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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009-}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués juin 2009~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane }

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%Parmi les 90 élèves de la section STI Arts appliqués d'un lycée : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 90\:\% aiment dessiner 
%\item[$\bullet~$] 80\:\% aiment réaliser des maquettes
%\item[$\bullet~$] Parmi ceux qui n'aiment pas dessiner les 2/3 aiment réaliser des maquettes
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&Aiment dessiner &N'aiment pas dessiner &Total\\ \hline 
Aiment réaliser des maquettes		&66		&6	&72\\ \hline
N'aiment pas réaliser des maquettes	&15		&3	&18\\ \hline
Total								&81		&9	&90 \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

%\textbf{Dans tout l'exercice, donner les probabilités sous forme de fraction irréductible puis en donner l'arrondi à }\boldmath $10^{-3}$.\unboldmath 
\item %Parmi les 90 élèves de la section on choisit un élève au hasard.

%On note $D$ l'évènement : \og l'élève choisi aime dessiner \fg.
  
%On note $M$ l'évènement: \og l'élève choisi aime réaliser des maquettes \fg.
 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer à l'aide d'une phrase chacun des évènements $D \cap M,~ \overline{D}$ et $\overline{D}  \cap \overline{M}$.
$D \cap M$ : \og l'élève choisi aime dessiner et aime réaliser des maquettes \fg ;

$\overline{D}$ : \og l'élève choisi n'aime pas dessiner \fg{ ;}

$\overline{D}  \cap \overline{M}$ : \og  l'élève choisi n'aime ni dessiner ni réaliser des maquettes \fg.
		\item  %Déterminer la probabilité de chacun de ces trois évènements.
$p(D \cap M) = \dfrac{66}{90} = \dfrac{11}{15} \approx 0,733$.

$p\left( \overline{D}\right) = \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{10} = 0,1$.

$p\left(\overline{D}  \cap \overline{M}\right) = \dfrac{3}{90} = \dfrac{1}{30} \approx  0,033$ 
	\end{enumerate} 
\item %Parmi les élèves qui aiment dessiner, on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité que cet élève aime réaliser des maquettes ? 
Sur les 81 élèves qui aiment dessiner, 66 aiment réaliser des maquettes. La probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{66}{81} = \dfrac{22}{27} \approx 0,815$.
\item  %On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il aime dessiner ou réaliser des maquettes ? 
On a $p(D \cup M) = p(D) + p(M) - p(D \cap M) = \dfrac{81}{90} + \dfrac{72}{90} - \dfrac{66}{90} = \dfrac{87}{90} = \dfrac{29}{30} \approx 0,967$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par
%\[f(x) = 4x + 1 - \text{e}^x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
%Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2].
$f'(x) =  4 - \text{e}^x$.
		\item %Étudier le signe de f'(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~2].
$f'(x) > 0 \iff  4 - \text{e}^x > 0 \iff 4 > \text{e}^x \iff \ln 4 > x \iff x < \ln 4$ ; 

$f'(x) < 0 \iff  4 - \text{e}^x < 0 \iff 4 < \text{e}^x \iff \ln 4 < x \iff x > \ln 4$ ;

Conclusion : sur $[0~;~\ln 4],~f'(x) > 0$ et sur  $[\ln 4~;~2],~f'(x) < 0$.
		\item %Déterminer $f(0),~f(ln(4))$ et $f(2)$ (valeurs exactes puis valeurs arrondies à $1O^{-3}$).
$f(0) = 1 - \text{e}^0  = 1 - 1 = 0$ ; 

$\f(\ln 4) = 4\ln 4 + 1 - \text{e}^{\ln 4} = 4\ln 4 + 1 - 4 = 4\ln 4  - 3 \approx 2,545$ ;

$f(2) = 8 + 1 - \text{e}^2 = 9 - \text{e}^2 \approx 1,611$.
		\item~%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){0} \uput[u](5,2.5){$\ln 4$} \uput[u](,7.8,2.5){$2$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$} \rput(6.5,2.25){$-$} 
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.3,0.3)(4.7,1.6) \psline{->}(5.3,1.6)(7.7,0.4) 
\uput[u](2.2,0){0} \uput[u](7.7,0){$9 - \text{e}^2$} \rput(5,1.8){$4\ln 4  - 3$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par 
%\[g(x) = \ln (2x + 1).\] 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 
%Déterminer l'expression de $g'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2].
Si $u$ est une fonction dérivable non nulle, la fonction $\ln u$ a pour dérivée la fonction $\dfrac{u'}{u}$.

