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%tapuscrit : Denis Vergès
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STI Arts appliqués~\decofourright\\[4pt] Métropole--La Réunion  21 juin 2012}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 10 points}

\medskip
 
%Les parties A et B sont indépendantes.
 
\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%\parbox{0.6\linewidth}{L'association \og Arts martiaux et Self-défense \fg{} d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.
%
%\medskip
% 
%60\,\% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36\,\% au cours de self-défense et 5\,\% aux deux. 
%
%On interroge un adhérent au hasard.
% 
%On note J l'évènement : \og l'adhérent interrogé pratique le judo \fg{} et S l'évènement: \og l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense \fg.
% 
%Pour tout évènement D, on note $\overline{\text{D}}$ l'évènement contraire de D.}\hfill
%\parbox{0.4\linewidth}{\begin{center}\renewcommand\arraystretch{1.8}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c|}{}	&J	&$\overline{\text{~J~}}$	&total\\ \hline
%S						&	&						&36\,\%\\ \hline
%$\overline{\text{~S~}}$	&	&						&\\ \hline
%total					&	&						&100\,\% \\ \hline
%\end{tabularx}\end{center}}
%\renewcommand\arraystretch{1}
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus.

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&J		&$\overline{\text{~J~}}$	&total\\ \hline
S						&5\,\%	&31\,\%						&36\,\%\\ \hline
$\overline{\text{~S~}}$	&55\,\%	&9\,\%						&64\,\%\\ \hline
total					&60\,\%	&40\,\%						&100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}}
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements : 
	\begin{enumerate}
		\item $\text{S} \cap \overline{\text{~J~}}$ : \og pratiquer le self-défense mais pas le judo \fg ;
		
$p\left(\text{S} \cap \overline{\text{~J~}} \right) = \dfrac{36 - 5}{100} = \dfrac{31}{100} = 0,31$.
		\item $\overline{\text{~S~}} \cap \text{J}$ : \og pratiquer le judo mais pas le self-défense \fg ;
		
$p\left(\overline{\text{~S~}} \cap \text{J} \right) = \dfrac{60 - 5}{100} = \dfrac{55}{100} = 0,55$. 		 
		\item $\overline{\text{~S~}} \cap  \overline{\text{~J}}$ : \og ne pratiquer ni le self-défense ni  le judo \fg ;
		
$p\left(\overline{\text{~S~}} \cap  \overline{\text{~J}} \right) = \dfrac{9}{100} = 0,09$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%\parbox{0.7\linewidth}{Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
% 
%Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
% 
%Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée limitée par le cercle et l'ellipse 
%comme indiqué ci-contre.}
%\hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(5,4)
%\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,2)(2.5,2)
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,2){1.5}
%\pscurve*(2.15,2.7)(2.2,2.8)(2.7,3)(2.9,2.8)(2.7,2.6)(2.3,2.5)(2.15,2.7)
%\pscurve*(1.4,2.4)(2,2.2)(2.1,2.18)(3,2.5)(3.45,3)(3.4,2.8)(3,2.3)(2.5,2.1)(2,2.05)(1.7,2.15)(1.4,2.4)
%\pscurve*(2.1,0.9)(2,1)(1.9,1.3)(2,1.7)(2.3,1.8)(2.4,1.78)(2.4,1.95)(2.85,2)(2.87,1.8)(3,1.78)(3.4,1.7)(3,1.65)(2.85,1.62)(3,1.3)(3.3,1)(3,0.92)(2.8,1)(2.4,1.4)(2.3,1.6)(2.2,1.58)(2,1.3)(2.1,0.9)
%%\psgrid[subgriddiv=10]
%\end{pspicture}}

%\medskip
%
%On a représenté en annexe (à joindre à la copie) l'ellipse (E) dans un repère orthonormé du plan d'origine O. 

\begin{enumerate}
\item %Les sommets A, A$'$, B et B$'$ ont des coordonnées entières. 

%Préciser les coordonnées de ces sommets.
On lit A(5~;~0), A$'(- 5~;~0)$, B(0~;~4) et B$'(0~;~- 4)$. 
\item %Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F$'$.
L'équation de (E) est $\dfrac{x^2}{5^2} + \dfrac{y^2}{4^2} - 1 = 0$ ou $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} - 1 = 0$.

L'abscisse $c$ d'un foyer vérifie $a^2 = b^2 + c^2$, avec $a = 5$ et $b = 4$, d'où $5^2 = 4^2 + c^2$ ou c^2 = 5^2 - 4^2 = 9 = 3^2$,  d'où $c = 3$ ou $c = - 3$.

On a donc F(3~;~0) et F$'(- 3~;~0)$. 
\item %Le cercle (C) a pour diamètre [FF$'$]. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF$'$] est égale à $9\pi$.
Comme OC = 3, l'aire du disque de diamètre [FF$'$] est égale à $\pi \times 3^2 = 9\pi$.
\item %Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ? 
%On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à $\pi \times  \text{OA} \times \text{OB}$.
L'aire de la surface délimitée par l'ellipse est égale à :

$\pi \times  \text{OA} \times \text{OB} = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$, soit plus du double de l'aire du disque. Le souhait n'est pas réalisé. 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 10 points}

\medskip

%La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
%
%Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=4cm}
%\begin{pspicture*}(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1.25,-0.25)(1.5,1.75)
%\psplot{-1.25}{0.75}{x 1 add}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1}{1 x dup mul sub 2.71828 x exp mul}
%\psdots(-1,0)(0,1)(1,0)
%\uput[ur](1,0){H}\uput[dr](0,1){F}\uput[ul](-1,0){E}\uput[d](1.4,0){$x$}\uput[l](0,1.7){$y$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
% 
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Par lecture graphique, préciser $f(-1), f(0)$ et $f(1)$.
On lit :  $f(-1) = 0,\: f(0) = 1$ et $f(1) = 0$
\item %Déterminer une équation de la droite (EF).
L'équation réduite de (EF) étant $y = ax + b$, on a :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0&=&-1a + b\\
1&=&0a + b
\end{array}\right.$

D'où $b = 1$, puis $b = a = 1$

L'équation réduite de la droite (EF) est $y = x + 1$. 
%Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de $f^{\prime}(0)$.

