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\begin{document}
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\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\[5pt]23 juin 2008}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

\begin{enumerate}
\item  %A et B sont deux évènements. La probabilité de l'évènement A est $0,4$. La probabilité de l'évènement B est $0,6$. La probabilité de l'évènement A~$\cap$~B est $0,2$. 

%La probabilité de l'évènement A~$\cup$~B est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ 0,8&\textbf{b.}~~ 1&\textbf{c.}~~ $1,2$&\textbf{d.}~~ 0,2\\
%\end{tabularx}
On a : $p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,4 + 0,6 - 0,2 = 0,8$. Réponse : a.
\medskip

\item %Une urne contient six boules : deux blanches notées B1, B2, trois jaunes notées J1, J2, J3, une verte notée V. On tire deux boules de l'urne simultanément. On pourra s'aider d'un tableau. La probabilité de l'évènement \og les deux boules tirées ont la même couleur \fg{ }est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ $\dfrac{2}{30}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{14}{36}$&\textbf{c.}~~ $\dfrac{8}{30}$&\textbf{d.}~~ $\dfrac{22}{30}$\\
%\end{tabularx}
On a $6 \times 5 = 30$ tirages différents. Les tirages de m\^eme couleur sont (B1,B2)\quad  (J1,J2) \quad (J1,J3) \quad (J2,J3) et les tirages dans l'ordre inverse : donc 8 tirages favorables. La probabilité est donc égale à $\dfrac{8}{30}$. Réponse : c.
\medskip

\item %Dans un repère orthonormé, on considère la courbe (C) d'équation : $25x^2 - 36y^2 - 900 = 0$.

%Cette courbe est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ une ellipse&\textbf{b.}~~un cercle&\textbf{c.}~~ une hyperbole&\textbf{d.}~~ une parabole\\
%\end{tabularx}
Réponse c. : une hyperbole.$25x^2 - 36y^2 - 900 = 0 \iff \dfrac{25x^2}{900} - \dfrac{36y^2}{900} = 1$.

\medskip

\item %Dans un repère orthonormé, l'ellipse (E) a pour équation : $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.

%Un de ses foyers a pour coordonnées :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ $\left(2\sqrt{5}~;~0\right)$&\textbf{b.}~~$\left(0~;~2\sqrt{5}\right)$&\textbf{c.}~~$\left(0~;~2\sqrt{3}\right)$ &\textbf{d.}~~$\left(2\sqrt{3}~;~0\right)$ \\
%\end{tabularx}

$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1 \iff \dfrac{x^2}{4^2} + \dfrac{y^2}{2^2} = 1$.

On a donc $a = 4 ,~b = 2$ et $c = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Les coordonnées des des foyers sont donc $\left(2\sqrt{3}~;~0 \right)$ et $\left(-2\sqrt{3}~;~0 \right)$. Réponse d.
\medskip

\item %Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) =  x^3 +x$ et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

%L'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =  0$ et $x = 2$ est, en unités d'aire :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ 6&\textbf{b.}~~10&\textbf{c.}~~ 13&\textbf{d.}~~ $-6$\\
%\end{tabularx}
Comme $x \geqslant 0,~x^3 \geqslant 0$ : la fonction $f$ est donc positive sur [0~;~2].

L'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =  0$ et $x = 2$ est, en unités d'aire est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 \left(x^3 + x\right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^2}{2}  \right]_{0}^2 =  \dfrac{2^4}{4} + \dfrac{2^2}{2}  - \left(\dfrac{0^4}{4} + \dfrac{0^2}{2} \right) = 4 + 2 = 6$~(u. a.). Réponse a.

\medskip

\item %La dérivée de la fonction $f$ définie sur $\left]\dfrac{1}{3}~;~+ \infty\right[$ par : $f(x) = \ln (3x - 1)$ est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{3x - 1}$&\textbf{b.}~~$f'(x) = 3$&\textbf{c.}~~ $f'(x) = \dfrac{3}{3x - 1}$&\textbf{d.}~~ $f'(x) = \dfrac{1}{(3x - 1)^2}$\\
%\end{tabularx}
Avec $u(x) = 3x - 1 > 0$, la dérivée de la fonction $\ln u$ est $\dfrac{u'}{u} = \dfrac{3}{3x - 1}$. Réponse c.

\medskip

\item %Une primitive de la fonction $f$, définie sur $]0~;~ +\infty[$ par : $f(x)= 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$ est :

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ $F(x)= 2 - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{b.}~~$F(x) = x^2$ +x + \ln x$&\textbf{c.}~~ $F(x) = 2 + \ln x$&\textbf{d.}~~ $F(x) = 2$\\
%\end{tabularx}
Pour $x > 0$, une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est la fonction $\ln x$. Une primitive de $f$ est donc $F$ définie par : $F(x) = x^2 + x + \ln x$. Réponse b.

