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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie septembre 2009~\decofourright\\[5pt] Génie mécanique,  énergétique, civil}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm.

% On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
  
\begin{enumerate}
\item %Soit $(E)$ l'équation d'inconnue complexe $z~:\quad  z^2 - 8z + 41 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
$z^2 - 8z + 41 = 0$ ; $\Delta= 64 - 164 = - 100 = (10\text{i})^2$.

Il y a donc deux racines complexes : $z_{1} = \dfrac{8 + 10\text{i}}{2} = 4 + 5\text{i}$ et $z_{2} = 4 - 5\text{i}$. 
		\item %On note $z_{1}$ la solution de l'équation $(E)$ dont la partie imaginaire est positive et on note $z_{3}$ le nombre complexe défini par $z_{3} = \dfrac{1}{8}\left(- z_{1}^2 - 25 + 16\text{i}\right)$. Démontrer que $z_{3} = -2 - 3\text{i}$·
$z_{3} = \dfrac{1}{8}\left[- (4 + 5\text{i})^2 - 25 + 16\text{i}\right] = \dfrac{1}{8}(- 16 + 25 - 40\text{i} - 25  + 16\text{i}) = \dfrac{1}{8}(-16 - 24\text{i}) = -2 - 3\text{i}.$ 
	\end{enumerate} 
\item %On note A, B, C et K les points du plan d'affixes respectives: $a = 4 + 5\text{i}~ b = -3 + 4\text{i},~ c = - 2 - 3\text{i}$ et $k = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A, B, C et K dans le repère \Ouv.
		Cf. figure à la fin de l'exercice. 
		\item %Démontrer que K est le milieu du segment [AC].
On a $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{4 + 5\text{i} - 2 - 3\text{i}}{2} = \dfrac{2 + 2\text{i}}{2} = 1 + \text{i} = k$. Donc K est le milieu de [AC]. 
		\item %Calculer $|a - k|$ et $|b - k|$ puis en déduire que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
$|a - k| = |4 + 5\text{i} - (1 + \text{i})| = |3 + 4\text{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$

$|b - k| = |-3 + 4\text{i} - (1 + \text{i})| = |- 4 + 3\text{i}| = \sqrt{-4)^2 + 3^2} = 5.$

Donc $|a - k| = |b - k| \iff \text{KA} = \text{KB}$. Or d'après la question précédente KA = KC et finalement KA = KB = KC ce qui signifie que A, B et C appartiennent au cercle de centre K et de rayon 5, [AC] étant un diamètre.
	\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4,-4)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(4,5)(-3,4)(-2,-3)(1,1)(5,-2)\uput[r](4,5){A} \uput[l](-3,4){B} \uput[l](-2,-3){C} \uput[r](1,1){K}\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](5,-2){D}
\psline(4,5)(-2,-3) \psline(5,-2)(-3,4)
\pscircle(1,1){5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\item %Soit D le symétrique de B par rapport à K ; on note $d$ l'affixe du point D. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $d$ et placer le point D dans le repère \Ouv.
On a $k = \dfrac{b + d}{2} \iff 2k = b + d \iff d = 2k - b = 2 + 2\text{i} - (- 3 + 4\text{i}) = 5 - 2 \text{i}$. 
		\item %Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
- K est le milieu des diagonales [AC] et [BD[, donc ABCD est un parallélogramme ;

- BD = 2 KB $= 2 \times 5 = 10$ et AC = 10 ; les diagonales ont la même longueur, donc ABCD est un rectangle.

- $|b - a| = |-3 + 4\text{i} - (4 + 5\text{i})| = |- 7 - \text{i}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} = \text{AB}$ ; de même $|c - b| = |- 2 - 3\text{i} - (- 3 + 4\text{i})| = |1 - 7\text{i}| =\sqrt{50} = 5\sqrt{2} = \text{BC}$.

