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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie civil Métropole juin 2004~\decofourright}}

%\vspace{0,5cm}
%
%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
%
%Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, d'unité graphique $2$~cm.
%
%Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument  $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} 
\item %Soit trois nombres complexes 

%\[z_1 = \sqrt{3} +  \text{i} \qquad ;\qquad z_2 =  \dfrac{z_1^2}{2} \qquad \text{et} \quad  z_3 = \dfrac{4}{z_2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_1$.
On a $\left|z_1  \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_1  \right| = 2$.

On peut en factorisant écrire $z_{1} = 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\text{i}  \right) = 2 \left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{1}$ est donc : $\dfrac{\pi}{6}$ 
		\item %Écrire sous la forme $a + b\text{i}$ les complexes $z_2$ et $z_3$.
$z_{2} = \dfrac{z_1^2}{2} = \dfrac{3 - 1 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
		
$z_{3} = \dfrac{4}{z_2} = \dfrac{4}{1 + \text{i}\sqrt{3}} = \dfrac{4\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)}{\left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)} = \dfrac{4\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)}{1 + 3} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\item %Soit quatre nombres complexes 

%\[z_{\text{A}} = \sqrt{3} +  \text{i},~ z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{C}}= - \sqrt{3} + \text{i} \quad \text{et} \quad z_{\text{D}} = 1 -\text{i}\sqrt{3}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
On a vu que $z_{\text{A}} = 2$ ; d'autre part $\left|z_{\text{B}}  \right|^2 = \left|z_{\text{D}}  \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{B}}  \right| = \left|z_{\text{D}}  \right| = 2$.

Enfin $\left|z_{\text{C}}  \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{C}}  \right| = 2$.

On a donc OA = OB = OC = OD $= 2$ ce qui montre que les points A, B, C et D  sont sur le cercle de centre O et de rayon $2$.
%Tracer le cercle dans le plan complexe et placer les points A, B, C et D.
Voir la figure à la fin.
		\item Calculer $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|$ et  
$\left|z_{\text{D}} - z_{\text{A}}\right|$.
		\item %Calculer les affixes des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ ; vérifier que $\vect{\text{CD}} = -\left(\sqrt{3} + 2\right)\vect{\text{AB}}$.
L'affixe de $\vect{\text{AB}}$ est $z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3} - \left(\sqrt{3} +  \text{i} \right) = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)$.

De m\^eme l'affixe de $\vect{\text{CD}}$ est $z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = 1 -\text{i}\sqrt{3} - \left(- \sqrt{3} + \text{i} \right) = 1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(- 1 - \sqrt{3}\right)$.

Calculons : $-\left(\sqrt{3} + 2\right)\vect{\text{AB}} = -\left(\sqrt{3} + 2\right)\left[1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right)  \right] = $

$- \sqrt{3} + 3 - 2 + 2\sqrt{3} + \text{i}\left(- 3 + \sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} \right) = 1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(- 1 - \sqrt{3} \right) = z_{\text{D}} - z_{\text{C}}$.

L'égalité est ainsi démontrée.

\textbf{Autre méthode :} On peut aussi écrire :

$z_{\text{B}} - z_{\text{A}}  = \left(1 - \sqrt{3} \right)(1 - \text{i})$ et 

$z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)(1 - \text{i})$.

On a donc  $\vect{\text{CD}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\vect{\text{AB}} = - \left(\sqrt{3} + 2 \right)\vect{\text{AB}}$.
		\item %Indiquer si les propositions suivantes sont justes ou fausses ; justifier vos réponses.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] AD = BC ;
%\item[$\bullet~~$] CD =  3AB ;
%\item[$\bullet~~$] ABCD est un trapèze isocèle.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
La question précédente montre en prenant le module que AD $ = \left(\sqrt{3} + 2 \right)\text{AB}$. La première égalité est donc fausse, de m\^eme que la seconde puisque $\sqrt{3} + 2 \neq 3$.

L'affixe du vecteur $\vect{\text{AD}}$ est $z_{\text{D}} - z_{\text{A}} = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(- 1 - \sqrt{3}\right)$. Donc 

AD$^2  = \left(1 - \sqrt{3} \right)^2 + \left(- 1 - \sqrt{3} \right)^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1 + 3 + 2\sqrt{3} = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2$.

