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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil~\decofourright\\[5pt]Métropole  septembre 2009}}

%\vspace{0,5cm}

%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

%Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

%Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\textbf{Ceci est un QCM.} Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C, ou D est exacte.

% Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
%  
%On ne demande \emph{aucune justification.}
% 
%\textbf{NOTATION :} \emph{Chaque réponse juste rapporte un point, une réponse fausse coûte $0,25$ point. Une absence de réponse ne rapporte ni ne coûte de point.\\ 
%Si la note globale de l'exercice est négative, elle est ramenée à zéro.}

%\medskip
% 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

% \[f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right).\]

\begin{enumerate}
\item  %$f(x)$ peut s'écrire sous la forme :

\medskip

%\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{XX} 
%Réponse A: $f(x) = \cos 3x + \sqrt{3} \sin 3x$&Réponse B : $f(x) = \sqrt{3} \cos \dfrac{1}{3}x + \sin \dfrac{1}{3}x$\\
%Réponse C : $f(x) = \cos \dfrac{1}{9}x + \sqrt{3}\sin \dfrac{1}{9}x$& Réponse D :  $f(x) = \cos \dfrac{1}{3}x + \sqrt{3} \sin \dfrac{1}{3}x$. \\
%\end{tabularx} 
$f(x) = 2\cos  \dfrac{x}{3}\cos \dfrac{\pi}{3} + 2\sin \dfrac{x}{3}\sin \dfrac{\pi}{3} = \cos  \dfrac{x}{3}+ \sqrt{3}\sin \dfrac{x}{3}$ :réponse D.
\item  %$f$ est solution de l'équation différentielle:

\medskip

%\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{XX}  
%Réponse A : $y''- 9y = 0$ &	Réponse B : $9y'' + y = 0$\\ 
%Réponse C: $y'' + 3y = 0$ & Réponse D : $y'' + \dfrac{1}{3}y = 0$.\\
%\end{tabularx} 
On peut penser que la seule  réponse est la réponse B. Vérification :

$f'(x) = - \dfrac{2}{3} \sin \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right)$ et $f''(x) = - \dfrac{2}{9}\cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right)$.

On a effectivement $9f''(x) + f(x) = 0.$
\item  %La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est :

\medskip
%
%\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{XXXX}  
%Réponse A : $\dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$ &	Réponse B :  $\dfrac{\sqrt{3}}{2\pi}$& Réponse C: $\dfrac{3}{\pi}$& 	Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$.\\
%\end{tabularx}
La valeur moyenne est égale à $V_{m} = \dfrac{1}{\pi - 0}\displaystyle\int_{0}^{\pi}  \left[2 \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right)\right]\:\text{d}x = $

$\dfrac{1}{\pi}\left[6\sin \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right) \right]_{0}^{\pi} = \dfrac{6}{\pi}\left[\sin 0 - \sin \dfrac{\pi}{3}\right] =  \dfrac{6}{\pi} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\pi}$. Réponse a.
\item  %La solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi ]$ est :

\medskip

%\hspace{-1,1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{XXXX}  
%Réponse A  :  $\dfrac{5\pi}{6}$& Réponse B :$\dfrac{5\pi}{2}$&  Réponse C: $\dfrac{\pi}{6}$&Réponse D : $-\dfrac{\pi}{2}$\\
%\end{tabularx} 
$f(x) = 0 \iff \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0  \iff  \cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \dfrac{\pi}{2}$ ou $\cos \left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos \dfrac{-\pi}{2}$ soit $\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ ou $\dfrac{x}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{-\pi}{2} + 2k\pi$ et finalement $x = 3\left(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} \right) + 6k\pi = \dfrac{5\pi}{2} + 6k\pi$ ou 

$x = 3\left(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} \right) + 6k\pi= -\dfrac{\pi}{2} + 6k\pi$.