Conclusion : le rectangle ABCD ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

%On note $(E)$ l'équation différentielle 
%\[y'' + 4y = 0,\]
% où $y$ est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
  
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
On sait que la solution générale est de la forme :

\[y = A\cos 2x + B \sin 2x,\: A \in \R,\: B \in \R.\] 
\item %On note $f$ la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions : 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
f(0) &=&1 \\
f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) &=& -2\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
A&=&1\\
A\times \left(- \dfrac{1}{2}\right) + B\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=&- 2
\end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c r}
A&=&1\\
B\dfrac{\sqrt{3}}{2}&=&- \dfrac{3}{2}
\end{array}\right.$

$ \iff \left\{
\begin{array}{l c r}
A&=&1\\
B&=&- \sqrt{3}\end{array}\right.\]
 
%Déterminer l'expression de la fonction $f$.
Donc $f(x) = \cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x.$  
\item 
%Démontrer que pour tout nombre réel $x~:\quad  f(x) = 2 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
Quel que soit $x \in \R,~f(x) = 2\left(\dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right) = 2\left(\cos 2x\cos \dfrac{\pi}{3}- \sin 2x \sin \dfrac{\pi}{3} \right) = $

$2  \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ (formule d'addition).
\item 
%Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$ est :
\[m = \dfrac{1}{\dfrac{\pi}{3} - 0}\int_{0,}^{\dfrac{\pi}{3}} 2  \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{3}{\pi}\times \sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{3}{\pi}\left( 0 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = - \dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\]
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

%On considère la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f(x) = \text{e}^{-2x} +4\text{e}^{-x} + 6x + 1.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude des limites et recherche d'une asymptote}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
%Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc comme $\text{e}^{-2x} = \left(\text{e}^{-x}\right)^2,\ \displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-2x} = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(6x + 1) = + \infty,\:\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ 
\item 
%Démontrer que $f(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{-x} + 4 + 6x\text{e}^{x} + \text{e}^{x}\right)$. En déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
En factorisant $\text{e}^{-x}$ dans l'écriture de $f(x)$, on a 

$f(x) = \text{e}^{-x}\left(\text{e}^{-x} + 4 + 6x\text{e}^{x} + \text{e}^{x} \right)$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{-x} = 0,\ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = 0,\ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, on conclut que 

$\displaystyle\lim_{x \to  -\infty} f(x)  = + \infty$.
\item 
%On note $h$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $h(x) =  f(x) - (6x + 1)$.
 
%Déterminer la limite de $h$ en $+ \infty$. Que peut-on en déduire ?
$h(x) = \text{e}^{-2x} +4\text{e}^{-x} + 6x + 1 - (6x + 1) =   \text{e}^{-2x} + 4\text{e}^{-x}$, donc comme on l'a vu au-dessus, 
$\displaystyle\lim_{x \to  +\infty} h(x) = 0$.

Géométriquement cela signifie que la droite d'équation $y = 6x + 1$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item 
%Déterminer le signe de $h(x)$ pour tout nombre réel $x$ et en déduire les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 6x + 1$.
On sait que quel que soit $u \in \R,\ \text{e}^u > 0$, donc $h(x) > 0$.

Cela signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{D}$ quel que soit le réel $x$
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : Étude des variations de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item  
%Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :

$f$ est dérivable sur $\R$ et quel que soit $x \in \R$, 

$f'(x) = -2\text{e}^{-2x} - 4\text{e}^{-x} + 6 = -2 \left(\text{e}^{-2x} + 2\text{e}^{-x} - 3 \right)$.

Posons $X = \text{e}^{-x}$, donc $\text{e}^{-2x} + 2\text{e}^{-x} - 3  = X^2 + 2X - 3 = (X + 1)^2 - 1 - 3 =$

$ (X + 1)^2 - 4 = (X + 1 + 2)(X + 1 - 2) = (X + 3)((X - 1)$.

Donc $f'(x) = -2\left(\text{e}^{-x} + 3\right)\left(\text{e}^{-x} - 1\right)$.
 
%\[f'(x) =  -2\left(\text{e}^{-x} + 3\right)\left(\text{e}^{-x} - 1\right).\] 
\item 
%Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation $\text{e}^{-x} -1 \geqslant  0$ ; en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
$\text{e}^{-x} -1 \geqslant  0 \iff  \text{e}^{-x}  \geqslant 1 \iff \text{e}^{-x}  \geqslant \text{e}^0 \iff  -x \geqslant 0$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\iff x \leqslant 0$.

