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%Tapuscrit  et corrigé Denis Vergès
% Sujet aimablement transmis par Karine Dulhoste 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique,\\ énergétique, civil}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2012}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]15 novembre 2012 Génie mécanique,énergétique, civil}}

 \end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%Le plan est rapporté au repère orthonormé \Ouv.
% 
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\C$ l'équation 

\[z^2 - 4z + 8 = 0.\]

$\Delta = 16 - 32 = - 16 = (4\text{i})^2$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \dfrac{4 + 4\text{i}}{2} = 2 + 2\text{i}$ et $z_2 = 2 - 2\text{i}$.
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %En prenant comme unité graphique 1~cm, représenter dans le plan les points A, B et C d'affixes respectives :
		 
\[z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = 2 - 2\text{i},\quad \text{et}\:\: z_{\text{C}} = 4.\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(2,2)(2,-2)(4,0)(1,1)(0,0)(-2,2)
\uput[ur](2,2){A} \uput[dr](2,-2){B} \uput[ur](4,0){C} \uput[dl](0,0){O}
\uput[ul](1,1){E}\uput[ul](-2,2){D}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](2,2)(0,0)(2,-2)(4,0)
\psline[linewidth=1.25pt](4,0)(-2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
 
		\item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 
$\bullet~~$$\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 2^2 + 2^2 = 8$, donc $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} = \text{OA}$ ;
$\bullet~~$$\left|z_{\text{b}} \right|^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$, donc $\left|z_{\text{B}}\right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} = \text{OB}$ 	
	
		\item %Démontrer que le triangle AOB est rectangle isocèle.
On a aussi $\text{AB}^2 = (2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2 = 16$, d'où $\text{AB} = 4$.

$\bullet~~$$\text{OA} = \text{OB} = 2\sqrt{2}$, donc OAB est isocèle en O.

$\bullet~~$$\text{OA}^2 + \text{OB}^2 = 8 + 8 = 16 = \text{AB}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OAB est rectangle en O.
		\item %Démontrer que le quadrilatère OBCA est un carré.
$\vect{\text{OB}}(2~;~- 2)$ et $\vect{\text{AC}}(4 - 2~;~0 - 2)$, donc $\vect{\text{OB}} = \vect{\text{AC}}$, ce qui montre que le quadrilatère OBCA est un parallélogramme.

Comme il a un angle droit, c'est un rectangle ; comme il a deux côtés consécutifs [OA° et [OB] de même longueur, c'est aussi un losange et finalement un carré.

	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit E le milieu du segment [OA] et D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{A}}$. 

%Démontrer que le point E est le milieu du segment [CD].
On a donc E(1~;~1).

$z_{\text{D}} = \text{i}z_{\text{A}}$ entraîne $z_{\text{D}} = \text{i}(2 + 2\text{i}) = - 2 + 2\text{i}$, donc D$(- 2~;~2)$.

Le milieu de [CD] a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{4 + (- 2)}{2}~;~\dfrac{0 + 2}{2} \right) = (1~;~1)$. On retrouve bien les coordonnées de E.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les cinq questions sont indépendantes. \\
%Pour chaque question, quatre réponses ou affirmations sont proposées, dont une seule est juste. Le candidat mentionnera le numéro de la question, et la lettre correspondant à la réponse juste. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une bonne réponse rapporte un point, l'absence de réponse ou une mauvaise réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
%On considère l'équation différentielle $y^{\prime \prime} + 4y = 0$, où $y$ désigne une fonction de variable réelle $x$ deux fois dérivable.
% 
%Une solution de cette équation est la fonction $f$ vérifiant, pour tout réel $x$ : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
%\textbf{A} : $f(x) = 4\text{e}^{-4x}$ &\textbf{B} : $f(x) = 4\text{e}^{2x}$\\ 
%\textbf{C} : $f(x) = 10\cos (2x) - 10\sin (2x)$ &\textbf{D} : $f(x) = 10 \cos (4x) - 10 \sin (4x)$ 
%\end{tabularx}
L'équation caractéristique $r^2 + 4 = 0$ a deux solutions $2\text{i}$ et $-2\text{i}$ ; on sait que la solution générale est de la forme $f(x) = A\cos 2x + B \sin 2x$ ; réponse C.
%\medskip

\medskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x + 1}$. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
% 
%Une expression de $f^{\prime}(x)$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}}
%\textbf{A} : $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3}$&\textbf{B} : $f^{\prime}(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x + 1}$\\
%\textbf{C} : $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{3x + 1}$ &\textbf{D} : $f^{\prime}(x) = (2x + 3) \text{e}^{3x+1}$ 
%\end{tabularx}
%\medskip 
On a $f'(x) = 2\text{e}^{3x + 1} + 3 \times (2x + 1)\text{e}^{3x + 1} = \text{e}^{3x + 1}(2 + 3(2x + 1)) = \text{e}^{3x + 1}(6x + 5)$ ; réponse B.

