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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

%\medskip

%Indiquer si chacune des propositions P1, P2, P3 et P4 suivantes est vraie ou fausse.

%\textbf{Justifiez vos réponses.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %On considère un jeu de cartes classique de 32 cartes.

%On tire au hasard une carte de ce jeu.
% 
%On considère les évènements suivants :
% 
%$C$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur \fg{}

%$R$ : \og la carte tirée est un roi \fg{}
% 
%$C \cup R$ : \og la carte tirée est un c{\oe}ur ou un roi \fg.

%Pour tout évènement $X$, on note $p(X)$ sa probabilité.
% 
%(P1) La probabilité de l'évènement $C \cup R$ est :
% 
%$p(C \cup R) = p(C) + p(R) = \dfrac{8}{32}+\dfrac{4}{32} = \dfrac{12}{32}$  c'est-à-dire $p(C \cup R) = \dfrac{3}{8}$. 
Faux : la formule est  $p(C \cup R) = p(C) + p(R) - p(C \cap R) = \dfrac{8}{32}+ \dfrac{4}{32} -  \dfrac{1}{32} = \dfrac{11}{32}.$
\item  %Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
% 
%On considère la conique d'équation cartésienne : $x^2 + 4 y^2 = 16$.
$x^2 + 4 y^2 = 16  \iff \left(\dfrac{x}{4} \right)^2  + \left(\dfrac{y}{2} \right)^2 = 1$. C'est bien l'équation d'une ellipse d'équation générale $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2  + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1$, avec $a = 4$ et $b = 2$. On sait que $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 4 = 12 = \left(2\sqrt{3}\right)^2$ et que les foyers ont pour coordonnées $(c~;~0)$ et $(-c~;~0)$ soit $(2\sqrt{3}~;~0)$ et $(-2\sqrt{3}~;~0)$. La proposition est vraie.
%(P2) Cette conique est une ellipse dont les foyers sont F$\left(2\sqrt{3}~;~ 0\right)$ et F$'\left(-2\sqrt{3}~;~0\right)$.
 
\item  %On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par: $F(x) = 5 - x + x \ln (x)$.
 
%(P3) 	$F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$.
On a $F'(x) = - 1 + \ln x  + x \times \dfrac{1}{x} = - 1 + \ln x  + 1 = \ln x$. La proposition est vraie. 
\item  %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = x^2 - 2 x + 2$.
 
%Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm est donnée ci-dessous. 

%(P4) L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$ est égale à $\dfrac{8}{3}$ en cm$^2$. 
On a $f'(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)$ ; la fonction $f$ est donc décroissante sur [0~;~1] et croissante sur [1~;~2]. Elle a un extremum (minimum) en $x = 1$ égal \`a $f(1)  = 1 - 2 + 2 = 1 >0$.

Conclusion : le minimum étant supérieur \`a zéro, la fonction est supérieure \`a zéro sur [0~;~2]. On alors que l'aire en unité d'aire, donc ici en cm$^2$ de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$ est égale \`a :

$\displaystyle\int_{0}^2 \left(x^2 - 2 x + 2 \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3} - x^2   +2x\right]_{0}^2 = \dfrac{2^3}{3}- 2^2 + 2\times 2 - \left(0 \right) = \dfrac{8}{3} - 4 + 4 = \dfrac{8}{3}.$  La proposition est vraie.
\end{enumerate}

\vspace{1cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On a tracé ci-dessous, dans un même repère orthonormal d'origine O, les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par : \[f(x) = x - \text{e}^x \quad  \text{et} \quad  g(x) = (1 - x)\text{e}^x\]
% ainsi qu'une droite $D$ passant par l'origine O.
 
\medskip
\begin{figure}[h]
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-5.5,-5)(4.5,3.5)
\uput[d](4.25,0){$x$} \uput[l](0,3.25){$y$}\uput[dr](3,3){$D$}
\uput[ur](0.5,-1.2){\textcolor{blue}{$\mathcal{C}_{1}$}}\uput[dr](1.4,-1.5){\textcolor{red}{$\mathcal{C}_{2}$}}
\psplot{-5}{3.5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1.25pt]{-4.8}{1.95}{x 2.71828 x exp sub}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=6000,linewidth=1.25pt]{-5.5}{1.85}{2.71828 x exp 1 x sub mul}
\psline[linestyle=dashed](0,-3.73)(1.69,-3.73)(1.69,0)
\uput[u](1.69,0){$\alpha$}\uput[l](0,-3.73){$f(\alpha) = g(\alpha)$}
\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item  %Attribuer à chaque fonction sa courbe représentative, en justifiant la réponse.
On a $f(0) = - 1$ et $g(0) = 1$, donc $\mathcal{C}_{1}$ est la représentation graphique de $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ est la représentation graphique de $g$.
\item  %Calculer la limite de $f(x) - x$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On a $f(x)  - x = - \text{e}^x$ et on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - x = 0$.
%En déduire alors que la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote oblique et en donner une équation.
Ceci signifie que la droite oblique $D$ d'équation $y = x$ est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}_{1}$ au voisinage de moins l'infini.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $g$\unboldmath.}
 
