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%%%%%%Tapuscrit Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI novembre
 2009 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

%On note i le nombre complexe de module 1 et d' argument $\dfrac{\pi}{2}$· 

%Soit $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :
% \[P(z) = z^3 + 2z^2 - 16.\] 
\begin{enumerate}
\item  %Résolution de l'équation $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff z^3 + 2z^2 - 16 = 0$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(2)$ et déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que 
$P(2) = 2^3 + 2\times 2^2 - 16 = 8 + 8 - 16 = 0.$		
%$P(z) = (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right)$. 
$P(z) = (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) \iff (z - 2)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) = z^3 + 2z^2 - 16 \iff z^3 + \alpha z^2 + \beta z - z^2 - 2\alpha z - 2\beta = z^3 + 2z^2 - 16 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha - 2 &=& 2\\
\beta - 2\alpha&=&0\\
- 2\beta&=&-16
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha  &=& 4\\
8 - 2 \times 4&=&0\\
\beta&=&8
\end{array}\right.$.

Donc $P(z) = (z - 2)\left(z^2 + 4 z + 8 \right)$.
		\item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
		
%$P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff (z - 2)\left(z^2 + 4 z + 8 \right) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - 2&=&0\\
\text{ou}&&\\
z^2 + 4 z + 8&=&0
\end{array}\right.$

Résolution de l'équation $z^2 + 4 z + 8 = 0$ : $\Delta = 4^2 - 4\times 8 = 16 - 32 = - 16 = \left(4\text{i}\right)^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_{2} = \dfrac{-4 + 4\text{i}}{2} = -2 + 2\text{i}$ et $z_{3} = -2 - 2\text{i}.$

On a donc finalement :

\[P(z) = 0 \iff z_{1} = 2 \quad \text{ou} \quad z_{2} =  -2 + 2\text{i}\quad \text{ou} \quad z_{3} = -2 - 2\text{i}.\]
	\end{enumerate} 
%On désigne par A, B, et C les points d'affixes respectives :

% $a = 2~;~ b = -2 - 2\text{i}~ ;~ c = 4\text{i}$. 
 
\item Étude du triangle ABC 
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B, et C dans le repère \Ouv.
Voir la figure plus bas. 
		\item  %Calculer les modules des nombres complexes $b - a,~ c - a$ et $c - b$·
$|b - a|^2 = |- 2 - 2\text{i} - 2| = |- 4 - 2\text{i}| = 16 + 4 = 20 \Rightarrow |b - a| = 2\sqrt{5}$ ;

$|c - a|^2 = |4\text{i} - 2|^2 = 16 + 4 = 20 \Rightarrow |c - a| = 2\sqrt{5}$ ;

$|c - b|^2 = |4\text{i} + 2 + 2\text{i}|^2 = |2 + 6\text{i}|^2 = 4 + 36 = 40 \Rightarrow |c - b| = 2\sqrt{10}$.


		\item  %Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
On a donc $|b - a| = |c - a| = \text{AB} = \text{AC} = 2\sqrt{5}$ ce qui signifie que ABC est isocèle en A et d'autre part 

$20 + 20 = 40 \iff \text{AB}^2  +  \text{AC}^2 = \text{BC}^2$ ce qui signifie d'après la réciproque du théorème de Pythagore que ABC est rectangle en A. 
		\item  %Déterminer l'affixe $d$ du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.
ABDC est un carré entraîne que $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{CD}} \iff z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = z_{\text{D}}  -z_{\text{C}} \iff z_{\text{D}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} + z_{\text{C}} = -2 - 2\text{i} - 2 + 4 \text{i} = -4 + 2\text{i} = d$. 
	\end{enumerate}
\item %On note $\Omega$ le point du plan d'affixe $\omega = \sqrt{2} \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer l'écriture algébrique de $\omega$ et placer le point $\Omega$ dans le repère \Ouv.
$\omega = \sqrt{2} \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}} = \sqrt{2} \left(\cos  \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 + \text{i}$. 
		\item %Démontrer que les points A,  B, C, et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon.
ABCD est un carré puisque c'est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de m\^eme longueur, donc un losange et un angle droit, donc un rectangle.

Il est donc inscrit dans un cercle dont le centre est par exemple le milieu de [AD] qui a pour affixe $\dfrac{2  - 4 + 4\text{i}}{2} = - 1 + 2\text{i}$ : c'est donc $\Omega$.

Le rayon du cercle est égal à $\dfrac{\text{BC}}{2} = \dfrac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On note $\left(x_{n}\right)$ la suite arithmétique de premier terme $x_{0} = 10$ et de raison $r$.
 
