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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil   \decofourright\\[5pt]Métropole septembre 2008}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
%\[ Z^2 + 2Z+4 = 0.\]
$Z^2 + 2Z+4 = 0 \iff (Z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (Z + 1)^2  + 3 = 0 \iff (Z + 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 = 0 \iff (Z + 1 + \text{i}\sqrt{3})(Z + 1 - \text{i}) = 0$.

On a donc $S = \{- 1 - \text{i}\sqrt{3}~;~- 1 + \text{i}\sqrt{3}\}.$
%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

%La figure sera complétée au fur et à mesure que l'énoncé le demandera.
 
% Soit les points A, B et C d'affixes respectives :
%\[Z_{\text{A}} =- 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}~~ \text{et}~~Z_{\text{C}} =2.\]
%On rappelle que $\overline{Z_{\text{A}}}$ représente le nombre complexe conjugué de $Z_{\text{A}}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{A}}$.
$\left|Z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|Z_{\text{A}} \right| = 2$.

On peut alors écrire $Z_{\text{A}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right)$.

Un argument de $Z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}.$
		\item  %En déduire le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{B}}$.
$Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}$ entra\^{\i}ne que $\left|Z_{\text{B}} \right| = 2$ et qu'un argument de $Z_{\text{B}}$ est $- \dfrac{2\pi}{3}.$
		\item  %Placer les points A, B et C sur la figure.
		Voir la figure.
		\item  %Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral.
OA = OB = OC = 2 ; donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Dans ce cercle $\left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BA}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OA}} \right) = \dfrac{\pi}{3}.$ De m\^eme $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ ; donc le troisième angle a aussi pour mesure $\dfrac{\pi}{3}.$ Le triangle ABC est donc équilatéral.
	\end{enumerate}

\item	%Soit D le point d'affixe $Z_{\text{D}}$ définie par : $Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer l'écriture algébrique de $Z_{\text{D}}$.
$Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}} = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = - 2.$
		\item  %Placer le point D sur la figure.
		Voir la figure.
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère BDAO ? Justifier votre réponse.
On a OD = 2 = OB ; OBD est donc un triangle isocèle en O et D appartenant au cercle $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DO}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{PC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$. Il en résulte que les trois angles du triangle OBD ont la m\^eme mesure : il est donc équilatéral ; de plus A et B étant symétriques autour de (OD) $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DO}} \right) = \left(\vect{\text{DO}},~\vect{\text{DA}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ et le triangle OAD est lui aussi équilatéral.

Il en résulte donc que OB = BD = DA = AO = 2. Le quadrilatère BDAO est donc un losange. (mais pas un carré puisque l'angle $\widehat{\text{D}}$ a pour mesure $\dfrac{2\pi}{3}.$)
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.25,-2.25)(2.25,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2.25,-2.25)(2.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psdots(-1,1.732)(-1,-1.732)(2,0)(-2,0)\uput[ur](-1,1.732){A}\uput[dr](-1,-1.732){B}\uput[dr](2,0){C}\uput[ul](-2,0){D}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon(-1,1.732)(-1,-1.732)(2,0)
\psline(-1,1.732)(0,0)(-1,-1.732)
\pspolygon[linecolor=blue](-1,-1.732)(-2,0)(-1,1.732)(0,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
%Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d'objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7\:\% de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2\:\% pour la chaîne B.

\medskip

\textbf{Partie I}

\begin{enumerate}
\item  %On considère une production de \nombre{1200}~objets. \\Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
							&chaîne A 	&chaîne B	&	total\\ \hline
nombre d'objets défectueux	& 63		&6			&69  \\ \hline
nombre d'objets non défectueux&837		&294		&\nombre{1131}  \\ \hline
total						&900		&300		&\nombre{1200}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %On prélève au hasard un objet dans la production de l'usine et on admet que les tirages sont équiprobables.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la probabilité que l'objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A.
$p = \dfrac{63}{\nombre{1200}} = \dfrac{21}{400}$.
		\item  %Déterminer la probabilité que l'objet prélevé ne soit pas défectueux.
$P = \dfrac{\nombre{1131}}{\nombre{1200}} = \dfrac{377}{400}$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie II}
 
%Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts.

%Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts.
% 
%La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
%  
\medskip
  


\begin{enumerate}
\item  %Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x$&	0&	1&	2& 	3\\ \hline
$P(X =  x)$&\nombre{0,9425}&	\nombre{0,0318}&$\nombre{0,0197}$&		0,006\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
\item  %Le prix de vente d'un objet dépend du nombre de défauts qu'il présente :

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.3}  
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%nombre de défauts 		&0	&1	& 2 	&3\\ \hline
%prix de vente en \euro	&56	&15	&10	&1\\ \hline
%\end{tabularx}

%\end{center}

%Soit $Y$ la variable aléatoire qui,  à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente.

	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}  
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
nombre de défauts 		&0	&1	& 2 	&3\\ \hline
$P(X =  x)$&\nombre{0,9425}&	\nombre{0,0318}&$\nombre{0,0197}$&		0,006\\ \hline
prix de vente en \euro	&56	&15	&10	&1\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

		\item  %Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat obtenu.
		E$(Y) = \nombre{0,9425} \times 56 + \nombre{0,0318} \times 15 + \nombre{0,0197} \times 10  0,006 \times 1 = 53,46$~\euro.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}
 
\textbf{Étude de l'énergie fournie par le rayonnement solaire}

%Le but de ce problème est d'étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est 45° N et l'altitude 900~m.

%Dans les questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}, on étudie le rayonnement solaire un 21~mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d'une surface de 1~m$^2$.


%\item  On suppose d'abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m$^2$ est donné en fonction de l'inclinaison $\theta$ du soleil ($\theta$ étant exprimé en degrés) par

%\[p(\theta)= \nombre{1230} \text{e}^{\frac{-1}{3,8\sin (\theta + 1,6)}}.\]
%On attire l'attention du candidat quant  à l'utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés.

% Compléter le duplicata du tableau 1 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
\begin{enumerate}
\item~ 
\medskip
 
\hspace{-0.9cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{13}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline  
heure	solaire&6 h&	7 h&	8 h&	9 h&	10 h&	11 h&	12 h&	13 h&	14 h&	15 h&	16 h&	17 h&	18 h\\ \hline
inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres)&0&	10,5&	20,7&	30&37,7&	43&	45&	43&	37,7&	30&	20,7&	10,5&	0\\ \hline
rayonnement solaire	$p(\theta)$ (en W/m$^2$)&0&350&615&744&812&846&856&846&812&744&744&350&0  \\ \hline
\multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item~ %On veut maintenant modéliser l'évolution du rayonnement solaire en fonction de l'heure. 

%On définit la variable $t$ comme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6~heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l'après-midi, on se limitera à faire varier $t$ dans l'intervalle [0 ; 6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6~h et 12~h. 

%On admet que le rayonnement solaire (en W/m$^2$) peut être exprimé en fonction de $t$ par :
%\[f(t) = 856\left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right).\] 
	\begin{enumerate}
		\item~  %Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).
		
\medskip
		
\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  		
heure	solaire &6 h&	7 h&	8 h&	9 h&	10 h&	11 h&	12 h\\ \hline
temps $t$ (en heures)&	0&	1&	2&3&		4&	5&	6\\ \hline
\mbox{rayonnement so-} laire $f(t)$ (en W/m$^2$)&0&386&598&715&778&813&833\\ \hline
\multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
		
%Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~ 6].
$f'(t) = 856 \times (-1) \times (- 0,6)\text{e}^{-0,6t}= 513,6\text{e}^{-0,6t}$