Ici avec $u(c) = 2x+ 1,~u'(x) = 2$ et g'(x) =  \dfrac{u'}{u} = \dfrac{2}{2x+1}$.
		\item  %Démontrer que $g'(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~ 2].
On a $0 \leqslant x \leqslant 2 \Rightarrow 0 \leqslant 2x \leqslant 4 \Rightarrow 1 \leqslant 2x + 1 \leqslant 5$.

On a donc $2 > 0$ et $2x + 1 > 0$, donc $g'(x) > 0$. 
		\item  %Déterminer $g(0)$ et $g(2)$, on donnera les valeurs exactes puis les valeurs arrondies à $10^{-3}$.
$g(0) = \ln 1 = 0$ et $g(2) = \ln (2\times 2 + 1) = \ln 5 \approx 1,609$. 
		\item~  %Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l' intervalle [0~;~ 2].
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){0}  \uput[u](7.8,2.5){$2$}
\rput(1,2.25){$g'(x)$} \rput(5,2.25){$+$} 
\rput(1,1){$g(x)$}
\psline{->}(2.3,0.3)(7.,1.6)
\uput[u](2.2,0){0} \uput[d](7.5,2){$\ln 5$} 
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate} 
\item  ~Voir plus bas 
%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm.
 
%L'origine de ce repère sera placée dans le coin en bas à gauche de la feuille millimétrée.

% Tracer sur le même dessin les représentations graphiques $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 2].
Une primitive de la fonction $x \longmapsto 4x$ est la fonction $x \longmapsto 2x^2$, une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$ est la fonction $x \longmapsto \text{e}^x$, donc une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par 

$F(x) = 2x^2 + x - \text{e}^x$.		
%En déduire la valeur exacte de l'intégrale I $  = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x$.

I $ = \displaystyle\int_{0}^2  f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^2 = F(2) - F(0) = 8 + 2 - \text{e}^2 - (-\text{e}^0) = 11 - \text{e}^2$ 
		\item  %Vérifier que la fonction $G$ définie par $G(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\ln(2x + 1) - x$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~ 2].
$G'(x) = 1\ln( 2x + 1) + 2\dfrac{x + \frac{1}{2}}{2x + 1} - 1 = \ln( 2x + 1) + \dfrac{2x+1}{2x + 1} - 1 = \ln (2x + 1) = g(x)$.

Donc $G$ est une primitive de la fonction $g$.		 
%En déduire la valeur exacte de l'intégrale J $ = \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x$.

On a donc  J $ = \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x = \left[\left(x + \dfrac{1}{2}\right)\ln(2x + 1) - x \right]_{0}^2 = \dfrac{5}{2}\ln 5 - 2 - \left(\dfrac{1}{2}\ln 1 - 0 \right) = \dfrac{5}{2}\ln 5 - 2.$
		\item  %On admet que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
		 
%Donner en unités d'aires la valeur exacte de l'aire de la portion de plan délimitée par les deux courbes tracées et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$, puis en donner la valeur en cm$^2$ arrondie à $10^{-2}$.
Puisque  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{g}$, l'aire de la portion de plan délimitée par les deux courbes tracées et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 2$ est égale (en unités d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^2 \left[f(x) - g(x)\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^2 g(x)\:\text{d}x = F(2) - F(0) - \left[G(2) - G(0)\right] = 11 - \text{e}^2 - \left(\dfrac{5}{2}\ln 5 - 2 \right) = 13 - \text{e}^2 - \dfrac{5}{2}\ln 5$.

L'unité d'aire vaut : $5 \times 5 = 25$~cm$^2$, l'aire en cm$^2$ est égale à $25\left[13 - \text{e}^2 - \dfrac{5}{2}\ln 5 \right] \approx 39,68~$cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(2,3)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(2,3)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{4 x mul 1 add 2.71828 x exp sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{2 x mul 1 add ln} 
}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](2,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{4 x mul 1 add 2.71828 x exp sub}
\uput[u](1.4,2.55){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \uput[d](1.4,1.32){\red$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 x mul 1 add ln} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}