Donc la seule solution dans l'intervalle $[-\pi~;~+ \pi]$ est $- \dfrac{\pi}{2}$. Réponse D.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

%\medskip

%Dans une usine, le tableau de production de deux chaînes de montage est le suivant : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Mois& 
%Productions mensuelles chaîne A &Productions mensuelles chaîne B& 
%\No de rang des productions\\ \hline 
%Janvier 2009 	&\nombre{2056} &\nombre{1770} &1  \\ \hline%
%Février 2009 	&\nombre{2069} &\nombre{1805} &2  \\ \hline% 
%Mars 2009 		&\nombre{2082} &\nombre{1840} &3   \\ \hline%
%Avril 2009 		&\nombre{2095} &\nombre{1875} &4   \\ \hline%
%\end{tabularx}

%\medskip 

%Les productions forment des suites arithmétiques.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la raison de la suite pour la chaîne A ? Justifier.
On a  $\nombre{2069} - \nombre{2056} = 13$ ; $\nombre{2082} - \nombre{2069} = 13$ et $\nombre{2095} - \nombre{2082} = 13$.

La suite est donc une suite arithmétique de raison 13.
		\item  %Quelle est la raison de la suite pour la chaîne B ? Justifier.
		On trouve de m\^eme que la suite est donc une suite arithmétique de raison 35.
	\end{enumerate} 
\item %En supposant que l'une des productions mensuelles de la chaîne B soit \nombre{2050}, quel serait alors son numéro de rang ?
Si $u_{1} = \nombre{1770}$, on sait que $u_{n} = u_{1} + 35(n - 1)$.

Donc $\nombre{2050}  = \nombre{1770} + 35n - 35  \iff 35n = 315 \iff n = 9$.

\nombre{2050} est donc le 9\up{e} terme de la suite.  
\item  %Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par A$_{n}$ et B$_{n}$ les productions mensuelles respectives de rang $n$ des chaînes A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer A$_{n}$ en fonction de $n$ et de A$_{1}$.
Le premier terme étant  A$_{1}$, on a A$_{n} = \text{A}_{1} + 13(n - 1) = \nombre{2056} + 13n - 13 = \nombre{2043} + 13n$.
		\item %Exprimer B$_{n}$ en fonction de $n$ et de B$_{1}$. Retrouver ainsi le résultat de la question 2.
De m\^eme B$_{n} = \text{B}_{1} + 35(n - 1) = \nombre{1770} + 35n - 35 = \nombre{1735} + 35n$.		 
		\item %À partir de quelle date (mois et année), la production de la chaîne B sera-t-elle supérieure ou égale à celle de la chaîne A ?
		Il faut résoudre dans $\N$, l'inéquation $\nombre{1735} + 35n \geqslant \nombre{2043} + 13n \iff 22n \geqslant 308 \iff$
		
$ 11n \geqslant 154 \iff n \geqslant 14.$
		
La production de la chaîne B sera supérieure  à celle de la chaîne A à partir de 14 ans soit en février 2010.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip
 
%Les objectifs de ce problème sont:

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  l'étude de quelques propriétés d'une fonction $f$ et de sa courbe 
%représentative,
%\item  un calcul d'aire entre deux courbes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit l'équation différentielle (E) : 	$y' + y = x^2 + x + \text{e}^{-x}$,
% 
%où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ et $y'$  sa dérivée.
% 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
% \[f(x) =  (x + k)\text{e}^{-x} + x^2 - x + 1,\]
%  
%où $k$ désigne une constante réelle. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = \text{e}^{-x} - (x + k)\text{e}^{-x} + 2x - 1 = (1 - k - x)\text{e}^{-x} + 2x - 1$ 
\item %Montrer que la fonction $f$ est solution de l'équation (E).
On calcule $f'(x)  + f(x) = (1 - k - x)\text{e}^{-x} + 2x - 1 + (x + k)\text{e}^{-x} + x^2 - x + 1 =$

$ \text{e}^{-x} + x^2  + x$. 