\medskip

\item %La solution de l'équation :	$\dfrac{1}{2}\text{e}^x	= 5$	est :
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~ $ 2 \ln 5$&\textbf{b.}~~$\ln 10$&\textbf{c.}~~ $10$&\textbf{d.}~~ $\text{e}^{10}$\\
%\end{tabularx}
$\dfrac{1}{2}\text{e}^x	= 5 \iff \text{e}^x = 10 \iff x = \ln 10$, par croissance de la fonction logarithme népérien. Réponse b.

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

%Pour une entreprise de production d'énergies renouvelables, un graphiste conçoit un logo dont la construction apparaît dans le problème suivant.

\medskip

\textbf{Partie A}

%Soit la fonction $f$ définie sur [0 ; 2] par :
% \[f(x) = \text{e}^x + 1.\]
%$\mathcal{C}$ désigne sa courbe représentative dans le repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 1~cm.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe sur l'intervalle [0 ; 2].
$f$ est dérivable sur [0~;~2] et $f'(x) = \text{e}^x$. On sait que $\text{e}^x > 0$ , quel que soit le nombre réel $x$. 
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].
On en déduit que $f$ est croissante sur [0~;~2] de $f(0) = 1 + 1 = 2$ à $f(2) = \text{e}^2 + 1$.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.2,2){$0$} \uput[u](5.8,2){$2$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](2.25,0){$2$}\uput[d](5.6,2){$\text{e}^2 + 1$}
\psline{->}(2.4,0.3)(5.1,1.6) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	 \end{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1	&1,5	&2\\ \hline
$f(x)$	&2	&$\approx 2,6$	&$\approx 3,7$	&$\approx 5,5$	&$\approx 8,4$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Construire la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$. Le point O sera placé au centre de la feuille de papier millimétré.
Voir la figure à la fin.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

%Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par :
%\[ g(x) = - x^2 + 2x\]
%et $\mathcal{C}'$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer la dérivée de la fonction $g$ et dresser le tableau de variations de $g$ sur [0~;~ 2].
$g$ est dérivable sur [0~;~2] et $g'(x) = - 2x + 2$.

$- 2x + 2 > 0\iff 2 > 2x \iff 1 > x \iff x < 1$.

$- 2x + 2 < 0\iff 2 < 2x \iff 1 < x \iff x > 1$.

La fonction $g$ est donc croissante sur [0~;~1] et décroissante sur [1~;~2]. D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.2,2){$0$} \uput[u](5,2){$1$} \uput[u](7.8,2){$2$} \rput(1,1){$g(x)$}\uput[u](2.2,0){$0$}\uput[d](5,2){$1$}\uput[u](7.8,0){$0$}
\psline{->}(2.4,0.3)(4.5,1.7) \psline{->}(5.5,1.7)(7.5,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item  %Donner une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}'$ en son point d'abscisse $2$.
$M(x~;~y) \in \text{T} \iff y - g(2) = g'(2)(x - 2) \iff y - 0 = -2(x - 2) \iff y = -2x + 4$.
\item  %Construire T et $\mathcal{C}'$ dans le repère \Oij.
Voir ci-dessous.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x exp 1 add}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{2 x mul  x dup mul sub}
}
\rput{180}(0,0){\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{2 x mul  x dup mul sub}
}}
\rput{90}(0,0){\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{2 x mul  x dup mul sub}
}}
\rput{270}(0,0){\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2}{0}{2 x mul  x dup mul sub}
}}

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](8,0){$x$}\uput[r](0,8){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2.71828 x exp 1 add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{2}{2 x mul  x dup mul sub}
\psline(2,0)(2,8.3891)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

%On appelle D le domaine compris entre $\mathcal{C},~ \mathcal{C}'$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

%On admet que $f(x) \geqslant  g(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 2] et que l'aire du domaine D, en unités d'aire, est donnée par la formule :  $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 [f(x) - g(x)]\: \text{d}x$.
  
%Calculer la valeur exacte de cette aire en cm$^2$, puis la valeur arrondie à $10 ^{-1}$ près.
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^2 [f(x) - g(x)]\: \text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 \left( \text{e}^x + 1 + x^2 - 2x\right) \: \text{d}x  = \left[\text{e}^x + x + \dfrac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^2 =$

$ \text{e}^2 + 2 + \dfrac{2^3}{3} - 2^2 - \left(\text{e}^0 + 0 + \dfrac{0^3}{3} - 0^2 \right) = \text{e}^2 - 3 + \dfrac{8}{3} = \text{e}^2 - \dfrac{1}{3}$~(u. a.).

L'unité d'aire valant 1~cm$^2$, on a $\mathcal{A} =  \text{e}^2 - \dfrac{1}{3} \approx 7,1$~cm$^2$.
\medskip

\textbf{Partie D}

\begin{enumerate}
\item  %Dessiner le domaine D$_{1}$, symétrique de D par rapport à O.
Voir la figure
%Colorier le domaine réunion de D$_{1}$ et D. 
\item %Dessiner le domaine D$_{2}$, obtenu par rotation de centre O et d'angle 90\degres{} du domaine colorié précédemment.
Voir la figure
\end{enumerate}
\end{document}