L'affixe du vecteur $\vect{\text{BC}}$ est $z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = - 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$. Donc 

BC$^2  = \left(- 1 - \sqrt{3} \right)^2 + \left(1 - \sqrt{3} \right)^2 = 1 + 3 + 2\sqrt{3} + 1 + 3 - 2\sqrt{3} = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2$.

On a donc AD = BC = $2\sqrt{2}$.

Or on a vu que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$ sont colinéaires ce qui signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Conclusion : le quadrilatère ABCD est un trapèze isocèle. La dernière proposition est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.25,-2.25)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psdots(2;30)(2;60)(2;150)(2;-60)
\pspolygon(2;30)(2;60)(2;150)(2;-60)
\uput[ur](2;30){A}\uput[ur](2;60){B}\uput[ul](2;150){C}\uput[dr](2;-60){D}
\uput[dl](0,0){O}

\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la 
%manière suivante :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de $5$~\euro{} ;
%\item[$\bullet~~$] le tarif pour un jeune âgé de 11 à $16$~ans est de $8$~\euro{} ;
%\item[$\bullet~~$]dans les autres cas le tarif est de $10$~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%De plus, tout membre de l'association bénéficie d'une réduction de $20\,\%$  appliquée au tarif le concernant. Ainsi, un membre âgé de 11 à 16 ans 
%paiera $6,40$~\euro.
% 
%Les participants au repas, au nombre de $600$, sont répartis
%selon le tableau ci-dessous :
%
%\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}}\hline
%Participant& 10 ans ou moins& entre 11 et 16 ans& plus de 16 ans& 	Total
%\\ \hline
%membre		&50		&40		&110	&200\\ \hline
%non-membre	&110	&100	&190 	&400\\ \hline
%Total		&160	&140	&300	&600\\ \hline
%\end{tabularx} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

%On choisit au hasard une personne ayant participé au repas.

\begin{enumerate} 
\item %Quelle est la probabilité qu'elle soit membre de l'association ?
Il y a 200 membres sur 600 participants, donc la probabilité est égale à 

$\dfrac{200}{600} = \dfrac{1}{3}$.
\item %Quelle est la probabilité qu'elle paye plus de $7$~\euro ?
Payent plus de 7~\euro :

- les jeunes entre 11 et 16 ans non-membre : il y en  a 100 ;

- les plus de 16 ans membres (payant 8~\euro) et non-membres (payant 10~\euro) : il y  en a  300.

En tout 400 personnes sur 600 paient plus de $7$~\euro soit une probabilité de 

$\dfrac{400}{600} = \dfrac{2}{3}$.
\item %On considère la variable aléatoire $X$ égale au prix du repas pour un  participant choisi au hasard. Vérifier que la probabilité pour que $X$ prenne la valeur $6,40$ est égale à $\dfrac{1}{15}$.
Seuls les membres entre 11 et 16 ans paient 6,40~\euro ; il y en a 40 sur 600, donc $p(X = 6,40) = \dfrac{40}{600} = \dfrac{4}{60} = \dfrac{1}{15}$.
\item %Déterminer les valeurs prises par $X$, puis donner la loi de probabilité de $X$.
Pour les non-membres le prix est respectivement 5, 8 ou 10~\euro{} et pour les membres respectivement 4, 6,40 et 8~\euro. Donc $X \in\{4~;~5~;~6,40~;~8~;~10\}$.