%Sachant que $x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 100$, déterminer $r$ et en déduire les valeurs de $x_{1},~ x_{2},~x_{3}$  et $x_{4}$.
On a $x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 100 \iff  x_{0} + x_{0} + r + x_{0} + 2r + x_{0} + 3r + x_{0} + 4r = 5x_{0} + 10r = 100 \iff 50 + 10r = 100 \iff 10r = 50 \iff r = 5$.
\item  %Un sac contient 100 boules indiscernables au toucher. Sur chacune de ces boules est inscrit l'un des numéros 0, 1, 2, 3 ou 4. Le nombre de boules portant chaque numéro est indiqué dans le tableau ci-dessous : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%Numéro de la boule& 0 &1 &2 &3 &4 \\ \hline%
%Nombre de boules portant ce numéro& 10 &15 &20 &25 &30 \\ \hline%

%\end{tabularx}

\medskip 

%Un joueur tire au hasard une boule dans le sac, et on admet que les tirages sont équiprobables.

%Pour chaque entier $n$ compris entre 0 et 4, on note $P_{n}$ la probabilité que le joueur tire une boule  portant le numéro $n$.
% 
%Déterminer les valeurs des nombres $P_{0},~ P_{1},~ P_{2},~  P_{3}$ et $P_{4}$· 
%\item  On convient de la règle du jeu suivante :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est impair, le joueur perd $n$ euros (son gain est donc égal à $- n$ euros) ; 
%\item[$\bullet~$] si le numéro $n$ de la boule tirée est pair, le joueur gagne $n$ euros (son gain est donc égal à +$n$ euros) .
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'une boule associe le gain du joueur.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire $X$.
$X \in \{0~;~-1~;~2~;~-3~;~4\}$. 
		\item %Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 2)$ est égale à $0,2$.
$p(X = 2) = \dfrac{20}{100} = 0,2$. 
		\item %Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ puis déterminer son espérance mathématique E($X$).
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&0&$-1$&2&$-3$&4\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p(X = x_{i})$&$\dfrac{10}{100}$&$\dfrac{15}{100}$&$\dfrac{20}{100}$&$\dfrac{25}{100}$&$\dfrac{30}{100}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

E$(X) = 0 \times \dfrac{10}{100} - 1\times \dfrac{15}{100} + 2\times \dfrac{20}{100} - 3 \times \dfrac{25}{100} + 4 \times \dfrac{30}{100} = \dfrac{- 15 + 40 - 75 + 120}{100} = \dfrac{70}{100} = 0,70$~(\euro).
		 
		\item %On modifie la règle du jeu de façon à ce que les numéros pairs soient perdants (le gain est égal à $-n$ euros) et les impairs gagnants (le gain est égal à $+n$  euros). 
		
%Calculer, selon cette nouvelle règle, l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y$ associée au gain du joueur.
Le tableau de la nouvelle loi est le suivant :

\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_{i}$&-0&$1$&$-2$&$3$&$-4$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p(Y = y_{i})$&$\dfrac{10}{100}$&$\dfrac{15}{100}$&$\dfrac{20}{100}$&$\dfrac{25}{100}$&$\dfrac{30}{100}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

La nouvelle espérance mathématique est donc égale à :

E$(Y) = 0 \times \dfrac{10}{100} + 1\times \dfrac{15}{100} - 2\times \dfrac{20}{100} + 3 \times \dfrac{25}{100} - 4 \times \dfrac{30}{100} = \dfrac{ 15 - 40 + 75 - 120}{100} = \dfrac{-70}{100} = -0,70$~(\euro).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A : résolution d'une équation différentielle} 

\medskip
 
%Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l'équation différentielle 
%\[\left(E_{1}\right) :\quad  y'+ 2y = x \]
%o\`u $y$ désigne une fonction numérique de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{2}\right) :\quad  y'+ 2y = 0$.
On sait que les solutions de cette équation différentielle linéaire du premier ordre  sont : $y = K\text{e}^{-2x},~K \in \R$.
\item %Vérifier que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, par $u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$, est une solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.
$u(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \Rightarrow u'(x) = \dfrac{1}{2}$ ; donc 

$u'(x) + 2u(x) = \dfrac{1}{2} + 2\left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{1}{2} + x - \dfrac{1}{2}  = x$ : $u(x)$ est donc solution de $\left(E_{1}\right)$.
\item %On admet que toute solution $\varphi$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ est de la forme $\varphi(x) = u(x) + C\text{e}^{-2x}$ où $C$ est un nombre réel quelconque et $u$ la fonction définie à la question 2. 
 
%Déterminer la solution $\varphi_{0}$ de l'équation $\left(E_{1}\right)$ telle que : $\varphi_{0}(0) = \dfrac{3}{4}$.
$\varphi_{x} = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + C\text{e}^{-2x}$, donc 
 
$\varphi_{0} = 0 - \dfrac{1}{4} + C\text{e}^{-2\times 0}  = - \dfrac{1}{4} + C = \dfrac{3}{4} \iff C = 1.$

Conclusion : $\varphi_{x} = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

medskip

%On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
%\[f(x) = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2x}.\] 

%On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij, d'unités 4~cm en abscisses et 10~cm en ordonnées. 
\begin{enumerate}
\item  Étude des limites de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$·
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} -2x = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{u \to - \infty} \text{e}^u = 0$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$,

 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$
		\item  %Justifier que $f(x) = \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x} + 1\right)$ et en déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
On a  $\text{e}^{-2x} \times \text{e}^{2x} = 1$, donc 

$f(x) = \dfrac{1}{2}x\text{e}^{-2x} \times \text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{-2x} \times \text{e}^{2x} + \text{e}^{-2x} = \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x} + 1 \right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0,{}{} \displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\dfrac{1}{2}x\text{e}^{2x} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x} + 1 \right) = 1$ et comme 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-2x} = + \infty$, on a finalement : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		\item  %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
On a $d(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \right) = \text{e}^{-2x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-2x} = 0$.