\begin{enumerate}
\item  %Calculer les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
Soit $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x$. On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et également que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = 0$.

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x = + \infty$ et par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (1 - x)\text{e}^x = - \infty$.
\item  %Déterminer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ puis établir le tableau de variations de la fonction $g$.
$g'(x) = - \text{e}^x + (1 - x)\text{e}^x = - x \text{e}^x$, produit qui est du signe de $- x$, puisque $\text{e}^x > 0$, quel que soit $x \in \R$.

Donc $x < 0 \Rightarrow g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est croissante ;

$x > 0 \Rightarrow g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est décroissante.

D'o\`u le tableau de variations de la fonction $g$ :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}\rput(3.5,2.25){$-$} \rput(6.5,2.25){$+$}
\rput(1,2.25){$g'(x)$} \rput(1,1){$g(x)$}\uput[u](2.2,0){$0$} \uput[u](7.6,0){$- \infty$}\uput[d](5,2){$1$}\rput(5,2.25){$0$}
\psline{->}(2.5,0.4)(4.5,1.7) \psline{->}(5.5,1.7)(7.5,0.4)   
\end{pspicture}
\end{center} 
\item  %Indiquer si la fonction $g$ admet des extremums sur $\R$.
La dérivée de $g$ ne s'annule qu'une fois en changeant de signe  ; $g$ n'a donc qu'un extremum $g(0) = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Partie C : Intersection des courbes représentatives de \boldmath $f$\unboldmath et \boldmath $g$\unboldmath}

\medskip
 
%On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = f(x) - g(x)$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Vérifier que pour tout réel $x  : h'(x) = 1 - g(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$.
Calculons $h'(x) = f'(x) - g'(x) = 1 - \text{e}^x - \left(- x \text{e}^x\right) = 1 -  \text{e}^x + x\text{e}^x = 1 - \left[\text{e}^x - x\text{e}^x \right] = 1 - \text{e}^x(1 - x) = 1 - g(x)$. 
\item  %En utilisant l'étude de la fonction $g$, déterminer pour tout $x$ réel le signe de $h'(x)$. Donner alors le tableau de variations de la fonction $h$. 

%Les limites de la fonction $h$ en $+ \infty$ et $- \infty$ ne sont pas demandées.
On a vu que sur $\R$, $ g(x)  \leqslant 1 \Rightarrow -1 \leqslant - g(x)  \iff 0 \leqslant 1 - g(x) = h'(x)$.

Donc sur $\R,~ h'(x) \geqslant 0$, donc $h$ est croissante.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$}  \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}\rput(4,2.25){$+$} 
\rput(1,2.25){$g'(x)$} \rput(1,1){$g(x)$}\uput[u](2.2,0){$- \infty$}
\uput[d](5.6,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,0.4)(5.3,1.7)
\end{pspicture}
\end{center} 
 
\item  %Justifier que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1~;~2[$.

%À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
La fonction $h$ est dérivable sur ]1~ ;~2[ et $h(1) = 1 - \text{e} \approx -1,718 < 0$ et $h(2) = 2 - \text{e}^2 + \text{e}^2  = 2 > 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in ]1~ ;~2[$ tel $h(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne  $h(1,6) \approx -0,4$ et $h(1,7) \approx 0,6$, donc $1,6 < \alpha < 1,7$.
\item  %Déduire de la question précédente que les deux courbes admettent un unique point d'intersection sur l'intervalle $]1~;~2[$.
On a : il existe un unique réel $\alpha$ de ]0~,~1[ tel que  $h(\alpha) = 0 \iff f(\alpha) - g(\alpha) = 0 \iff$

$  f(\alpha) = g(\alpha)$, ce qui signifie que les deux courbes représentatives de $f$ et de $g$ ont un unique point commun d'abscisse $\alpha$, avec $1,6 < \alpha < 1,7$.
\end{enumerate}

\end{document}