D'où le tableau de la loi de probabilité de $X$ suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&4&5&6,40&8&10\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{50}{600}$&$\dfrac{110}{600}$&$\dfrac{40}{600}$&$\dfrac{210}{600}$&$\dfrac{190}{600}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item %Déterminer l'espérance mathématique de $X$, notée E($X$)(calculer la valeur exacte sous forme de fraction, puis une valeur décimale approchée à $0,01$ près).
On a e$(X) = 4 \times \dfrac{50}{600} + 5 \times \dfrac{110}{600} + 6,4 \times \dfrac{40}{600} + 8 \times \dfrac{210}{600} + 10 \times \dfrac{190}{600} = $

$\dfrac{200 + 550 + 256 + \np{1680} + \np{1900}}{600} = \dfrac{\np{4586}}{600} \approx 7,64$~\euro{} à 1 centime près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%Calculer la recette totale perçue par l'association à l'occasion de ce repas.
La recette a déjà été calculée :

$4 \times 50+ 5 \times 110 + 6,4 \times 40 + 8 \times 210 + 10 \times 190 = 200 + 550 + 256 + \np{1680} + \np{1900}= \np{4586}$~\euro.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

%\medskip
%
%Soit  $f$ la  fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$  par
%
%\[f(x) =  -x + \ln (2x + 2) - \ln (x + 2).\]
%
%On appelle ($\mathcal{C}$) la courbe représentative 
%de la fonction $f$ dans un repère orthogonal ($4$~cm pour une unité en abscisses et $8$~cm pour une unité en ordonnées).

\vspace{0,3cm}

\textbf{Préliminaires :}

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que sur $]-1~;~+ \infty[,\,(2x + 2)  > 0$ et $(x + 2) > 0$.
On a $- 1 < x \Rightarrow -2 < 2x \Rightarrow -2 + 2 < 2x + 2$, soit $2x + 2 > 0$.

De m\^eme $- 1 < x \iff - 1 + 2 < x + 2 \iff 1 < x + 2$ ou $x + 2 > 1 > 0$.
\item %Étudier le signe de $x^2 + 3x + 1$ sur $\R$ et en déduire que sur $]-1~;~+ \infty[,\,x^2 + 3x + 1$ s'annule pour une et une seule valeur $a$ dont on donnera la valeur exacte.
Cherchons les racines de ce trinôme : $\Delta = 9 - 4 = 5 > 0$ ; il y a donc deux racines réelles : $\dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$.

Le trinôme est donc positif sauf entre les racines donc dans l'intervalle

$\left]\dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2}~;~\dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2}\right[$.
Or $\dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \approx - 2,6$ et  $\dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \approx - 0,4$. Seul ce dernier nombre est supérieur à $- 1$, donc le trinôme ne s'annule sur $]-1~;~+ \infty[$ que pour $\alpha = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A : Limites et asymptotes}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - 1} f(x)$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
On a $\displaystyle\lim_{x \to - 1} \ln (x + 2) = 0$, car $\displaystyle\lim_{x \to - 1} (x + 2) = 1$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - 1} 2x + 2 = 0,\,\displaystyle\lim_{x \to - 1} \ln (2x + 2) = - \infty$, donc par somme de limites :

\[\lim_{x \to - 1} f(x) = - \infty.\]

Géométriquement ceci signifie que la droite d'équation $x = - 1$ est asymptote verticale à ($\mathcal{C}$) au voisinage de $- 1$.

\item
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = - x + \ln  2 + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right)$.
On a $f(x) = - x + \ln (2x + 2) - \ln (x + 2) = -x + \ln 2(x + 1) - \ln (x + 2) =$

$- x + \ln 2 + \ln (x + 1) - \ln (x + 2) = - x + \ln 2 + \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2} \right)$. (on a utilisé les formules $\ln a \times b = \ln a + \ln b$ et $\ln a - \ln b = \ln \dfrac{a}{b}$ avec $a > 0$ et $b > 0$.)
		\item %Déterminer alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
Pn a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x + 1}{x + 2} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{x + 1}{x + 2} \right) = 0$.

Comme 	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - x = - \infty$, on a par somme de limites :

\[\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty.\]	
		\item %Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + \ln (2)$ est asymptote oblique à ($\mathcal{C}$) en $+ \infty$.
Soit $d$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par : 
		
$d(x) = f(x) - (- x + \ln 2) = \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right)$.

On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right) = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}d(x) = 0$.

