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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie  civil, mécanique~\decofourright\\[4pt]Métropole 21 juin 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%\parbox{0.75\linewidth}{On considère le puzzle représenté ci-contre. Il est constitué de 3 pièces :
%le triangle AEF et les quadrilatères AEBO et AFCO, découpés dans le triangle OBC.\\ 
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm, fourni en annexe 1. On note i le nombre complexe 
% de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}}\hfill
%\parbox{0.22\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(0,-1.5)(3,1.5)
%\psdots(0,0)(1,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
%\psline(0,0)(2.2,-1.3)(2.2,1.3)(0,0)(1,0)
%\pspolygon(1,0)(2.2,-0.65)(2.2,0.65)
%\uput[u](0,0){O} \uput[u](1,0){A} \uput[r](2.2,1.3){B} 
%\uput[r](2.2,-1.3){C} \uput[r](2.2,0.65){E} \uput[r](2.2,-0.65){F} 
%\end{pspicture}}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue complexe z : 

\[z^2 - 8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

On calcule le déterminant : $\Delta = \left( 8\sqrt{3} \right)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 3 \times 64 - 4 \times 64 = - 64 = (8\text{i})^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \frac{8\sqrt{3} + 8\text{i}}{2} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}\quad \text{et}\quad z_{2} = 4\sqrt{3} - 4\text{i}.\]
 
\item %On considère les points B et C d'affixes respectives $z_{\text{B}} = 4\sqrt{3} + 4\text{i}$ et z_{\text{C}} = 4\sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $z_{\text{B}} = 8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		On a  $8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = 8\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i} \sin \frac{\pi}{6} \right) = 8\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2} \right) = 4\sqrt{3} + 4\text{i} = z_{\text{B}} = z_{1}$.
		\item %En déduire une écriture exponentielle du nombre complexe $z_{\text{C}}$.
On a  $z_{\text{C}} = z_{2} = \overline{z_{1}} = \overline{z_{\text{B}}} = \overline{8\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}} = 8\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item %Placer précisément les points B et C dans le repère défini précédemment.
$z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont pour module 8 et pour parties imaginaire 4 et $- 4$, leurs parties réelles étant positives ; B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 8 et respectivement aux droites d'équation $y = 4$ et $y = - 4$. Voir l'annexe 1
		\item %Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
On sait déjà que $\text{OB} = \left|z_{\text{B}} \right| = 8$ et $\text{OC} = \left|z_{\text{C}} \right| = 8$.

De plus $\text{BC} = \left|z_{\text{C}} -  z_{\text{B}}\right| = \left|4\sqrt{3} - 4\text{i} - \left(4\sqrt{3} + 4\text{i} \right) \right| = |- 8\text{i}| = 8$.

Donc OB = OC = BC = 8 : le triangle OBC est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item %Le point A a pour coordonnées (3~;~0). Le point D a pour coordonnées $\left(4\sqrt{3}~;~0)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire les affixes des points $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$ des points A et D.
$z_{\text{A}} = 3$ et $z_{\text{D}} = 4\sqrt{3}$.  
		\item %Calculer les affixes du point E milieu du segment [BD] et du point F milieu du segment [CD].
On a  $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left(z_{\text{B}} + z_{\text{D}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(4\sqrt{3} + 4\text{i} + 4\sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3} + 2\text{i}$.

De même on obtient $z_{\text{F}}  = 4\sqrt{3} - 2\text{i}$.
		\item %Placer les points A, D, E et F dans le repère figurant en annexe 1.
$z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}}$ ont  même partie réelle. D est donc le projeté orthogonal de B sur l'axe des abscisses.

$z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ ont aussi la même partie réelle $4\sqrt{3}$ ; on les construit grâce à leurs parties imaginaires (reps. 2 et $- 2$). Voir l'annexe 1.
		\item %Calculer l'aire exacte, en cm$^2$, du triangle AEF.
On sait que B et C sont symétriques autour du point D ; donc DB = DC = 4. Par suite DE = DF = 2 et comme (AD) est perpendiculaire à (EF), la droite (AD) est à la fois hauteur et médiane du triangle AEF, ce triangle est isocèle en A.