Ceci montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Étude des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer l'expression de la dérivée $f'$ de la fonction $f$·
		$f'(x) = \dfrac{1}{2} - 2 \text{e}^{-2x}$.
		\item  %Résoudre l'inéquation $\text{e}^{-2x} \leqslant \dfrac{1}{4}$  et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
$\text{e}^{-2x} \leqslant \dfrac{1}{4} \Rightarrow -2x \leqslant \ln \left(\dfrac{1}{4} \right) \iff -2x \leqslant - \ln 4 \iff 2x \geqslant \ln 4 \iff$

$ x \geqslant \dfrac{\ln 4}{2} \iff x \geqslant \dfrac{2\ln 2}{2}\iff  x \geqslant \ln 2.$

Or  $f'(x) \geqslant 0 \iff \dfrac{1}{2} - 2 \text{e}^{-2x} \geqslant 0 \iff \dfrac{1}{2}   \geqslant 2 \text{e}^{-2x} \iff \text{e}^{-2x} \leqslant \dfrac{1}{4}$.

D'après la résolution précédente on a donc : 

$f'(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant \ln 2$ et de la m\^eme fa\c{c}on $f'(x) \leqslant 0 \iff x \leqslant \ln 2$.

On en déduit le tableau de variations suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$-\infty$}\uput[u](5,2.5){$\ln 2$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.7,1.6)(4.5,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.3,1.6)
\uput[d](2.4,2){$+ \infty$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](5,0){$\frac{\ln 2}{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
		\item  %Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
On a $f(0) = - \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{3}{4}$ ; $f'(0) = \dfrac{1}{2}- 2 = - \dfrac{3}{2}$ ; une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$ est donc :

$y - f(0) = f'(0)(x - 0) \iff y - \dfrac{3}{4} = - \dfrac{3}{2}x \iff y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{4}$.
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = \dfrac{1}{2}$ possède une unique solution sur l'intervalle [1~;~2]. Justifier avec précision et donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
On a $\ln 2 \approx 0,69$, donc $\ln 2 < 1$. Sur l'intervalle [1~ ;~2] la fonction $f$ est donc croissante.

D'autre part $f(1) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-2} \approx 0,38 < \dfrac{1}{2}$ et $f(2) = 1 - \dfrac{1}{4} + \text{e}^{-8} \approx 0,75 > \dfrac{1}{2}$.

Il existe donc un réel unique $\alpha$ de l'intervalle [1~ ;~2] tel que $f(\alpha) = \dfrac{1}{2}$.

La calculatrice donne $f(1,3) \approx 0,47$ et $f(1,4) \approx 1,51$, donc $1,3 < \alpha < 1,4$.

De m\^eme $f(1,37) \approx 0,499$ et $f(1,38) \approx 1,503$, donc $1,37 < \alpha < 1,38$.
	\end{enumerate} 
\item %Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
Voir plus bas. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Soit $m$ un nombre réel strictement supérieur à $\ln 2$. On note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations $x = \ln 2$ et $x = m$·

%Déterminer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$. 
On a vu que sur $]\ln 2 ~;~+ \infty[,\:f(x) > 0$, donc l'aire du domaine en unité d'aire est égale à $\mathcal{A}(m) = \displaystyle\int_{\ln 2}^m [f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4} \right)\:\text{d}x = 
\displaystyle\int_{\ln 2}^m \text{e}^{-2x}\:\text{d}x = \left[ - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}  \right]_{\ln 2}^m = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m} +  \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2\ln 2} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m}$.
\item %Calculer la limite de $\mathcal{A}(m)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$·
On sait que $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} \text{e}^{-2m} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{m \to + \infty} \mathcal{A}(m) =  \dfrac{1}{8}.$ 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.25)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-1,-0.25)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0.693}{1.1}{0.5 x mul 0.25 sub 2.71828 x 2 neg mul exp add}
\psplot{1.1}{0.693}{0.5 x mul 0.25 sub}}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{2}{0.5 x mul 0.25 sub 2.71828 x 2 neg mul exp add}
\psplot{0.1}{2}{0.5 x mul 0.25 sub}
\psplot[plotpoint=5000,linewidth=1.25pt,lincecolor=blue]{-0.58}{0.6}{0.75 1.5 x  mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[r](1.4,0.42){$\mathcal{D}$}\uput[l](-0.42,1.4){$\mathcal{T}$}\uput[l](2,0.76){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](0.693,0)(0.693,0.3466)(0,0.3466)
\uput[d](0.693,0){$\ln 2$}\uput[l](0,0.3466){$\frac{\ln 2}{2}$}
\psline[linestyle=dashed](1.1,0)(1.1,0.4)\uput[d](1.1,0){$m$}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{document}
