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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\Métropole
septembre 2010}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples. Pour chaque question, une seule des affirmations proposées est exacte. On indiquera pour chaque question la réponse correcte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x) = - 2x^2 + 5x - 3$ et $P$ la parabole représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
%\textbf{a.} Si $f(x) = 0$, alors $x = 1,5$ ;& \textbf{b.} $P$ a pour sommet le point S de coordonnées $\left(\dfrac{5}{4}~;~\dfrac{5}{40}\right)$\\ 
%\textbf{c.} Pour tout $x$ réel, $f(x) = (x - 1)(2x - 3)$ ;& 	\textbf{d.} $f(- 1) = 6$.\\
%\end{tabularx}
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0 \iff - 2x^2 + 5x - 3 = 0$. $\Delta = 25 - 24 = 1$, donc deux solutions réelles : $\dfrac{- 5 + 1}{2 \times (- 2)} = 1$ et $\dfrac{- 5 - 1}{2 \times (- 2)} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} = 1,5$  : vrai : si $f(x) = 0$, alors $x = 1,5$ (mais on peut aussi avoir $x = 1$) ;
		\item $f(x) = - 2 \left(x^2 - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2} \right) = - 2\left[\left(x - \dfrac{5}{4} \right)^2 - \dfrac{25}{16} + \dfrac{3}{2}\right] = - 2\left[\left(x - \dfrac{5}{4} \right)^2 - \dfrac{1}{16}\right]$. Le sommet de $P$ correspond au maximum de $f$ qui est atteint quand le carré s'annule soit si $x = \dfrac{5}{4}$ ; l'ordonnée du sommet S est $f\left(\dfrac{5}{4}  \right) = - 2 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{8}$. Donc S$\left(\dfrac{5}{4}~;~\dfrac{1}{8}\right)$ : faux ;
		\item Si $f(x) = (x - 1)(2x - 3)$, alors $f(x) = 2x^2 + \cdots$ : faux ;
		\item $f(- 1) = - 2 \times (-1)^2 + 5\times (- 1) - 3 = - 2 - 5 - 3 = - 10$ : faux
	\end{enumerate}

\medskip 

\item %Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(x) =  \dfrac{2x - 3}{3x + 1}$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

%Alors, pour tout réel $x$ positif ou nul :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.} \small $f'(x) = -\dfrac{7}{(3x + 1)^2}$ ;&\textbf{b.}\small $f'(x) =  \dfrac{11}{(3x + 1)^2}$ ; & \textbf{c.} $f'(x) = \dfrac{2}{3}$ ; & 
%\textbf{d.} $f'(x) = \dfrac{11}{3x + 1}$\\
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = \dfrac{2(3x + 1) - 3(2x - 3)}{(3x + 1)^2} = \dfrac{6x + 2 - 6x + 9}{(3x + 1)^2} = \dfrac{11}{(3x + 1)^2}$ : réponse \textbf{b.}
\medskip 

\item  %Une solution de l'équation $\text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - 2 = 0$ est: 
En posant $X = \text{e}^x$, l'équation s'écrit : $X^2 - X - 2 = 0$. Comme $\Delta = 1 - 8 = 9 = 3^2$, on a soir $X = \text{e}^x = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ soit $X = \dfrac{1 - 3}{2} = - 1 = \text{e}^x$. Cette dernière équation n'a pas de solution et la première donne $x = \ln 2$. Réponse \textbf{d.}
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.} $- 1$ ;&\textbf{b.} $0$ ; &\textbf{c.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{d.} $ \ln (2)$\\
%\end{tabularx}

