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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique,\\ génie électrotechnique, génie optique}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]novembre
 2008 Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.

%On désigne par i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

%\[z^2 - 10z + 41 = 0.\]
$z^2 - 10z + 41 = 0 \iff (z - 5)^2 - 25 + 41 = 0 \iff (z - 5)^2 + 16 = 0 \iff (z - 5)^2 - (4\text{i})^2 = 0 \iff $

$(z - 5 + \text{i})(z - 5 - \text{i}) = 0.$

Il y a donc deux solutions complexes conjuguées $z_{1} = 5 + 4\text{i}$ et $z_{2} = 5 - 4\text{i}$.
\item  %Pour tout nombre complexe $z$ on pose

%\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 11z + 123.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P(-3)$.
$P(-3) = - 27 - 63 - 33 + 123 = 0$. On peut donc factoriser $P(z)$ par $(z - (-3)) = z + 3$.
		\item  %Vérifier que
%\[P(z) = (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right).\]
$(z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right) = z^3 - 10z^2 + 41z + 3z^2 - 30z + 123 = z^3 - 7z^2 + 11z + 123 = P(z)$.
		\item 	%Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$

%\[P(z) = 0.\]
$P(z) = 0 \iff (z + 3)\left(z^2 - 10z + 41\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z + 3&=&0\\
z^2 - 10z + 41&=&0
\end{array}\right.\iff $

$z = - 3 \quad \text{ou} \quad z = 5 + 4\text{i} \quad \text{ou} \quad z = 5 - 4\text{i}.$
	\end{enumerate}
\item %Soit I, A, B et C les points d'affixes respectives :

%\begin{center}
%		
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{X}}
%$z_{\text{I}} = 2$ & $z_{\text{A}} = -3$&$z_{\text{B}} = 5 + 4\text{i}$& $z_{\text{C}} = 5 - 4\text{i}$\\
%\end{tabularx}

%\end{center}
%		
%Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| =  5$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que les points A, B et C sont dans l'ensemble $\mathcal{C}$.
On calcule :

$\left|z_{\text{A}} - 2\right| = |-3 - 2 | = |-5| = 5$ ;

$\left|z_{\text{B}} - 2 \right| = |5 + 4\text{i} - 2 | = |3 +  4\text{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ ;

$\left|z_{\text{C}} \right| = |5 - 4\text{i} - 2 | = |3 -  4\text{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. 
		\item   %Placer les quatre points A, B, C et I dans le plan. 
Voir la figure
		\item   %Montrer que l'ensemble $\mathcal{C}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
Si $M$ a pour affixe $z$ : $|z - 2| = 5 \iff \text{I}M = 5$ ce qui signifie que $M$ est sur le cercle de centre I et de rayon 5. 
		\item   %Représenter l'ensemble $\mathcal{C}$.
Voir la figure
	\end{enumerate}
		 
\item %Soit $\mathcal{R}$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe

%	\[z' = 	z \times \text{e}^{- \frac{\pi}{4}\text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Donner les éléments caractéristiques de la transformation $\mathcal{R}$.
$\mathcal{R}$ est la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item 	\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
%Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}'$, image du cercle $\mathcal{C}$ par la transformation $\mathcal{R}$.
L'image par $\mathcal{R}$ du cercle de centre I de rayon et un cercle de même rayon et de centre 

$\mathcal{R}$(I) = I$'$.

Or $z_{\text{I}'} = z_{\text{I}}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}\text{i}} = 2\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4}\right)= 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.
		
%Justifier la réponse et représenter l'ensemble $\mathcal{C}'$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-6)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-6)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(2,0)(-3,0)(5,4)(5,-4)(1.414,-1.414)%IABCI$'$
\uput[ur](2,0){I}\uput[ul](-3,0){A}\uput[ur](5,4){B}\uput[ul](5,-4){C}
\uput[dr](1.414,-1.414){I$'$}\uput[dl](0,0){O}
\pscircle(2,0){5}\pscircle(1.414,-1.414){5}
\end{pspicture}
\end{center}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

%Un jeu consiste à miser d'abord $q$ euros, puis à appuyer sur un bouton. Une case de couleur s'allume alors au hasard sur le tableau ci-dessous ; à chaque jeu, chaque case a la même probabilité de s'allumer.