Son aire est donc égale à $\dfrac{\text{EF} \times \text{AD}}{2} = \dfrac{4 \times \left(4\sqrt{3} - 3 \right)} = 2\left(4\sqrt{3} - 3 \right) = 8\sqrt{3} - 6$.		
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
%Quelles sont les valeurs exactes, en cm$^2$, des aires des deux autres pièces du puzzle ?
OBC est équilatéral ; son aire est donc égale à  $\dfrac{\text{BC} \times \text{OD}}{2} = \dfrac{8 \times 4\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$.

L'aire des deux quadrilatères est donc égale à la différence des aires des deux triangles isocèles OBC et AEF soit $16\sqrt{3} - \left(8\sqrt{3} - 6 \right) = 8\sqrt{3} + 6$.

La figure ayant pour axe de symétrie l'axe des abscisses, les deux quadrilatères OAEB et OCFA ont la même aire soit $\dfrac{8\sqrt{3} + 6}{2} = 4\sqrt{3} + 3$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Un puzzle est constitué de trois pièces: un triangle et deux quadrilatères. 
%
%Un forain propose le jeu suivant utilisant six boîtes :
% 
%Trois boîtes parmi les six contiennent une et une seule pièce de ce puzzle, les autres restant vides. 
%
%Une partie consiste :
%\begin{itemize}
%\item à placer les six boîtes au hasard sur un plateau; 
%\item à demander au joueur de choisir une boîte parmi les six.
%\end{itemize}
% 
%Le jeu nécessite une mise de 2 euros. Il consiste à ouvrir une boîte au hasard parmi les six. 
%\begin{itemize}
%\item Si le joueur trouve la pièce triangulaire on lui remet 5 euros: son gain relatif est alors de 3 
%euros. 
%\item Si le joueur trouve une autre pièce on lui remet 3 euros. 
%\item Si la boîte est vide on ne lui remet rien.
%\end{itemize}
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la variable aléatoire $X$ qui prend comme valeurs les gains relatifs du jeu précédent, c'est-à-dire la somme reçue (éventuellement nulle) moins la mise de 2~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
	$X \in \{2~;~1~;~- 2\}$ (si le joueur trouve respectivement le triangle, un quadrilatère ou rien). 
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
Le tableau de la loi de probabilité de la variable $X$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&3&1&$- 2$\\ \hline
$p_{i}$&$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{2}{6}$&$\dfrac{3}{6}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item %Montrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $- \dfrac{1}{6}$. Interpréter le résultat obtenu.
		On a E$(X) = 3 \times \dfrac{1}{6} + 1 \times \dfrac{2}{6} - 2 \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{3 + 2- 6}{6} = - \dfrac{1}{6}$.
		
	Ce résultat signifie que sur un grand nombre de parties le joueur perdra en moyenne $\dfrac{1}{6}$ d'euro soit environ 17 centimes, ou encore 1~\euro{} toutes les six parties. 
		\item %Le forain paie 45~euros par jour pour la location de son emplacement. Trouver le nombre minimum de parties qu'il doit organiser chaque jour en moyenne pour espérer ne pas perdre d'argent.
Le forain doit gagner dans la journée au moins 45~\euro. Comme il gagne en moyenne $\dfrac{1}{6}$~\euro{} par parties il devra donc organiser au moins $\dfrac{5}{\frac{1}{6}} = 45 \times 6 = 270$~parties.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même si elle est incomplète, toute prise d'initiative, même si elle n'aboutit pas, sera prise en compte.}
 
%Un joueur prétend qu'il peut modéliser ce jeu à l'aide d'un dé cubique équilibré. Proposer un modèle correspondant à son affirmation.
Vous misez 2~\euro. Vous lancez un dé équilibré :

- si le 6 sort, vous gagnez 5~\euro ;

- si un autre nombre pair sort (2 ou 4) vous gagnez 3~\euro ;

- si un nombre impair sort, vous ne gagnez rien. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Vérifier que la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 
%
%\[g(x) = 2\text{e}^{- 0,1x}\]
% 
%est solution de l'équation différentielle $y^{\prime} + 0,1y = 0$ où $y$ désigne une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur [0~;~3].
Pour tout réel $g$ est dérivable et $g^{\prime}(x) = - 0,1 \times 2\text{e}^{- 0,1x} = -0,2\text{e}^{- 0,1x}$.

On calcule :

$g^{\prime}(x)  + 0,1g(x) = - 0,2\text{e}^{- 0,1x} + 0,1 \times 2\text{e}^{- 0,1x} = 0$

Donc la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle.
 
