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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil juin 2010~\decofourright\\[5pt]Antilles--Guyane}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis  à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter  les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ les équations d'inconnue $z$ suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item  $z^2 = - 1$ ; $ = \{- \text{i}~;~\text{i}\}$. 
		\item  $z^2 - 4z  + 13 = 0$ ; $\Delta = 16 - 4 \times 13 = 16 - 52  = - 36 = (6\text{i})^2$. L'équation a donc deux racines complexes conjuguées : $\dfrac{4 + 6\text{i}}{2} = 2 + 3\text{i}$ et son conjugué $2 - 3\text{i}$.
		\item  $z - 3\text{i} = - 2\text{i}z + 4 \iff z(1 + 2\text{i}) = 3\text{i} \iff x = \dfrac{3\text{i}}{1 + 2\text{i}} = \dfrac{3\text{i}(1 - 2\text{i})}{(1 + 2\text{i})(1 - 2\text{i})} = \dfrac{6  + 3\text{i}}{1 + 4} = \dfrac{6}{5} + \text{i}\dfrac{3}{5}$.
	\end{enumerate}
	 
\item %Soient A, B et C les points d'affixes respectives 

%\[z_{\text{A}} = \text{i},~ z_{\text{B}} = 2  + 3\text{i} \quad \text{et}~~z_{\text{C}} = \dfrac{4 + 3\text{i}}{1 + 2\text{i}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
Voir la figure. 
		\item %Calculer la distance AB.
		On a $|\text{AB}| = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right| = |2  + 3\text{i} - \text{i} | = |2 + 2\text{i}| = \sqrt{2^2 + 2^2 } = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
		\item %Montrer que $z_{\text{C}} = 2 - \text{i}$.
$z_{\text{C}} = \dfrac{4 + 3\text{i}}{1 + 2\text{i}} = \dfrac{(4 + 3\text{i})(1 - 2\text{i})}{(1 + 2\text{i})(1 - 2\text{i})} = \dfrac{4 + 6 +3\text{i} - 8\text{i}}{1 + 4} = \dfrac{10 - 5\text{i}}{5} = 2 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le module et un argument de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
$z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = 2 - \text{i} - \text{i} = 2 - 2\text{i}$

Ce complexe a pour module : $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}.$

On peut donc factoriser ce module :

$z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\left(\cos \left(- \frac{\pi}{4} \right) + \text{i}\sin \left(- \frac{\pi}{4} \right) \right)$.

Donc un argument de ce complexe est $- \dfrac{\pi}{4}$.		
		\item %En déduire l'écriture exponentielle de $z_{\text{C}} - z_{\text{A}}$.
		On a donc $z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Déterminer géométriquement l'ensemble $E$ des points $M$ d'affixe $z$ du plan qui vérifient $\left|z - z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$.
 Cette égalité $\left|z - z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$ est équivalente à A$M$ = AC = $ 2\sqrt{2}$.
 
 Les points $M$ appartiennent au cercle de centre A et de rayon $2\sqrt{2}$ (comme le point C). 
		\item %Justifier que les points B et C appartiennent à l'ensemble $E$ puis tracer cet ensemble dans le plan.
On a vu que  AB = $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right| = 2\sqrt{2}$ : le point B appartient à $E$.

On a vu que  $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right| = $ AC = $2\sqrt{2}$, donc C appartient à l'ensemble $E$.

Le cercle $E$ est le cercle centré en A et contenant B et C. Voir la figure
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(0,1)(2,3)(2,-1)
\pscircle[linecolor=blue](0,1){2.828427}
\uput[ul](0,1){A} \uput[ur](2,3){B} \uput[dr](2,-1){C} \uput[dl](0,0){O} 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
% 
%Un concessionnaire propose à ses clients, au moment d'acheter un véhicule neuf, d'équiper celui-ci avec des options :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  La peinture métallique (option A) pour un coût de 500~euros 
%\item  La climatisation (option B) pour un coût de \np{1000}~euros 
%\item  Un système GPS embarqué (option C) pour un coût de \np{1500}~ euros
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le client est libre de choisir zéro, une ou plusieurs options parmi les trois proposées. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre de combinaisons d'options qu'il est possible de faire.
Pour chaque option il est possible de la choisir ou non donc deux choix possibles. Il y a donc en tout : $2 \times 2 \times 2 = 8$ nombre de combinaisons. 
\item %N'ayant aucune information sur le choix des clients, le concessionnaire suppose les combinaisons d'options équiprobables. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins une option.
Chaque choix a donc une probabilité de $\dfrac{1}{8}$, en particulier celle de ne choisir aucune option.

La probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins une option est donc égale à $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.
		\item  %Calculer la probabilité qu'un client équipe son véhicule en choisissant au moins l'option B.
Il y a 4 choix sur les 8 qui ne contiennent pas l'option B. Donc 4 contenant au moins l'option B. Soit une probabilité de $4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}$.
 	\end{enumerate} 
\item %On note $X$ la variable aléatoire associée au coût total (en euros) des options que peut choisir un client qui achète un véhicule chez ce concessionnaire. 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier puis compléter le tableau suivant :
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$k$&0&500&\np{1000}&\np{1500}&\np{2000}&\np{2500}&\np{3000}\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p(X = k)$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{2}{8}$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

		\item %Calculer la probabilité qu'un client achète pour plus de \np{1500}~euros d'options.
La probabilité cherchée est égale à :

$p(X=\np{2000}) + p(X=\np{2500}) + p(X=\np{3000})  = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$.
		\item %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, qui représente le co\^ut moyen (en euros) d'une combinaison d'options pour un véhicule.
		
E$(X) = 0 \times \dfrac{1}{8} + 500 \times \dfrac{1}{8} + \np{1000} \times \dfrac{1}{8} + \np{1500} \times \dfrac{2}{8} + \np{2000} \times \dfrac{1}{8} + \np{2500} \times \dfrac{1}{8} + \np{3000} \times \dfrac{1}{8} =$

$\dfrac{500 + \np{1000} + \np{3000} + \np{2000}   + \np{2500} + \np{3000}}{8} = \dfrac{\np{12000}}{8} = \np{1500}$~(\euro).
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
%Le concessionnaire propose la promotion : \og l'option C au prix de l'option B \fg.
 
%Calculer le pourcentage de baisse de son chiffre d'affaire moyen sur la vente des combinaisons d'options pour un véhicule.
 
%(Comme à la question 2., on supposera les combinaisons d'options équiprobables.)
On reprend le calcul de l'espérance avec un prix de l'option à \np{1000}~\euro.

E$(X) = 0 \times \dfrac{1}{8} + 500 \times \dfrac{1}{8} + \np{1000} \times \dfrac{2}{8} + \np{1500} \times \dfrac{2}{8} + \np{2000} \times \dfrac{1}{8} + \np{2500} \times \dfrac{1}{8}  =$

$ \dfrac{500 + \np{2000} + \np{3000} + \np{2000} + \np{2500}}{8} = \dfrac{\np{10000}}{8} = \np{1250}$~(\euro).

En moyenne le chiffre d'affaires des options baisse pour un véhicule de 250~\euro, soit en pourcentage de :

\[\dfrac{250}{\np{1500}} \times 100 = \dfrac{50}{3} \approx 16,67\:\%\] 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

%\[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}+ 2x.\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

%\[h(x) = 1 - \ln x + 2x^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $h'$ la fonction dérivée de $h$.
		 
%Montrer que $h'(x) = \dfrac{4x^2 -1}{x}$ puis déterminer le signe de $h'(x)$ pour $x$ dans $]0~;~+\infty[$.
$h$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$h'(x) = - \dfrac{1}{x} + 4x = \dfrac{4x^2 - 1}{x}.$

Comme $x > $, le signe de $h'(x)$ est celui du numérateur 

$4x^2 - 1 = (2x + 1) (2x - 1).$

Ce trinôme est du signe de 4, donc positif sauf entre les racines $- \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

Donc en résumé :

$\bullet~$ sur $\left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[,~h'(x) < 0$ ;