\medskip  
 
\item  
%Pour tout $x$ réel,~ $\dfrac{\text{e}^{x+1}}{\text{e}^{-1 +x}}$ est égal  à : 
$\dfrac{\text{e}^{x+1}}{\text{e}^{-1 +x}} = \text{e}^{x + 1 + 1 - x} = \text{e}^{2}$. Réponse \textbf{c.}
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.} $1$ ; & \textbf{b.} $\text{e}^2 $ ; &\textbf{c.} $\text{e}^{x+1} \times \text{e}^{-(x + 1)}$ ; &\textbf{d.} $\text{e}^{2x}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item  %Soit F et F$'$ deux points distincts du plan. Alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\left|M\text{F} - M\text{F}' \right| = 8$ est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.} l'ensemble vide ;& 
%\textbf{b.} une hyperbole ; & 
%\textbf{c.} une ellipse ; & 
%\textbf{d.} un cercle.\\
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{b.}
\medskip
 
\item  %Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse E d'équation cartésienne $x^2  + 2y^2 = 16$. On appelle F et F$'$ les deux foyers de E. Alors :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}  
%\textbf{a.} un de ses sommets a pour coordonnées $(0~;~4)$ ; &	\textbf{b.} FF$' = 8$ ; \\ 
%\textbf{c.} un des foyers a pour coordonnées $\left(0~;~2\sqrt{2}\right)$ ; &\textbf{d.} Pour tout point $M$ de E : $M$F + $M$F$' = 8$.
%\end{tabularx}
	\begin{enumerate}
		\item Le point de coordonnées (0~;~4) n'appartient pas à l'ellipse : il ne peut être un sommet ;
		\item $x^2  + 2y^2 = 16 \iff \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{8} = 1$. On a donc $a^2 = 16$ et $b^2 = 8$, donc $c^2 = 16 - 8 = 8 \iff c = 2\sqrt{2}$. Donc FF$' = 4\sqrt{2}$.
		\item Les foyers ont pour coordonnées $(2\sqrt{2}~;~0)$ et $(- 2\sqrt{2}~;~0)$.
		\item Le point M(4~;~0) appartient à E ; pour ce point MF + MF$' = 4 - 2\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} = 8$ : vrai.
	\end{enumerate}

\medskip
 
\item  %Dans une classe de 40 élèves, on sait que 10 élèves écoutent uniquement du rap, que 17 élèves écoutent uniquement de la techno et que 4 élèves écoutent à la fois du rap et de la techno. On interroge un élève au hasard. La probabilité qu'il n'écoute ni rap ni techno est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.} $\dfrac{13}{40}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{9}{40}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{14}{40}$ ;& $\dfrac{1}{10}$.\\
%\end{tabularx}
Il y a $40 - (10 + 17 + 4) = 40 - 31 = 9$ élèves qui n'écoutent ni rap ni techno, donc la probabilité est égale à $\dfrac{9}{40}$ : réponse \textbf{b.}
\medskip 

\item  %Une urne contient trois boules bleues et deux boules vertes.
 
%On tire au hasard une boule que l'on remet dans l'urne après avoir noté sa couleur, puis on tire une deuxième boule au hasard. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
%\textbf{a.}$\dfrac{12}{5}$ ;&\textbf{b.}  $\dfrac{12}{25}$ ;&\textbf{c.} $\dfrac{6}{25}$ ;& $\dfrac{1}{5}$.\\
%\end{tabularx}
En faisant un arbre on trouve que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{25}$. Réponse \textbf{b.}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
%La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O.
% 
%On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~3].
% 
%La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A$'$, B$'$ et D$'$ ont des coordonnées entières.
% 
%La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$. La droite (AB') est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$. 
%On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront donnés en valeurs approchées à 0,1 près. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f(1),~f(2)$ et $f(3)$.
On lit : $f(1) = 1,\,f(2) = \dfrac{3}{5} = 0,6$ et $f(3) = \dfrac{4}{5} = 0,8$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation de la droite (AB').
$M(x~;~y) \in (\text{AB}') \iff y = ax + b$, donc en particulier :

A$(1~;~1) \in (\text{AB}') \iff 1 = 1a + b \iff b = 1 - a$ ;

B$' \in (\text{AB}') \iff 0 = 2a + b \iff b = - 2a$.

On en déduit que $1 - a = - 2a \iff a = - 1$, puis $b = 2$.

