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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{11 septembre 2011}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués 11 septembre 2012~\decofourright\\[5pt] Métropole-La Réunion }

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
%Au départ d'une randonnée, trois itinéraires différents sont proposés à un groupe de 48 randonneurs : un itinéraire pour débutant, un de difficulté moyenne et un de niveau élevé. 
%
%Ce groupe est composé de 32 femmes et de 16 hommes.
% 
%Concernant le choix de l'itinéraire :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]  5 femmes et 2 hommes choisissent l'itinéraire de niveau débutant ; 
%\item[$\bullet~~$] 25\,\% des randonneurs choisissent l'itinéraire de difficulté moyenne et parmi eux, il y a autant de femmes que d'hommes ; 
%\item[$\bullet~~$]Les autres randonneurs choisissent l'itinéraire de niveau élevé.
%\end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}
  
%On choisit au hasard un randonneur (on suppose que tous les randonneurs ont la même chance d'être choisis) et on note :
% 
%$F$ l'évènement \og le randonneur est une femme \fg{} ; 
%
%$H$ l'évènement\og le randonneur est un homme \fg{} ;
% 
%$D$ l'évènement\og le randonneur choisit l'itinéraire de niveau débutant \fg{} ;
%
%$E$ l'évènement\og le randonneur choisit l'itinéraire de niveau élevé \fg.

\medskip
 
Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous la forme d'une fraction irréductible. On pourra utiliser un arbre ou un tableau.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité $p(F)$ de l'évènement $F$.
25\,\% des randonneurs soit $0,25 \times 48 = 12$ personnes choisissent l'itinéraire de difficulté moyenne, dont 6 femmes et 6 hommes.

7 personnes  choisissent l'itinéraire de niveau débutant, dont 5 femmes et 2 hommes.

Il reste donc $48 - (12 + 7) = 48 - 19 = 29$ personnes qui choisissent l'itinéraire de niveau élevé. Parmi celles-ci il y a $32 - (6 + 5) = 32 - 11 = 21$ femmes et  $16 - (2 + 6) = 16 - 8 = 8$ hommes. 

O a donc $p(F) = \dfrac{32}{48} = \frac{2}{3}$.
\item %Calculer la probabilité $p(E)$ de l'évènement $E$.
On a $p(E) = \dfrac{29}{48}$.
\item %Définir par une phrase l'évènement noté $H \cap E$ et calculer sa probabilité
$H \cap E$ désigne l'évènement \og le randonneur est un homme qui a choisi la randonnée de niveau élevé \fg.

$p(H \cap E) = \dfrac{8}{48} = \dfrac{1}{6}$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement \og le randonneur est une femme ou choisit l'itinéraire de niveau débutant \fg{} est $\dfrac{17}{24}$.
On a $p(F \cup D) = p(F) + p(D) - p(F cap D)$.

On a $p(D) = \dfrac{5 + 2}{48} = \dfrac{7}{48}$ et $(F \cap D) = \dfrac{5}{48}$, donc :

$p(F \cup D) = \dfrac{32}{48} + \dfrac{7}{48} - \dfrac{5}{48} = \dfrac{34}{48} = \dfrac{17}{24}$
\item %Dans cette question, on choisit au hasard un randonneur parmi les hommes. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi l'itinéraire de niveau élevé ?
Il faut calculer $p_H(E) = \dfrac{p(H \cap E)}{p(H)} = \dfrac{\frac{8}{48}}{\frac{16}{48}} = \dfrac{8}{16} = dfrac{1}{2}$.
\item %Commenter et critiquer éventuellement cette phrase: \og Le niveau des femmes de ce groupe est plus élevé que celui des hommes \fg.
Il est difficile de répondre à cette question car le terme de niveau est subjectif.

Si on attribue 1, 2 et 3 points respectivement aux itinéraires facile, moyen, difficile, le niveau moyen d'une femme est :

$\dfrac{5 \times 1 + 6 \times 2 + 21 \times 3}{5 + 6 + 21} = \dfrac{80}{32} = 2,5$ et celui d'un homme :

$\dfrac{2 \times 1 + 6 \times 2 + 8 \times 3}{2 + 6 + 8} = \dfrac{38}{16} = \dfrac{19}{8} = 2,375$.

Avec ces critères le niveau des femmes est légèrement supérieur à celui des hommes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = x^2 - 4.\]
 
%On note $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$.
La fonction est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle $g'(x) = 2x$.

La fonction est donc décroissante pour $x \leqslant 0$ et croissante pour $x \geqslant 0$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.

La fonction est donc décroissante de plus l'infini à $- 4$ puis croissante de $- 4$ à plus l'infini.
\item %Étudier le signe de $g(x)$ sur $\R$.
On sait que $x^2 - 4 \geqslant 0$ sauf sur l'intervalle $]- 2 ~;~2[$, où $g(x) < 0$.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis tracer sur une feuille de papier millimétré la courbe $(C)$ (unité graphique : 2~cm).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 3$	&$- 2$	&$- 1$	&$0$	&$1$	&$2$	&$3$\\ \hline
$g(x)$	&5		&		&0		&$- 3$	&$- 4$	&$- 3$	&5\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 3~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = 3 \ln (x + 3).\]
 
%On note $\left(C'\right)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le même repère que précédemment.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 3} f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - 3} (x + 3) = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - 3}\ln (x + 3) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - 3} f(x) = - \infty$.
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On a  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x + 3 = + \infty$, puis  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (x + 3) = + \infty$ et enfin  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Étudier les variations de la fonction $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]- 3~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{3}{x + 3}$.