%On a tracé $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe (2). 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre $x$ réel de l'intervalle $[-2~;~0]$, par 
%
%\[f(x) = 2 \ln (\text{e} + x),\]
% 
%où e est le nombre réel tel que $ln(\text{e}) = 1$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer, en détaillant les calculs, que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~0]$, la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ est définie par 
En posant $u(x) = \text{e} + x$, $f(x) = 2\ln u(x)$ a pour fonction dérivée :

$f^{\prime}(x) = \dfrac{2u^{\prime}(x)}{u(x)} = \dfrac{2 \times 1}{\text{e} + x} = 
\dfrac{2}{\text{e} + x}.$
 
		\item %Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
		Comme $2 > 0$, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui du dénominateur $\text{e} + x$. Or :
		
$\text{e} + x > 0 \iff x > - \text{e}$, ce qui est vrai puisque $x \geqslant - 2$. La dérivée est donc positive : la fonction $f$ est croissante sur $[-2~;~0]$ de $f(- 2) = 2 \ln (\text{e} - 2) \approx - 0,66$ à 2 \ln (\text{e}) = 2$.
	\end{enumerate} 
\item %Établir, par la méthode de votre choix, que le nombre réel $1 - \text{e}$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[-2~;~0]$.
Dans $[-2~;~0]$,  $f(x) = 0 \iff 2 \ln (\text{e} + x) = 0 \iff \ln \left (\text{e} + x\right)  ^2 = \ln 1 \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien $(\text{e} + x\right)^2 = 1\iff \text{e} + x = 1 \:\:\text{ou}\:\: \text{e} + x = - 1$, soit finalement :

x = 1 - \text{e}\:\: \text{ou} x = - 1 - \text{e}$.

Or $- 1 - \text{e} \approx - 3,7 \notin [- 2~;~0]$.

L'équation a une solution unique dans $[- 2~;~0]$ : $1 - \text{e}$. 

\emph{Autre méthode} : sur $[- 2~;~0]$ la fonction $f$ est strictement croissante de $2 \ln (\text{e} - 2) < 0$ à $2 > 0$. Il existe donc un  unique réel de $[- 2~;~0]$ qui annule $f$.

Or $f(1 -  \text{e}) = 2\ln (\text{e} + 1 - \text{e}) = 2\ln 1 = 2 \times 0 = 0$.

La solution unique est donc bien $1 - \ln \text{e}$.
\item %Dans le repère \Oij, on a placé le point A$(- \text{e}~;~0)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe représentative de la fonction $f$ en B, son point d'abscisse $0$.
		Une  équation de la tangente est :
		
$M(x~;~y) \in (T) \iff y - f(0) = f^{\prime}(0)(x - 0)$
		
Avec $f(0) = 2\ln (\text{e}) = 2\times 1 = 2$ et $f^{\prime}(0) = \dfrac{2}{\text{e} + 0} = \dfrac{2}{\text{e}}$ l'équation devient :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - 2 = \dfrac{2}{\text{e}}(x - 0) \iff y = \dfrac{2}{\text{e}}x + 2$. 
		\item %Vérifier que le point A appartient à $\mathcal{T}$.
$\text{A}(- \text{e}~;~0) \in (T) \iff  0 = \dfrac{2}{\text{e}}\times (- \text{e}) + 2 \iff 0 = - 2 + 2$ qui est bien vraie. Donc A $ \in [T)$.
		\item %	Tracer précisément $\mathcal{T}$.
La tangente est la droite (AB). 
		\item %On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1 - \text{e}~;~0]$ dans le repère \Oij{} orthonormal d'unité graphique 2~cm donné en annexe 2. Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
		Voir l'annexe 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Hachurer la partie $P$ du plan limitée par la réunion des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = 3$.
%
 
%Représenter sur votre copie l'allure du solide $S$ engendré par la rotation de la partie hachurée $P$ autour de l'axe des abscisses. 
Voir l'annexe 2.
\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip
 
%On rappelle que le volume $V$ du solide engendré par la rotation autour de l'axe (O$x$) de la partie du plan limitée par la courbe représentative d'une fonction $h$, l'axe (O$x$) et les droites d'équations $x = a$ et $x = b\: (a < b)$ est 