Comme  $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x,\ \text{e}^{-x} + 3 > 3 > 0$. Le signe de $f'(x)$ est donc l'opposé de celui de $\text{e}^{-x} -1$ soit :

- si $x \leqslant 0,\ f'(x) \leqslant 0$ ;

- si $x \geqslant 0,\ f'(x) \geqslant 0$.
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On en déduit le tableau de variations de $f$, la positivité de $f'(x)$ entraînant la croissance de $f$ :

\medskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$} \rput(3.5,2.25){$-$}  \rput(6.5,2.25){$+$} 
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(1,1){$f$} \uput[d](2.4,2){$+ \infty$}  \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}\uput[u](5,0){$6$} \rput(5,2.25){$0$}
\psline{->}(2.7,1.7)(4.7,0.3) \psline{->}(5.3,0.3)(7.1,1.7)  
\end{pspicture}

\end{center} 
\item %Construire la droite $\mathcal{D}$ puis la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
Voir la figure plus bas
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip  
 
%$m$ étant un nombre réel strictement positif, on note $\mathcal{A}(m)$ l'aire, en unités d'aire, comprise entre la droite $\mathcal{D}$, la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = m$. 	

\begin{enumerate}
\item %Exprimer $\mathcal{A}(m)$ en fonction de $m$.

On a vu à la question 4. de la partie A que  la fonction $h$ est positive donc sur $[0~;~m]$ avec $m > 0$ ; l'aire $\mathcal{A}(m)$ est  égale à l'intégrale sur $[0~;~m]$ de la fonction $h$. D'o\`u :

$\mathcal{A}(m) = \displaystyle\int_{0}^m \left(\text{e}^{-2x} +4\text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} - 4\text{e}^{-x}\right]_{0}^m = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m} - 4\text{e}^{-m} + \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{9}{2}  - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m} - 4\text{e}^{-m}$.
\item 
%Calculer $\mathcal{A}(1)$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie au centième.
En particulier $\mathcal{A}(1) = \dfrac{9}{2}  - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2} - 4\text{e}^{-1} \approx 2,960 \approx 2,96$ au centième près
\item 
%Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation

% $-4\text{e}^{-2x} - 32\text{e}^{-x}  + 17 = 0 \left(\text{on pourra poser}~ 
% X = \text{e}^{-x}\right)$.
En posant $X = \text{e}^{-x}$, l'équation s'écrit $-4X^2 - 32X + 17 = 0$.

$\Delta = 32^2 + 4 \times 4 \times 17 = \nombre{1296} = 36^2$. L'équation a donc deux solutions réelles :

$X_{1} = \dfrac{32 + 36}{2 \times (- 4)} = - \dfrac{17}{2}$ et $X_{2} = \dfrac{32 - 36}{2 \times (- 4)} = \dfrac{1}{2}$. Il reste donc à résoudre :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^{-x}&=&- \dfrac{17}{2}\\
&\text{ou}&\\
\text{e}^{-x}&=&\dfrac{1}{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
&&\text{pas de solution}\\
&\text{ou}&\\
- x&=&\ln \left(\dfrac{1}{2} \right)
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
 &&\text{pas de solution}\\
&\text{ou}&\\
 x&=& -\ln \left(\dfrac{1}{2} \right) = \ln 2
\end{array}\right.\]
\item 
%Déterminer le réel $m > 0$, tel que $\mathcal{A}(m) = \dfrac{19}{8}$.
$\mathcal{A}(m) = \dfrac{19}{8} \iff \dfrac{9}{2}  - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m} - 4\text{e}^{-m} = \dfrac{19}{8} \iff  \dfrac{17}{8}- \dfrac{1}{2}\text{e}^{-2m} - 4\text{e}^{-m} =0  \iff 17 - 4\text{e}^{-2m} - 32\text{e}^{-m} = 0$. 

On vient de voir que cette équation a une  solution : 

$m = \ln 2 > 0.$ On a $\mathcal{A}(\ln 2) = \dfrac{19}{8}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(1.5,12)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1.5,0)(1.5,12)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](1.5,0){$x$}\uput[l](0,12){$y$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.925}{1.7}{2.71828 x 2 neg mul exp 4 2.71828 x exp div add x 6 mul add 1 add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.17}{1.83}{6 x mul 1 add}
\uput[l](-0.8,10){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](1.5,10){\red $\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}