Comme sur $]- 3~;~+ \infty[$, \: $x + 3 > 0$, donc $f'(x) > 0$  : la fonction $f$ est croissante sur $]- 3~;~+ \infty[$ de $- \infty$ à $+ \infty$.
\item %Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ et interpréter graphiquement le résultat.
On a $f(x) \geqslant 0$ si $3 \ln (x + 3) \geqslant 0$ ou $\ln (x + 3) \geqslant 0$ ou $\ln (x + 3) \geqslant \ln 1$ soit par croissance de la fonction logarithme népérien $ x + 3 \geqslant 1$ et enfin $x \geqslant - 2$.

$f(x) \geqslant 0$ sur $[- 2~;~+ \infty[$.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au dixième) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 2,5$	&$- 2$	&$- 1$	&$0$	&$1$	&$2$	&$3$\\ \hline
$f(x)$	&	$- 2,1$	&0		&	2,1	&3,3	&4,2	&4,8	&5,4\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère la droite $T_{1}$ tangente à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$ et la droite $T_{2}$ tangente à la courbe $\left(C'\right)$ au point d'abscisse $- 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite $T_{1}$ et une équation de la droite $T_{2}$.
$\bullet~~$Une équation de la droite $T_{1}$ est $y - f\left(\frac{3}{2}\right) = f'\left(\frac{3}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2} \right)$.

Avec $f\left(\frac{3}{2}\right) = 3\ln \left(\frac{3}{2} + 3 \right) = 3\ln \left(\frac{9}{2} \right) \approx 4,5$ et 

$f'\left(\frac{3}{2}\right) = \dfrac{3}{\frac{3}{2} + 3} = \frac{2}{3}$, l'équation de la droite $T_{1}$ est :

$y - 4,5 = \frac{2}{3}\left(x - \frac{3}{2}\right)$ ou $y - 4,5 = \frac{2}{3}x - 1$, soit finalement $y = \frac{2}{3}x + 3,5$.

Une équation de la droite $T_{2}$ est $y - f\left(- 2\right) = f'\left(- 2\right)\left(x - \frac{3}{2} \right)$.

Avec $f\left(- 2\right) = 3\ln \left(- 2 + 3 \right) = 3\ln \left(1\right)  = 0$ et 

$f'\left(- 2\right) = \dfrac{3}{- 2 + 3} = \frac{3}{1} = 3$, l'équation de la droite $T_{2}$ est :

$y  = 3(x + 2)$ , soit finalement $y = 3x + 6$.
		\item %Quelle est la position relative de ces deux droites ? 
		???????????
		\item %Tracer les droites $T_{1}$ et $T_{2}$  et la courbe $\left(C'\right)$ dans le même repère que la courbe $(C)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5)(5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-4.9)(5,5.9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](-2.2,2.3){$T_{1}$}\uput[l](-0.5,4.6){$T_{2}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2.9}{5}{2 x mul 3 div 3.5 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{5}{3 x mul 6 add}
\uput[d](4,5.7){\blue $(C)$}\uput[r](1,-3.3){\red $(C')$}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.}{3}{x 3 add ln 3 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{3}{-2}{x dup mul 4 sub}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.9}{5}{x 3 add ln 3 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.9}{5}{x dup mul 4 sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On se propose de déterminer l'aire de la partie $D$ du plan, limitée par les courbes $(C)$ et $\left(C'\right)$ et les droites d'équations $x = - 2$ et $x = 3$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $F$ définie sur $]- 3~;~3]$ par : 

\[F(x) = 3(x + 3) \ln (x + 3) - 3x.\]
 
%Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f$.
$F$ est dérivable sur l'intervalle $]- 3~;~3]$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = 3\ln (x + 3) + 3(x + 3) \times \dfrac{1}{x + 3} - 3 = 3\ln (x + 3) + 3 - 3 = 3\ln (x + 3) = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 3~;~3]$.
\item %On admet que pour tout $x$ de l'intervalle $[- 2~;~3]$,\: $g(x) \leqslant f(x)$ et que l'aire de la partie $D$ en unités d'aire est  égale à $\displaystyle\int_{- 2}^3 \left(f(x) - g(x) \right)\:\text{d}x$.
 
%Donner la valeur exacte de l'aire de la partie $D$ en cm$^2$ puis une valeur approchée au mm$^2$ près.
Une primitive de $g$ sur l'intervalle $]- 3~;~3]$ est la fonction $G$ définie par $G(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x$.

L'aire de la partie $D$ en unités d'aire est  égale à $\displaystyle\int_{- 2}^3 \left(f(x) - g(x) \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{- 2}^3 f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{- 2}^3 g(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-2}^3 - [G(x)]_{-2}^3 = F(3) - F(- 2) - G(3) + G(- 2) = $

$3(3 + 3) \ln (3 + 3) - 3\times 3 - \left(3(- 2 + 3) \ln (- 2 + 3) - 3 \times (- 2) \right) - \left(\dfrac{3^3}{3} - 4\times 3\right) + \left(\dfrac{(- 2)^3}{3} - 4 \times (- 2)\right) = 18\ln 6 - 9 - 0 - 9 - \frac{8}{3} +  18 = 18\ln 6 - \frac{20}{3} \approx 25,585$, soit 25,59~cm$^2$ au millimètre carré près.
\end{enumerate}
\end{document}