%\medskip

%\begin{center}

%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%R&R&R&R&R&R\\ \hline
%R&J&B&B&J&R\\ \hline
%R&B&V&V&B&R\\ \hline
%R&J&B&B&J&R\\ \hline
%R&R&R&R&R&R\\ \hline
%\end{tabularx}

%\end{center}

%\medskip

%On convient que :

%R désigne la couleur rouge

%J la couleur jaune

%B la couleur blanche

%V la couleur verte.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si une case rouge s'allume, l'organisateur du jeu ne rend rien au joueur.
%\item[$\bullet~$] Si une case blanche s'allume, l'organisateur du jeu rend la mise de $q$ euros au joueur.
%\item[$\bullet~$] Si une case jaune s'allume, l'organisateur du jeu donne 5~euros au joueur.
%\item[$\bullet~$] Si une case verte s'allume, l'organisateur du jeu donne 8~euros au joueur.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %On considère dans cette question que $q = 1$. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain relatif du joueur, obtenu en tenant compte de la mise initiale.
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que les valeurs prises par $X$ sont $\{-1~; ~0~;~ 4~;~ 7\}$.
L'issue Rouge conduit à une perte de 1~\euro ; $X = -1$ ;

L'issue Blanche conduit à une perte de 0~\euro ; $X = 0$ ;

L'issue Jaune conduit à un gain  de $5 - 1$~\euro ; $X = 4$ ;

L'issue Verte conduit à un  gain de $8 - 1$~\euro ; $X = 7$.
		\item  %Montrer que la probabilité pour que le gain relatif du joueur soit égal à 4 est :

%\[P(X = 4) = \dfrac{2}{15}\]
Le gain de 4~\euro{} correspond à une sortie Jaune ; or il y a 4 cases jaunes sur 30 ; donc 

$P(X = 4) = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$.
		\item  %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ à l'aide d'un tableau.
On a de même $P(X = - 1) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{9}{15}$.

$P(X = 0) = \dfrac{6}{30} = \dfrac{3}{15}$.

Il en résulte que $P(X = 7) = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$.

D'où le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$-1$&0&4&7 \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$P(X = x_{i})$&$\dfrac{9}{15}$&$\dfrac{3}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{15}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}
 
\item	%On considère dans cette question que $q$ est un nombre positif quelconque.
 
%Quelle devrait être la mise $q$ pour que le jeu soit équitable ? 
Le tableau devient :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$-q$&0&$q - 5$&$q-7$ \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$P(X = x_{i})$&$\dfrac{9}{15}$&$\dfrac{3}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{15}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le jeu est équitable si l'espérance mathématique est nulle, soit 

$-q \times \dfrac{9}{15} + 0 \times \dfrac{3}{15} + (5 - q)\times \dfrac{2}{15} + (7 - q)\times \dfrac{1}{15} = 0 \iff \dfrac{-9q +   10 - 2q + 7 - q}{15} = 0 \iff $

$\dfrac{17 - 12q}{15} = 0 \iff q =  \dfrac{17}{12} \approx 1,42$~\euro. 
% \emph{Toute justification ou toute explication, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie I  : étude d'une fonction auxiliaire}

%Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[g(x) = 1- \ln x + 2x^2.\]

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que

%\[g'(x) = \dfrac{ (2x + 1)(2x - 1)}{x}.\]
$g'(x) = - \dfrac{1}{x} + 4x = \dfrac{-1 + 4x^2}{x} = \dfrac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}$.
\item  %Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $(2x + 1)(2x - 1)$, trin\^ome qui s'annule pour $x = - \dfrac{1}{2}$ et $x =  \dfrac{1}{2}$ et qui est positif sauf entre les deux racines.

%Calculer $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
$g\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 - \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) + 2\times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2} + \ln 2$

%Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ (sans les limites).

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$0$} \uput[u](5,2.35){$\frac{1}{2}$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} \rput[u](1,2.25){$g'(x)$}
\psline{->}(2.7,1.7)(4.4,0.5)  \psline{->}(5.6,0.5)(7.3,1.7)
\uput[d](2.4,2){$+ \infty$} \uput[u](5,0){$\frac{3}{2} + \ln 2$} \uput[d](7.6,2){$+\infty$} 
\rput(1,1){$g(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item  %En déduire que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,~ g(x)$ est strictement positif.
Comme $\dfrac{3}{2} + \ln 2 \approx 2,49 > 0$, on peut dire que pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty,~g(x) > 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + 2x - 3.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item %Étudier la limite de $f$ en $0$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l'on précisera.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

Conclusion : l'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de $0$.
\item 	%Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

Soir la fonction $d$ définie par : $d(x) = f(x) - (2x - 3) = \dfrac{\ln x}{x} + 2x - 3 - 2x + 3 =  \dfrac{\ln x}{x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{\ln x}{x} = 0$, il en résulte que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item 	%Montrer que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1\times \ln x}{x^2} + 2 = \dfrac{1 - \ln x}{x} + 2 = \dfrac{1 - 2\ln x + 2x^2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item 	%Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Comme $x^2 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ ; or on a vu que $g(x) > 0$, donc la dérivée $f'(x)$ est positive et la fonction $f$ croissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
\item 	%Soit A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse e et B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.

	\begin{enumerate}
		\item  %Donner les valeurs arrondies au centième des coordonnées des points A et B.
A$\left(\text{e}~;~\text{e}^{-1} + 2\text{e} - 3\right) \approx (2,72~;~2,80)$ et B$\left(\sqrt{\text{e}}~;~\frac{1}{2\text{e} + 2\sqrt{\text{e}} - 3}\right) \approx (1,65~;~0,60)$. 
		\item  %En déduire que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]$.
		La fonction $f$ étant croissante sur $]0~;~+ \infty[$, l'est sur $[\sqrt{\text{e}}~;~ \text{e}]$. Donc 
		