\medskip
 
\textbf{Question 3}

\medskip
 
%Un jeu est basé sur une expérience aléatoire et il permet de gagner ou de perdre de l'argent. La variable aléatoire $X$ qui représente ce gain (positif ou négatif) admet la loi de probabilité suivante.
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Valeurs de $X$& $- 5$ &$- 2$ &0 &1 &6\\ \hline 
%\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Probabilité &$\dfrac{3}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{15}{25}$ &$\dfrac{2}{25}$ &$\dfrac{3}{25}$\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $E(X) = - 5 \times \dfrac{3}{25} - 2 \times \dfrac{2}{25} + 0 \times \dfrac{15}{25} + 1 \times \dfrac{2}{25} + 6\times \dfrac{3}{25} = \dfrac{- 15 - 4 + 2 + 18}{25} = \dfrac{1}{25} > 0$ ; réponse C.
On considère que le jeu est favorable au joueur si l'espérance mathématique de la variable $X$ est strictement positive, équitable si elle est nulle, et défavorable au joueur si elle est strictement négative.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
\textbf{A} : le jeu est défavorable au joueur& \textbf{B} : le jeu est équitable\\ 
\textbf{C} : le jeu est favorable au joueur& \textbf{D} : on ne peut pas savoir 
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 4}

%\medskip 
%
%Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par $g(x) = x^2 + 1$. On fait tourner cette courbe autour de l'axe des abscisses. Cela engendre un solide de révolution dont le volume $V$, exprimé en unité de volume, est :
% 
%\[V = \pi  \int_{0}^1 [g(x)]^2\:\text{d}x.\]
% 
%La valeur exacte de $V$ est égale à : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A} : $\dfrac{4\pi}{3}$&\textbf{B} : $\dfrac{6\pi}{5}$&
%\textbf{C} : $4\pi$ &\textbf{D} : $\dfrac{28 \pi}{15}$
%\end{tabularx}
On a $[g(x)]^2 = \left(x^2 + 1 \right)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.

Donc $V = \pi \displaystyle\int_0^1 \left(x^4 + 2x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \pi\left[\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x \right]_0^1 = \pi\left(\dfrac{1^5}{5} + \dfrac{2 \times 1^3}{3} + 1\right) = \pi\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} + 1\right) = \pi \times \dfrac{3 + 10 + 15}{15} = \dfrac{28\pi}{15}$ ; réponse D.
\medskip 

\textbf{Question 5}

\medskip 

%Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle ]5~;~+ \infty[ dont la représentation graphique dans un repère du plan est notée $C$.
% 
%On suppose que $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x) = + \infty$. Ce résultat s'interprète ainsi : 
%
%\medskip
%
%\textbf{Réponse A} : la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $x = 5$. 
%
%\textbf{Réponse B} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote d'équation $y = 5$. 
%
%\textbf{Réponse C} : lorsque $x$ tend vers $+ \infty$, la courbe $C$ admet une asymptote oblique d'équation $y = 5x$. 
%
%\textbf{Réponse D} : la courbe $C$ admet au point d'abscisse $5$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 
Réponse A évidente.
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Exploitation d'informations graphiques}

%\medskip
% 
%On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par : 
%
%\[g(x) = ax + b + \text{e}^{- x},\]
%
%où $a$ et $b$ sont deux nombres réels que l'on va déterminer dans cette partie.
% 
%On donne les renseignements graphiques suivants sur la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère d'axes (O$x$) et (O$y$) :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item le point A de coordonnées (0~;~4) appartient à cette courbe représentative;
%\item la tangente à cette courbe au point d'abscisse $0$ est parallèle à l'axe des abscisses.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À partir des renseignements précédents, donner la valeur de $g(0)$ ainsi que celle du nombre dérivé $g'(0)$.
A(0~;~4) appartient à la courbe représentative, donc $g(0) = 4$.

Le coefficient directeur de la tangente en A est le nombre dérivé $f'(0)$. Il est nul, donc $f'(0) = 0$.

\item %Déterminer la valeur du nombre $b$ en utilisant la question 1.
$g(0) = 4 = b + \text{e}^{- 0} = b + 1$, d'où $b = 3$.
\item %Pour tout réel $x$, calculer $g'(x)$ en fonction de $a$. En déduire la valeur du nombre $a$.
On a $g'(x) = a - \text{e}^{- x}$.

