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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]19 juin 2009}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Recopier pour chaque question le numéro de question suivi de la proposition qui vous semble exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.\\
% Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x + 1}$ alors :

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = 0$&\textbf{b.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty$&\textbf{c.}$\quad \displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x) = + \infty$
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Faux : $\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{1}{x + 1} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{1}{x + 1} = + \infty$.
\item Faux : voir au dessus ;
\item Vrai.
\end{enumerate}

\medskip
  
\item %Une autre écriture de $\text{e}^{- \ln (2)}$ est : 

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad 2$&\textbf{b.}$\quad - 2$&\textbf{c.}$\quad $\dfrac{1}{2}$
%\end{tabularx}

%\medskip
\begin{enumerate}
\item Faux : $\text{e}^{-\ln (2)} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln (2)}} = \dfrac{1}{2}$.
\item Faux : voir au dessus.
\item Vrai.
\end{enumerate}

\item %Sur l'ensemble $]1~;~+ \infty[$, l'équation $\ln(x - 1) = 1$ admet comme solution :

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad 1$&\textbf{b.}$\quad 1 + \text{e}$&\textbf{c.}$\quad $ \text{e} - 1$
%\end{tabularx}

%\medskip
\begin{enumerate}
\item Faux : 1 n'appartient pas à l'ensemble de définition.
\item Vrai : $\ln(x - 1) = 1 \iff $\ln(x - 1) = \ln \text{e} \iff x - 1 = \text{e}$ (par croissance de la fonction $\ln$, donc $x = 1 + \text{e} > 1$.
\item Faux.
\end{enumerate}

\item  %Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la conique $C$ d'équation
  
%$4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$ ;  alors :

	\begin{enumerate}
		\item %$C$ n'a pas de foyer ;
Faux : $4x^2 + 9y^2 - 36 = 0 \iff \dfrac{4x^2}{36} + \dfrac{9y^2}{36} - 1 = 0 \iff \left(\dfrac{2x}{6} \right)^2 + \left(\dfrac{3x}{6} \right)^2 - 1 = 0 \iff$

$ \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} - 1 = 0$ : ceci est l'équation d'une ellipse telle que $a = 3$ et $b = 2$.

L'abscisse d'un foyer $c$ est telle que $a^2 =  b^2 + c^2 \iff c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5 \iff$

$ c = \sqrt{5}\quad \text{ou}\quad c = - \sqrt{5}$.

Il y a donc deux foyers de coordonnées $\left(-\sqrt{5}~;~0 \right)$ et  $\left(\sqrt{5}~;~0 \right)$. 
		\item %$C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{5}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{5}~ ;~0\right)$ ;
Vrai : voir ci-dessus.		
		\item %$C$ a pour foyers les points F$_{1}\left(\sqrt{3}~ ;~0\right)$ et F$_{2}\left(- \sqrt{3}~ ;~0\right)$.
Faux.		 
	\end{enumerate}
\item  %Soient $A$ et $B$  deux évènement associés à une expérience aléatoire. Pour tout  évènement  $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
 
%On suppose que : $p(A) = 0,25,~p(B) = 0,6$ ~\text{et}~ $p(A \cup B) = 0,7$,  alors $p(A \cap  B)$ est égal à :
\begin{enumerate}
\item Faux : On sait que $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) \iff p(A \cap B) = p(A) + p(B) - p(A \cup B) = 0,25 + 0,6 - 0,7 = 0,15$.
\item Faux.
\item Vrai.
\end{enumerate}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad 0,35$&\textbf{b.}$\quad 0,85$&\textbf{c.}$\quad$0,15 $
%\end{tabularx}

%\medskip 

\item %Le plan est rapporté à un repère  orthonormal. On considère les points E$(0~ ; ~- 1)$ et F$\left(3\sqrt{5}~ ;~ 1\right)$.
 
%La distance EF est égale à : 
\begin{enumerate}
\item Faux : on a EF$^2 = \left(3\sqrt{5} - 0 \right)^2 + (1 - (-1))^2 = 45 + 4 = 49 \Rightarrow \text{EF} = 7$.
\item Vrai.
\item Faux.
\end{enumerate}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad 3\sqrt{5}$&\textbf{b.}$\quad 7$&\textbf{c.}$\quad $\sqrt{7} $
%\end{tabularx}

%\medskip 

\item %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{2x} + 1$. Une primitive $F$ de la fonction $f$  est définie sur $\R$ par :

\medskip
\begin{enumerate}
\item Faux : la dérivée de $\text{e}^{2x} + x$ est $2\text{e}^{2x} + 1$.
\item Faux : la dérivée de $2\text{e}^{2x}$ est $4\text{e}^{2x}$.
\item Vrai : la dérivée de $\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x - 3$ est 2\times \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + 1 = \text{e}^{2x} + 1$.
\end{enumerate}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.}$\quad F(x) = \text{e}^{2x} + x$&\textbf{b.}$\quad F(x) = 2\text{e}^{2x}$&\textbf{c.}$\quad F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x - 3$
%\end{tabularx}

%\medskip  

\item %Le plan est rapporté à un repère orthonormal ; on considère la conique $C_{1}$ d'équation 

%$5x^2 - y^2 - 25 = 0$ et la droite $D_{1}$ d'équation $y = x$.
 