Si Marine a raison le coefficient directeur de la tangente en F est égal au nombre dérivé  $f^{\prime}(0)$ soit $f^{\prime}(0) = 1$.
\item %Julien affirme que la tangente au point d'abscisse $0,4$ est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour $f^{\prime}(0,4)$ ?
 
Si Julien a raison, on a $f^{\prime}(0,4) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle $[-1~;~1]$ par : 
%
%\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item %Comparer les valeurs de $f(-1), f(0)$ et $f(1)$ obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique.
On calcule :

$f(-1) =  \left(1 - (- 1)^2\right)\text{e}^{- 1}  = 0 \times \text{e}^{- 1} = 0$ ;

$f(0) = \left(1 - 0^2\right)\text{e}^0 = 1 \times 1 = 1$ ;

$f(1) = $ \left(1 - 1^2\right)\text{e}^1 = (1 - 1)\text{e}^1 = 0$.

Les valeurs sont les mêmes que celles obtenues par lecture graphique.
\item %On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[-1~;~1]$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 - 2x + 1)\text{e}^x$.
		En dérivant le produit on obtient :
		
$f^{\prime}(x) = - 2x\text{e}^x + \left(1 - x^2\right)\text{e}^x = \left(- x^2 - 2x + 1)\text{e}^x$.		 
		\item %En déduire la valeur exacte de $f^{\prime}(0)$ et de $f^{\prime}(0,4)$.
On en déduit :

$f^{\prime}(0) = \left(- 0 - 0 + 1\right)\text{e}^0  \right) = 1 \times 1 = 1$ ;

$f^{\prime}(0,4) = \left(- 0,4^2 - 2\times 0,4 + 1\right)\text{e}^{0,4}  \right) = (-0,16 -0,8 + 1)\times \text{e}^{0,4} = 0,04 \text{e}^{0,4} \approx 0,06 \neq 0$. 
	\end{enumerate} 
\item %La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ? 
Celle de Marine est validée, celle de Julien est infirmée.
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $- x^2 - 2x + 1$.
L'équation  $- x^2 - 2x + 1 = 0$. On a $\Delta = 4 - (- 4) = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2$.

Le discriminant étant supérieur à zéro, l'équation a deux racines réelles :

\dfrac{2 + 2\sqrt{2}}{2 \times (- 1)} = - 1 - \sqrt{2} \approx -2,414$ et $- 1 + \sqrt{2} \approx 0,414$.

On sait que :

$\bullet~~$$- x^2 - 2x + 1 < 0$ sur $\left]- 1 + \sqrt{2}~;~1\right[$ ;

$\bullet~~$$- x^2 - 2x + 1 > 0$ sur $\left]- 1~;~- 1 + \sqrt{2}\right[$.
		\item %En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
La question précédente montre que :

$\bullet~~$ sur $\left]- 1~;~- 1 + \sqrt{2}\right[$ la fonction $f$ est croissante ;

$\bullet~~$ sur $\left]- 1 + \sqrt{2}~;~1\right[$  la fonction $f$ est décroissante.

Le maximum est égal à $f\left(- 1 + \sqrt{2} \right) = \left(1 - \left(- 1 + \sqrt{2} \right)^2 \right)\text{e}^{- 1 + \sqrt{2}} = \left(1 - 1 - 2 + 2\sqrt{2}\right)\text{e}^{- 1 + \sqrt{2}} = \left(-2 + 2\sqrt{2}\right)\text{e}^{- 1 + \sqrt{2}} \approx 1,253$.


	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1~;~1]$, on pose $F(x) = \left(- 1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$. 

%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$.
On calcule sur l'intervalle $[-1~;~1]$ :

$F^{\prime}(x) = (2 - 2x)\text{e}^x + \left(- 1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x = \text{e}^x\left(2 - 2x - 1 + 2x - x^2\right) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^x = f(x)$.

La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~1]$. 
\item %Calculer l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$.
On a vu que sur l'intervalle $[-1~;~1]$ la fonction $f$ est positive, donc  l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{-1}^{1} = F(1) - F(- 1) = \left(- 1 + 2\times 1 - 1^2\right)\text{e}^1 - \left[\left(- 1 + 2\times (- 1) - (- 1)^2\right)\text{e}^{- 1}
\right] = 4\text{e}^{- 1}\approx 1,47$.

On vérifie sur la figure que l'aire vaut environ 6 carreaux de 0,25 environ.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe à l'exercice 1 - À joindre à la copie}}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(6,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-5)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psellipse[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,0)(5,4)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](5.8,0){$x$}\uput[ur](5,0){A}
\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](-5,0){A$'$}\uput[dr](0,-4){B$'$}
\pscircle(0,0){3}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}