Donc la fonction $f$ est bien une solution de (E).
\item %Déterminer le réel $k$ pour que $f(0) = 1$.
$f(0) = 1 \iff k\text{e}^{0} + 1 = 1 \iff k + 1 = 1 \iff k = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, pour tout nombre réel $x$, par : 
%\[f(x) = x\text{e}^{-x} + x^2  - x + 1\quad  \text{et} \quad  g(x) = x^2 - x + 1.\] 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{P}$ la courbe représentative de $g$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x), \displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

On a $g(x) = x^2\left(1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right)$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0\quad (n \in \N)$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}  = 1$, donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
		\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}[f(x) - g(x)]$. Interpréter graphiquement ce dernier résultat.
$f(x) - g(x) = x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}$. 

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0$.

Ceci signifie que la courbe $\mathcal{P}$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.	 
		\item  %Étudier sur $\R$ la position relative des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
$f(x) - g(x) = x\text{e}^{-x}$ qui est du signe de $x$ car $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$.

Donc $x < 0 \Rightarrow f(x) - g(x) < 0$, ce qui signifie que $\mathcal{C}$ est au dessous de $\mathcal{P}$ ;

$x > 0 \Rightarrow f(x) - g(x) > 0$, ce qui signifie que $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{P}$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)= \text{e}^{-x}(1 - x) + 2x - 1$.
Le calcul a déjà été fait au dessus : il suffit de remplacer $k$ par $0$. 
		\item  %Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0.
		Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est égal à 
		
$f'(0) = 1 + 0 - 1 = 0$, ce qui signifie que la tangente est horizontale.
	\end{enumerate} 
\item Sur la feuille annexe : 

	\begin{enumerate}
		\item %Compléter le tableau de valeurs arrondies au centième.
Voir plus bas. 
		\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le cadre où a déjà été tracée la courbe $\mathcal{P}$.
Voir plus bas.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que la fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = (- x - 1)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^{-x}$.
On a $H'(x) = - \text{e}^{-x} - (- x - 1)\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x} = f(x)$.

Ceci montre que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  %Soit A la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \alpha$ où $\alpha$ est un nombre réel supérieur ou égal à 2. 
	\begin{enumerate}
		\item %Colorier la partie A sur la feuille annexe dans le cas particulier où $\alpha = 2$.
Voir la figure 
		\item %Pour $\alpha \geqslant 2$ quelconque, déterminer l'aire de la partie A en fonction de $\alpha$, en unités d'aire puis en cm$^2$.
On a $\alpha \geqslant 2 > 0$ ; on sait donc que sur l'intervalle $[0~;~\alpha[$ la différence $f(x) - g(x)$ est positive ; donc l'aire de la partie A est égale en unité d'aire à :

$\mathcal{A}(\text{A}) = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} \left[f(x) - g(x) \right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\alpha} h(x)\:\text{d}x = \left[H(x)  \right]_{0}^{\alpha} = H(\alpha) - H(0) =$

$ (- \alpha - 1)\text{e}^{-\alpha} + 1 = 1 - (\alpha + 1)\text{e}^{-\alpha}$. 
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \left(- \alpha\text{e}^{-\alpha}  - \text{e}^{- \alpha} + 1\right)$.
Comme $\alpha\text{e}^{-\alpha} = \dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}}$ et on a vu que $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \dfrac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}} = 0$.

On a aussi  $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \text{e}^{- \alpha} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{\alpha \to + \infty} \left(- \alpha\text{e}^{-\alpha}  - \text{e}^{- \alpha} + 1\right) = 1$.
		\item  %Quelle est la limite de l'aire de A en cm$^2$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$ ?
		L'unité d'aire est égale à $1 \times 2 = 2~\left(\text{cm}^2\right).$

Conclusion la limite de l'aire de A est égale à 2 cm$^2$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&$-2$&$-1,5$&$-1,1$&$-1$&$-0,5$&0&0,5&1&1,5&2&2,5&3\\ \hline%
$f(x)$&$-7,78$&$-1,97$&$0,01$&0,28&0,93&1&1,05&1,37&2,08&3,27&4,96&7,15\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1,5cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-9)(3.5,9)
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\end{center}
\end{document}