%La conique $C_{1}$ et la droite $D_{1}$ : 
	\begin{enumerate}
		\item %n'ont pas de point d'intersection
Faux : les points $M(x~;~y)$ communs sont tels que $\left\{\begin{array}{l c l}5x^2 - y^2 - 25&=&0\\
y &=&x\\
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}5x^2 - x^2 - 25&=&0\\
y &=&x\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}4x^2  - 25&=&0\\
y &=&x\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}x^2  &=&\dfrac{25}{4}\\
y &=&x\\
\end{array}\right.$

Il y a donc deux points communs de coordonnées $\left(- \dfrac{5}{2}~;~- \dfrac{5}{2} \right)$ et $\left(\dfrac{5}{2}~;~\dfrac{5}{2} \right)$.
\item Vrai.
\item Faux.
 
%	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2}~ ;~\dfrac{5}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{5}{2}~ ;~-\dfrac{5}{2}\right)$. 
%	\item ont deux points d'intersection de coordonnées $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$ et  $\left(-\sqrt{5}~;~0\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

%Le but de ce problème est de calculer la surface d'un pendentif en forme de tulipe.
% 
%Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij.

% On choisit pour unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. 
% 
% \medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I $  = [0~;~ 3]$ par : 

%\[f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4}{3}x^2 -2x + 3.\] 
%La courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij{} est notée $\mathcal{C}_{f}$ et donnée en Annexe.
% 
%Ce graphique sera complété au fur et à mesure du problème. 

\begin{enumerate}
\item %Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
La fonction $f$ est décroissante sur [0~;~ 3]. 
\item  %Calculer la valeur exacte de l'intégrale K$ = \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.
$K = \displaystyle\int_{0}^3 \left(- \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{4}{3}x^2 -2x + 3 \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}x^4  + \dfrac{4}{3}\times \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x\right]_{0}^3 =$

$- \dfrac{3^4}{12} + \dfrac{4}{9}\times 3^3 - 3^2 + 3\times 3 - \left(0 \right) = - \dfrac{27}{4} + 12 = \dfrac{21}{4}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle  I $  = [0~;~ 3]$ par 
%\[g(x)  = (3 - x)\text{e}^{x}.\]
 
%On appelle $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de $g$ dans le repère \Oij. 

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle I, on,a $g'(x) = (2 - x)\text{e}^{x}$ où $g'$ désigne la fonction  dérivée de la fonction $g$.
$g'(x) = - \text{e}^{x} + (3 - x)\text{e}^{x} = \text{e}^{x}(2 - x)$.
\item  %Étudier le signe de $g'$ et dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
On sait que $\text{e}^{x} > 0$ quel que soit le réel $x$ ; le signe de $g'(x)$ est donc celui de $2 - x$.

Si $x < 2$, alors $g'(x) > 0$ ;

Si $x > 2$, alors $g'(x) < 0$.  
	\begin{enumerate}
		\item  %Reproduire et compléter le tableau de valeurs de la fonction $g$ (arrondir les valeurs au dixième). 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$g(x)$	&3&4,1& 5,4	&6,7&7,4&6,1&0\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item %Compléter le graphique de la feuille annexe en traçant la courbe $\mathcal{C}_{g}$.
Voir plus bas. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = (4 - x)\text{e}^{x}$ est une primitive de la fonction $g$.
$G$ est dérivable et $G'(x) = - \text{e}^{x} + (4 - x)\text{e}^{x} = (3 - x)\text{e}^{x} = g(x)$.
		\item %Donner la valeur exacte de l'intégrale J$ = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\text{d}x$.
$J = \displaystyle\int_{0}^3 g(x)\text{d}x$ = \left[G(x) \right]_{0}^3 = \left[(4 - x)\text{e}^{x} \right]_{0^3} = 1\text{e}^{3} - 4 = \text{e}^{3} - 4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Hachurer $P_{1}$ la portion de plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$. 

\item %Construire les courbes $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$ symétriques de $\mathcal{C}_{f}$ et$\mathcal{C}_{g}$ par rapport à l'axe des abscisses. 
\item %Hachurer $P_{2}$ la portion de plan comprise entre  $\Gamma_{f}$ et $\Gamma_{g}$. 
\item %En utilisant les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b., exprimer en unités d'aire l'aire du motif représenté par les portions de plan $P_{1}$ et $P_{2}$.
 
%En déduire une valeur exacte de l'aire en cm$^2$ puis la valeur arrondie au cm$^2$. 
D'après les résultats de la question A. 2. et de la question B. 4. b. :

$\mathcal{A}(P_{1}) = J - K = \text{e}^3 - 4 - \dfrac{21}{4}$.

Par symétrie $P_{1}$ et $P_{2}$ ont la même aire, donc :

$\mathcal{A}(P_{1} + P_{2})  = 2\left( \text{e}^3 - 4 - \dfrac{21}{4}\right) = 2\text{e}^3 - 8 - \dfrac{21}{2} = 2\text{e}^3  - \dfrac{37}{2}$~(u. a.)

L'unité d'aire valant $4 \times 1 = 4$~cm$^2$, on a :

$\mathcal{A}(P_{1} + P_{2}) = 8\text{e}^3 - 74$~(cm$^2$).

La calculatrice donne $\mathcal{A}(P_{1} + P_{2}) \approx 86,68 \approx 87$~(cm$^2$).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=3.2cm,yunit=1cm}
\savedata{\points}[{{0,3},{0.5,4.1},{1,5.4},{1.5,6.7},{2,7.4},{2.5,6.1},{3,0}}]
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(3.25,8.5)
\multido{\n=-.500+0.125}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-8)(\n,8.5)}
\multido{\n=-8+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(3.25,\n)}
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\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{3 x sub 2.71828 x exp mul}
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\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot{0}{3}{3 x sub 2.71828 x exp mul neg}
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\uput[u](2.5,-1.2){$\Gamma_{f}$} \uput[d](2.5,-6.2){$\Gamma_{g}$}
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}