Ceci signifie que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + \ln (2)$ est asymptote oblique à ($\mathcal{C}$) en $+ \infty$.
		\item %Déterminer la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à la droite $\mathcal{D}$ sur $]-1~;~+ \infty[$.
Pour $x > - 1$	on $ 0 < x + 1 < x + 2$ d'où $0 < \dfrac{x + 1}{x + 2}< 1$ et par croissance de la fonction $\ln$, on a $ \ln \left(\dfrac{x + 1}{x + 2}\right) < \ln 1 = 0$.

La fonction $d$ est donc négative sur $]-1~;~+ \infty[$ ce qui signifie que la courbe ($\mathcal{C}$) est en dessous de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : étude des variations}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer que $f'(x) = - \dfrac{x^2 + 3x + 1}{(x + 1) (x + 2)}$.
On a en dérivant chaque terme :

$f'(x) = - 1 + \dfrac{2}{2x + 2}- \dfrac{1}{x + 2} = - 1 + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{-(x + 1)(x + 2) + x + 2 - (x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{-x^2 - 2x - x - 2 + x + 2 - x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{-x^2 - 3x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = - \dfrac{x^2 + 3x + 1}{(x + 1)(x + 2)}$.
\item %À l'aide des résultats obtenus dans les préliminaires, étudier le signe de $f'$ sur $]-1~;~ + \infty[$.
On sait que sur $]-1~;~ + \infty[,\, (x + 1)(x + 2) > 0$, donc le signe de la dérivée est celui de $-(x^2 + 3x + 1)$ c'est-à-dire l'opposé du signe du trinôme étudié ci-dessus. Donc :

$\bullet~~$ sur $\left]- 1~;~\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}\right],\, f'(x) \geqslant 0$, donc $f$ est croissante ;

$\bullet~~$ sur $\left[\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}~;~+ \infty\right[,\, f'(x) \leqslant 0$, donc $f$ est décroissante.

\item %Construire le tableau de variations de la fonction $f$ (on se contentera d'une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de l'extremum de $f$).
Il y a un maximum en $\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}$ qui vaut $f\left(\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2} \right) \approx 0,1$.

D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.5)
\psframe(8,3.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.2,2.5){$-1$} \uput[u](5,2.4){$\footnotesize \dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}$} \uput[u](7.6,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) 
\uput[u](2.5,0){$-\infty$} \uput[u](7.5,0){$-\infty$}
\uput[d](5,2){$\approx 0,1$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie C : Représentation graphique}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Justifier que l'équation $f(x) =  0$ admet, dans l'intervalle $[- 0,8~;~- 0,4]$, une solution unique notée $b$.
Sur $[- 0,8~;~- 0,4]$ la fonction $f$ est dérivable et sur cet intervalle $f'(x) \geqslant 0$ ; or $f(- 0,8) \approx - 0,3$ et $f(-0,4) \approx 0,1$.

Comme $0 \in [-0,3~;~0,1]$, il existe une valeur unique $\beta$ telle que $f(\beta) = 0$. 

%Donner un encadrement de $b$ à $10^{-2}$ près de $\beta$.
La calculatrice donne $-0,65 < \beta < - 0,64$.
\item %Déterminer une équation de la droite T tangente à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $0$.
Une équation de la droite T est de la forme : 

$y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, soit avec $f'(0) = - \dfrac{1}{2}$ et $f(0) = 0$ :

$M(x~;~) \in \text{T} \iff y = - \dfrac{1}{2}x$.
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant : (on donnera les résultats arrondis à $10^{-1}$ près) :

\[ \renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		& $-0,8$&$\dfrac{\sqrt{5} - 3}{2}$	&0	& 0,5	& 1	& 2\\ \hline
$f(x)$	&$- 0,3$					&0,1	&0	&$- 0,3$&$-0,7$	&$-1,6$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item ~%Représenter graphiquement la droite T, les asymptotes et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-5)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.5pt](-1,-5)(-1,3)
\psplot{-3}{5}{x 0.5 mul neg}
\psplot{-2.32}{5}{2 ln x sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.998}{5}{x 2 mul 2 add ln  x 2 add ln  sub  x sub}
\uput[dl](5,0){$x$}\uput[dl](0,3){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](4.5,-4){$(\mathcal{C})$}\uput[ur](-1.6,2.5){D}\uput[dl](-2,1){T}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}