%\[V = \pi \int_{a}^b (h(x))^2\:\text{d}x\quad  \text{unités de volume.}\]

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit: 

%\[I = \int_{1 -\text{e}}^0 (f(x))^2\:\text{d}x.\]

%On admet que $I = 4\text{e} - 8$. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $I$.
La calculatrice livre  $I = 4\text{e} - 8 \approx \np{2,8731} \approx 2,873$ à $10^{-3}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la fonction $H$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~3], par 

%\[H : x \longmapsto  H(x) = - 20\text{e}^{-0,2x}\]
 
%est une primitive de la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~3J associe $(g(x))^2$.
$H$ est dérivable sur $\R$ et en particulier sur [0~;~3] :

$H^{\prime}(x) = - 0,2 \times (- 20) \text{e}^{-0,2x} =  4\text{e}^{-0,2x} = 2^2 \times \left(\text{e}^{-0,1x} \right)^2 = \left[2\text{e}^{-0,1x}  \right]^2 = [g(x)]^2$.

Donc $H$ est une primitive de la fonction qui à tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~3J associe $(g(x))^2$.
		\item %On note 

%\[J = \int_{0}^3 (g(x))^2\:\text{d}x.\]

%Montrer que $J = 20 \left(1 - \text{e}^{-O,6}\right).\]
D'après le résultat précédent :

$J = \left[H(x)]_{0}^3 = H(3) - H(0) =  - 20\text{e}^{-0,2 \times 3} + 20\text{e}^{-0,2 \times 0} = - 20\text{e}^{-0,6} + 20 = 20 \left(1 - \text{e}^{-O,6}\right)$.
		\item %Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $J$.
		La calculatrice donne $J \approx \np{9,0237} \approx 9,024$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Cette question est à choix multiples (QCM). Une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
%Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. Indiquer sur la copie la réponse choisie.}
 
%Dans le tableau ci-dessous, parmi les quatre réponses proposées pour le volume en cm$^3$ du solide $S$, une seule est valable, laquelle ? Expliquer votre choix. 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Réponse A & Réponse B & Réponse C & Réponse D\\ \hline\hline
%12 &285 &299 &37\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
En décomposant en deux volumes on a :

$V = \pi\int_{1 - \text{e}}^0 [f(x)]^2\:\text{dx} + \pi \int_{0}^3 [g(x)]^2\:\text{d}x = \pi \times I + \pi \times J = \pi (I + J) \approx 3,141 \times (2,873 + 9,024) \approx 37,38$ unités d'aire soit environ 37 cm$^2$.

Réponse D.
\end{enumerate}

\newpage
{\large\textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6.5)(9,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-6.5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-6.5)(9,7)
\uput[d](8.8,0){$x$}\uput[l](0,6.8){$y$}
\pscircle(0,0){8}\psline(-3,4)(9,4)\psline(-3,-4)(9,-4)
\uput[ur](8;30){B}\uput[dr](8;-30){C}\uput[ul](3,0){A}\uput[ur](6.9282,0){D}
\psline(6.9282,6)(6.9282,-6)
\psline(-3,2)(6.9282,2) \psline(-3,-2)(6.9282,-2)
\uput[ur](6.9282,2){E} \uput[dr](6.9282,-2){F} \uput[dl](0,0){O}
\psline(8;30)(0;0)(8;-30)
\psline(6.9282,2)(3,0)(6.9282,-2)
\end{pspicture*}
\end{center} 

\newpage
{\large\textbf{Annexe 2}} 
\vspace{3cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-2.5)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt,gridcolor=orange](-3,-2.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(4,4)
\psdots(-2.71828,0)(0,2)\uput[u](-2.71828,0){A}\uput[dr](0,2){B}
\psplot{-2.71828}{2}{2 2.71828 div x mul 2 add}
\psline(0,2)(3,1.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.71828}{0}{x  2.71828 add ln 2 mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.71828}{0}{x  2.71828 add ln 2 mul}
\psline(0,0)(-2.71828,0)
}
\pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 2.71828 0.1 x mul exp div}
\psline(3,0)(0,0)
}
\psellipse[linestyle=dashed,linecolor=red](-1.555,0)(0.129,0.30187)
\psellipse[linestyle=dashed,linecolor=red](-1.383,0)(0.232,0.57897)
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\psellipse[linestyle=dashed,linecolor=red](0,0)(0.8,2)
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