Or $g'(0) = 0$ signifie $a - 1 = 0$, d'où $a = 1$.

On a donc $g(x) = x + 3 + \text{e}^{- x}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : 
%
%\[f(x) = x + 3 + \text{e}^{- x}.\]
% 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		On remarque que $f(x) = g(x)$.
		
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x + 3 = + \infty$, donc par somme de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x + 3$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
On a $f(x) - (x + 3) = \text{e}^{- x}$, donc d'après le résultat précédent $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(f(x) - (x + 3)) = 0$ ; ce résultat signifie que la droite $\mathcal{D}$ dont une équation est $y = x + 3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
	
%Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
Comme $f(x) - (x + 3) = \text{e}^{- x}$ et que cette dernière expression est supérieure à zéro quel que soit le réel $x$, ceci signifie que la courbe est au dessus de son asymptote $\mathcal{D}$ quel que soit $x$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout réel $x$, démontrer l'égalité : $f(x) = \text{e}^{- x}\left(1 + x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x}\right)$.
On a $f(x) = x + 3 + \text{e}^{- x} = x\text{e}^{- x} \times \text{e}^{x} + 3 \text{e}^{- x} \times \text{e}^{x}+ \text{e}^{- x}$ et en factorisant $\text{e}^{- x}$  :

$f(x) = \text{e}^{- x}\left[x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x} + 1 \right] = \text{e}^{- x}\left(1 + x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x}\right)$.
		\item %En déduire la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^{x} = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} 3\text{e}^{x} = 0$ et par somme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 + x\text{e}^x + 3\text{e}^x = 1$.

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{- x} = + \infty$, d'où par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{- x}\left(1 + x\text{e}^{x} + 3\text{e}^{x}\right) = + \infty$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout réel $x$, démontrer que $f'(x) = 1 - \text{e}^{- x}$, puis étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
On a $f'(x) = g'(x) = 1 - \text{e}^{- x}$.

$\bullet~~$On a $1 - \text{e}^{- x} > 0$ si $1 > \text{e}^{- x}$ soit en prenant le logarithme $0 > - x$ ou $x > 0$ ;

$\bullet~~$On a $1 - \text{e}^{- x} < 0$ si $1 < \text{e}^{- x}$ soit en prenant le logarithme $0 < - x$ ou $x < 0$ ;

$\bullet~~$On a $1 - \text{e}^{- x} = 0$ si  $x = 0$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
		La fonction $f$ est donc décroissante sur $\R^{-}$ de plus l'infini à $f(0) = 3 + 1 = 4$, puis croissante sur $\R^{+}$ de 4  à plus l'infini.
	\end{enumerate}
\item %Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$ et son asymptote $\mathcal{D}$ dans le même repère. On prendra pour unité 1~cm sur chacun des axes.
Voir à la fin.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Existe-il une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à l'asymptote $\mathcal{D}$ ?
L'asymptote $\mathcal{D}$ a pour coefficient directeur 1 ; il faut donc résoudre l'équation :

$f'(x) = 1$ soit $1 - \text{e}^{- x} = 1$. Or on sait que $\text{e}^{- x}$ n'est jamais nul quel que soit le réel $x$ ; il n'y a donc pas de tangente à la courbe $\mathcal{C}$ parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
Une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est :

$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 3x - \text{e}^{- x}$.
\item %Hachurer le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. On note $\mathcal{A}$ l'aire de ce repère, exprimée en unité d'aire.
Voir à la fin.
\item %Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis donner sa valeur arrondie au mm$^2$.
On sait que sur $\R$, \: $f(x) \geqslant 4 > 0$, donc l'aire $\mathcal{A}$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x = [F(x]_1^3 = F(3) - F(1) = \dfrac{3^2}{2} + 3\times 3 - \text{e}^{- 3} - \left(\dfrac{1^2}{2} + 3\times 1  - \text{e}^{- 1} \right) = \dfrac{9}{2} + 9 - \dfrac{1}{2} - 3 - \text{e}^{- 3} + \text{e}^{- 1} = 10 - \text{e}^{- 3} + \text{e}^{- 1} \approx 10,318$, soit $10,32$~cm$^2$ au mm$^2$ près. (Ce résultat peut se contrôler graphiquement)
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,0)(4,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,0)(4,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{4}{x 3 add}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{x 3 add 2.71828 x neg exp add}
\psline(3,0)(1,0)
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.223}{4}{x 3 add 2.71828 x neg exp add}
\uput[l](-2,8.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ul](-2,1){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}