathcal{A}(\text{ABC}) = 6 \times 4 = 24$~cm$^2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](-1.5,-2.5)(2.5,2.5) 
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1.5,-2.5)(2.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(-1,0)(2,2)(2,-2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,0){A} \uput[ur](2,2){B} \uput[dr](2,-2){C}
\pspolygon[linecolor=blue](-1,0)(2,2)(2,-2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle notée (E) : 

%\[y' + 0,1y = 3\]
% 
%où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle notée (F) : 

%\[z' + 0,1 z = 0\]
 
%où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
On sait que la solution générale de l'équation (F) est : $z(t) = K\text{e}^{-0,1t},~K \in \R$.
\item %On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  

%$y(t) = z(t) + 30$, où la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle (F). 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $y$ est solution de l'équation différentielle (E).
$y(t) = z(t) + 30 = K\text{e}^{-0,1t} + 30 \Rightarrow y'(t) = z'(t) = -0,1z(t) = -0,1K\text{e}^{-0,1t},~K \in \R$.

On a donc :

$y'(t) + 0,1y(t) = -0,1K\text{e}^{-0,1t} + 0,1\left(K\text{e}^{-0,1t} + 30\right) =$

$-0,1K\text{e}^{-0,1t} + 0,1K\text{e}^{-0,1t} + 3 = 3$.

La fonction $y$ définie par $y(t) = K\text{e}^{-0,1t} + 30,~K \in \R$ est donc une solution de l'équation différentielle (E). 
		\item %Parmi les fonctions précédentes, déterminer celle vérifiant $y(0) = 20$.
$y(t) = K\text{e}^{-0,1t} + 30$ et $y(0) = 20 \Rightarrow K + 30 = 20 \iff K = - 10$.

La fonction solution de (E) et vérifiant $y(0) = 20$ est donc : $y(t) = -10\text{e}^{-0,1t} + 30$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%La température  en degrés Celsius (\degres C) du lubrifiant d'un moteur varie en fonction du temps $t$ de fonctionnement exprimé en heures.
% 
%La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

%\[f(t) = 30 - 10\text{e}^{-0,1t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la température du lubrifiant: 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'arrêt.
C'est la température pour $t = 0$, donc $f(0) = 30 - 10 = 20$. 
		\item %Au bout de vingt quatre heures.
		C'est $f(24) = 30 - 10\text{e}^{-0,1\times 24} = 30 - 10\text{e}^{-2,4} \approx 29,1$\degres~C.
	\end{enumerate} 
\item %On s'intéresse au comportement de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-0,1t} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 30$.		  
		\item %Donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
 Graphiquement : la droite d'équation $y = 30$ est tangente horizontale au graphe de $f$. 
		\item %Donner une signification concrète de ce résultat pour le lubrifiant.
Le résultat précédent montre qu'au bout d'un certain temps la température du lubrifiant va se rapprocher au maximum de 30~\degres C.
	\end{enumerate} 
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		 
%En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
$f'(t) = -10 \times (-0,1)\text{e}^{-0,1t} = \text{e}^{-0,1t}$.

On sait que pour tout réel $t,~\text{e}^{-0,1t} > 0$ : la dérivée est donc positive : la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+~\infty[$
		\item %Construire la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+~\infty[$ dans le repère orthogonal $[0~;~+\infty[$ de l'annexe qu'on rendra avec la copie.
Voir plus bas. 
		\item %À quel instant la température du lubrifiant est-elle de 28 \degres C ? Donner une valeur approchée à l'heure près puis à la minute près du résultat.
		Il faut résoudre l'équation :
		
		$f(t) = 28 \iff 30 - 10\text{e}^{-0,1t} = 28 \iff 2 = 10\text{e}^{-0,1t} \iff 1 = 5\text{e}^{-0,1t} \iff \dfrac{1}{5}  = \text{e}^{-0,1t}$, soit en utilisant la croissance de la fonction $\ln$ :
		
\ln \frac{1}{5} = -0,1t \iff - \ln 5 = - 0,1t \iff \ln 5 = 0,1t \iff 10\ln 5 = t \approx 16,0944 \approx $16~h~6~min.

La température atteint 28 \degres C après approximativement  16~heures~6~min. 
		\item %Calculer la température moyenne du lubrifiant entre la cinquième et la dixième heure de fonctionnement.
On a $V_{m} = \dfrac{1}{10 - 5}\displaystyle\int_{5}^10 \left[30 - 10\text{e}^{-0,1t}\right]\:\text{d}t = \dfrac{1}{5}\left[30t + 100\text{e}^{-0,1t}\right]_{5}^{10} =$

$ 60 + 20\text{e}^{-1}- 30 - 20\text{e}^{-0,5} \approx 25,227 \approx 25,2.$~\degres C
	\end{enumerate}

\medskip
 
%\emph{On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $g$ dérivable sur [a~;~b] est :}
% 

%\[V_{m} = \dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x.\] 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

%\textbf{Exercice 1}

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%		&Pièces défectueuses&Pièces non défectueuses&Total\\ \hline
%Ouest 	&22					&						&\\ \hline 
%Est		&					&						&\\ \hline 
%Total	&					&						& \np{2000}\\ \hline
%\end{tabularx}

%\bigskip

\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.5cm}

\begin{pspicture}(-10,-2)(150,35)
\uput[d](150,0){$t$}\uput[l](0,35){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-0)(\n,35)}
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(150,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(150,35)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{140}{30 10 2.71828 0.1 x mul exp div sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](24,0)(24,29.1)(0,29.1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](16.09,0)(16.09,28)(0,28)
\end{pspicture}

\end{document}