$\sqrt{\text{e}} \leqslant x \leqslant \text{e} \Rightarrow f\left(\sqrt{\text{e}} \right) \leqslant f(x) 
f\left(\text{e} \right)$. Comme $f\left(\sqrt{\text{e}} \right) \approx 0,48 > 0$, on en déduit que $f(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$.
 	\end{enumerate}
\item %Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. Placer les points A et B.
Voir figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer qu'au point A, la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à la droite $\Delta$.
A a pour abscisse e ; or $f'(\text{e}) = \dfrac{g(\text{e})}{\text{e}^2} = \dfrac{2\text{e}^2}{\text{e}^2} = 2$.

Mais la droite $\Delta$ a pour coefficient directeur 2, donc la tangente à  la courbe $\mathcal{C}$ au point A est parallèle à la droite $\Delta$.
		\item  %Le point A est-il le seul point de la courbe $\mathcal{C}$ admettant une tangente parallèle à la droite $\Delta$ ?
Les points cherchés de $\mathcal{C}$ d'abscisses $x$ sont les points où le nombre dérivé de la fonction $f$ est égal au coefficient directeur de la droite $\Delta$ soit  2.
		
Il faut donc résoudre sur $]0~;~+ \infty[, {}f'(x) = 2 \iff \dfrac{1 - \ln x + 2x^2}{x^2} = 2 \iff $

$1 - \ln x + 2x^2 = 2x^2 \iff 1 = \ln x \iff x = \text{e}$.
		
Conclusion : le point A est le seul point de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip		
		
\textbf{Partie III calcul d'aire}

\begin{enumerate}
\item  %Soit K la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

%\[K(x)  = \dfrac{1}{2}	(\ln x)^2.\]

%On note $K'$ la fonction dérivée de la fonction $K$. Calculer $K'(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.
$K'(x) = \dfrac{1}{2}\times 2 \times \dfrac{1}{x}(\ln x) = \dfrac{\ln x }{x}$.

$K$ est donc une primitive de $\dfrac{\ln x }{x}$
\item 	%En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
D'après la question précédente, une primitive de $f$ est 

$F(x) = \dfrac{1}{2}	(\ln x)^2 + x^2 - 3x$.
\item 	%Soit $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \sqrt{\text{e}}$ et $x = \text{e}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
		On sait que l'aire en unité d'aire est égale à 
		
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}	(\ln x)^2 + x^2 - 3x \right]_{\sqrt{\text{e}}}^{\text{e}} = \dfrac{1}{2}\times 1^2 + \text{e}^2 - 3\text{e} - \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{4} - \left(\sqrt{\text{e}}\right)^2 + 3\sqrt{\text{e}}  =$

$ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} + \text{e}^2 - 4\text{e} + 3\sqrt{\text{e}} = \dfrac{3}{8} + \text{e}^2 -4\text{e} + 3\sqrt{\text{e}}$		
		\item 	%Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}$.
		L'unité d'aire étant de $2 \times 1$~cm$^2, {}\mathcal{A} = 2\left(\dfrac{3}{8} + \text{e}^2 -4\text{e} + 3\sqrt{\text{e}} \right) \approx 3,674$~cm$^2$ soit environ 3,67~cm$^2$ au mm$^2$ près.
		\item 	%Retrouver une valeur approximative de ce résultat en calculant l'aire en mm$^2 $ d'un trapèze à préciser.
		On considère le trapèze ayant pour sommets les points A, B et les points de l'axe des abscisses ayant même abscisse que A et B.
		
$\mathcal{A}(\text{trapèze} = \dfrac{1}{2} \left(f(\text{e} - f\left(\sqrt{\text{e}} \right) \right) \times \left(\text{e} - \sqrt{\text{e}}   \right) = \dfrac{\text{e} - \sqrt{\text{e}}}{2} \times \left(\text{e}^{-1} + 2\text{e} - 3 - \frac{1}{2\sqrt{\text{e}}} - 2\sqrt{\text{e}} + 3 \right) \approx 1,502 \approx 1,82~$u. a. soit 3,64~cm$^2$.

Le résultat est proche de celui trouvé plus haut.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.25,-7)(6,7)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,-7)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-7)(6,7)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.278}{4.82}{x ln x div 2 x mul add 3 sub}
\psplot{0}{5}{2 x mul 3 sub}
\uput[dl](0,0){O} \psdots(2.72,2.8044)(1.648,0.60)
\psline(1.648,0.60)(1.648,0) \psline(1.648,0.60)(2.72,2.8044)(2.72,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines](1.648,0)(1.648,0.60)(2.72,2.8044)(2.72,0)
\uput[d](1.648,0){$\sqrt{\text{e}}$}\uput[d](2.72,0){$\text{e}$}
\uput[ul](1.648,0.60){A} \uput[u](2.72,2.8044){B}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}