$\bullet~$ sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[,~h'(x) > 0$ 
		\item %Calculer $h\left(\dfrac{1}{2}\right)$ puis dresser le tableau de variations de $h$.
$h\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1 - \ln \dfrac{1}{2} + 2\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = 1 - (- \ln 2) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} + \ln 2$.		 
%On ne déterminera pas les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.2,2.5){$0$} \uput[u](4,2.5){$\dfrac{1}{2}$} \uput[u](6.5,2.5){$+\infty$}\uput[u](4,0){$\frac{3}{2} + \ln 2$}
\rput(0.5,2.25){$h'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$+$}\rput(0.5,1){$h(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %En déduire le signe de $h(x)$ pour $x$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Le minimum de $h$ est donc $\frac{3}{2} + \ln 2 > 0$ car somme de deux nombres positifs.

Conclusion : sur $]0~;~+ \infty[,~h(x) > 0$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
On a $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} \dfrac{\ln (x)}{x} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} x = 0$, donc 

$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0}{x > 0}} f(x) = - \infty$.
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
On sait que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\ln (x)}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$, donc

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Montrer que pour tout $x > 0,~ f'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
$f$ somme de de quotients de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1\times \ln x}{x^2} + 2 = \dfrac{1 - \ln x + 2x^2}{x^2} = \dfrac{h(x)}{x^2}$.

Or on a vu que sur $]0~;~+ \infty[,~h(x) > 0$ et $x^2 > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc croissante sur $]0~;~+ \infty[$. D'où le tableau :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.2,2.5){$0$} %\uput[u](4,2.5){$\dfrac{1}{2}$}
\uput[u](6.5,2.5){$+\infty$}%\uput[u](4,0){$\frac{3}{2} + \ln 2$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(4,2.25){$+$} \rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.8,0.4)(6.2,1.6)\uput[u](1.4,0){$- \infty$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - 2x = \dfrac{\ln (x)}{x}$.
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty } \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty } d(x) = 0$, ce qui signifie que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
		\item %Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$.
Comme $x > 0$ et $\ln x > 0,~\dfrac{\ln (x)}{x} > 0$. La fonction $d$ est positive ce qui géométriquement signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de son asymptote pour tout réel positif non nul.
 	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
On a $M(x~ ;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(1) = f'(1)(x - 1) \iff y - (0 + 2) = \dfrac{1 - \ln 1 + 2\times 1^2}{1^2}(x - 1) \iff y - 2 = 3(x - 1) \iff y = 3x - 1.$ 
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$, et les droites $\mathcal{T}$ et $\Delta$ dans le repère \Oij.
Voir plus bas. 
\item %Soit $G$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
		$G$ est dérivable et sur  $]0~;~+\infty[$
		
		$G'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2 \times \ln x \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{x}$.
		
Donc $G$ est une primitive  sur $]0~;~+\infty[$ de  $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
		\item %Hachurer la partie du plan délimitée par les droites d'équation $x= 1,$
		
%$x = \text{e}$, la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.
Voir plus bas. 
		\item %Calculer, en cm$^2$, la valeur exacte de l'aire de cette partie hachurée.
On sait que sur $[1~;~\text{e}]$, la fonction $f$ est positive, donc l'aire (en unité d'aire) de la surface hachurée est égale à l'intégrale :
		
\[\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x =  \int_{1}^{\text{e}} (g(x) + 2x)\:\text{d}x = \left[G(x) + x^2 \right]_{1}^{\text{e}} = \]

\[G(\text{e}) + (\text{e})^2   - G(1) - 2 = \dfrac{1}{2}(\ln \text{e})^2 + (\text{e})^2 - \dfrac{1}{2}(\ln 1)^2 - 2 = \dfrac{1}{2} + (\text{e})^2 - 1 = 
\text{e}^2 - \dfrac{1}{2}.~(\text{u. a})\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-5)(11,10)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-5)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot{-1}{3}{3 x mul 1 sub}\uput[d](2.71828,0){e}\uput[d](1,0){1}
\uput[dl](0,0){O}\uput[l](3,8){$\mathcal{T}$}\uput[r](4.8,9.5){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.25}{4.8}{x ln x div x 2 mul add}
\psline(1,0)(1,2)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2.71828}{x ln x div x 2 mul add}
\psline(2.71828,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}