$M(x~;~y) \in (\text{AB}') \iff y = - x + 2$.
		\item %Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$.
$f'(1)$ nombre dérivé en $1$ est le coefficient directeur de la tangente en A, donc de la droite (AB$'$). D'où $f'(1) = -1$.

De même $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente en B qui est horizontale, donc $f'(2) = 0$.

	\end{enumerate} 
\item ~%Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$.

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.1,2.5){$1$}\uput[u](5,2.5){$2$}\uput[u](7.9,2.5){$3$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$+$}\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[d](2.1,2){1}\uput[u](5,0){0,6}\uput[d](7.75,2){0,8}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Calculer l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires.
Ce triangle a deux côtés de l'angle droit de mesure 1 ; donc l'aire du triangle AA$'$B$'$ en unités d'aires est égale $\dfrac{1 \times 1}{2} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
%La fonction représentée dans la première partie est définie sur l'intervalle [1~;~3] par : 
%
%\[f(x) = x - 2\ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $f(3) =  \ln \left(\dfrac{\text{e}^3}{9}\right)$.
On développe $\ln \left(\dfrac{\text{e}^3}{9}\right) = \ln \left( \text{e}^3\right) - \ln 9 = 3\ln \text{e} - \ln 3^2 = 3 - 2\ln 3 = f(3)$.
\item %Soit $F$ la fonction définie sur [1~;~3] par :

%\[ F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x - 2x \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1~;~3].
Quel que soit $x \in [1~;~3],\, F'(x) = \dfrac{2x}{2} + 2 - 2\ln x - 2x \times \dfrac{1}{x} = x + 2 - 2\ln x - 2 = x - 2\ln x = f(x)$.
		
Cette égalité montre que $F$ est une primitive de $f$ sur [1~;~3]. 
		\item %Calculer la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$ et en donner une interprétation 
%graphique.
I $ = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{1}^3 = F(3) - F(1) = \dfrac{3^2}{2} + 2\times 3 - 2 \times 3 \ln 3 - \left(\dfrac{1^2}{2} + 2 \times 1 - 2 \times 1 \ln 1 \right) =$

$\dfrac{9}{2} + 6 - 6\ln 3 - \dfrac{1}{2} - 2 = 8 - 6\ln 3$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, la droite (AB$'$) et la droite (DD$'$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer $(\mathcal{P})$.
Voir la figure à la fin. 
		\item %Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette du logo d'une société. Une unité sur le graphique représente 10~cm en réalité.
		 
%Calculer l'aire en cm$^2$ de ce logo en grandeur réelle, arrondie au cm$^2$.
L'aire du logo est en unité d'aire égale à la différence entre l'intégrale de la fonction $f$ entre 1 et 3 et l'aire du triangle AA$'$B$'$ soit :

$\mathcal{A}(\text{logo}) = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x - \mathcal{A}(\text{AA}'\text{B}') = 8 - 6\ln 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2} - 6\ln 3$~(u. a.)

1 u. a. $= 10 \times 10 = 100$~cm$^2$, donc :

$\mathcal{A}(\text{logo}) = 100 \left(\dfrac{15}{2} - 6\ln 3\right)= 750 - 600\ln 3$~cm$^2$ soit environ $91$~cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{sideways}
\centering 


\vspace{0.5cm}

\psset{unit=5.cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,2.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=5,subgriddots=5,gridwidth=2.5pt,subgridwidth=1.5pt](0,0)(3.2,2.4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3.2,2.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,1)(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.803)(3,0.803)(3,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,0.6)(2,0.614)(2,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,1)(1,0)(2,0)(2,0.614)(3,0.803)%AA'B'BD
\uput[ur](1,1){A} \uput[ur](1,0){A$'$}\uput[u](2,0.614){B}\uput[ur](2,0){B$'$} \uput[u](3,0.803){D}\uput[d](2.7,0.7){$(\mathcal{C})$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.4){$y$}
\psline(-0.2,2.2)(2.2,-0.2)
\rput(1.5,2.5){\textbf{\large Annexe au problème}}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\psline(3,0)(2,0)(1,1)
}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x x ln 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{sideways} 
\end{document}