Or quel que soit $u \in \R,~\text{e}^u > 0$, donc quel que soit $t$ réel, $f'(t) > 0$ et la fonction $f$ est croissante sur [0~;~6] 
		\item  %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$t$} \uput[u](2.15,3){0} \uput[u](7.85,3){6}
\rput(1,2.5){$f'(t)$}\rput(5,2.5){+}\rput(1,1){$f(t)$}
\uput[u](2.2,0){0} \uput[d](7.7,2){833}
\psline{->}(2.5,0.3)(7.3,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  %Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 100~unités en ordonnée).
Voir la figure \`a la fin.
		\item  %Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $\mathcal{T}$ dans le même repère que $\mathcal{C}$.
On a $f'(0) = 513,6$. L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est donc :
		
$M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - 0 = 513,6(x - 0) \iff y = 513,6x$.
		\item  %Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes ?
Pas tout \`a fait.
	\end{enumerate}

\item %La quantité d'énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par :

%\[\text{E} = 2\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \nombre{1712}\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t.\]
%Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l'unité.
$\text{E} = 2\displaystyle\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \nombre{1712}\displaystyle\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t = \nombre{1712}\left[t + \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6t}  \right]_{0}^6 =$

$ \nombre{1712}\left[6 + \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6 \times 6} - 0 - \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6 \times 0}\right] = \nombre{1712}\left(6 + \dfrac{5}{3}\text{e}^{-3,6} - \dfrac{5}{3}  \right) = \nombre{1712}\left(\dfrac{13}{3} + \dfrac{5}{3}\text{e}^{-3,6}\right)$.

On a $\text{E} \approx \nombre{7497}$~(Wh)
\item %On s'intéresse maintenant à l'énergie solaire reçue sur une année.

%Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à \nombre{1206}~kWh, toujours pour une surface de 1~m$^2$.

	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}.
		On a $\dfrac{\nombre{1206000}}{\nombre{7497}} \approx 160,86 \approx 161$~(jours).
		\item %On suppose qu'un dispositif de production d'énergie électrique reçoit l'énergie solaire sur une surface de 1~km$^2$ et qu'il convertit 20\:\% de cette énergie en électricité.
Énergie convertie en une année :

$\nombre{1206} \times 0,20 \times \nombre{10000000} \approx \nombre{5998} \cdot 10^6$~(kWh) soit 	$\nombre{241,2} \cdot 10^6$~(kWh)	
% Combien d'habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu'un habitant consomme en moyenne 700~kWh/an d'énergie électrique domestique (hors chauffage) ?
Le nombre d'habitants bénéficiant de ce système est donc égal \`a :

\[\dfrac{\nombre{241,2} \cdot 10^6}{700} \approx \nombre{344571}.  \] 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
%\textbf{ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME}

%\medskip

%( à rendre avec la copie)

%\vspace{3cm}

%\hspace{-0.3cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{13}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%heure	solaire&6 h&	7 h&	8 h&	9 h&	10 h&	11 h&	12 h&	13 h&	14 h&	15 h&	16 h&	17 h&	18 h\\ \hline
%inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres)&0&	10,5&	20,7&	30&37,7&	43&	45&	43&	37,7&	30&	20,7&	10,5&	0\\ \hline
%rayonnement solaire	$p(\theta)$ (en W/m$^2$)&&350&&744&&&856&&&&&&  \\ \hline
%\multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\
%\end{tabularx}

%
%\vspace{3cm}
%\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  		
%heure	solaire &6 h&	7 h&	8 h&	9 h&	10 h&	11 h&	12 h\\ \hline
%temps $t$ (en heures)&	0&	1&	2&3&		4&	5&	6\\ \hline
%\mbox{rayonnement so-} laire $f(t)$ (en W/m$^2$)&&&&715&&&833\\ \hline
%\multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\
%\end{tabularx}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-100)(6.1,1000)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(6.1,1000)
\uput[d](6.1,0){$t$} \uput[l](0,1000){$f(t)$}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{1 2.71828 0.6 neg x mul exp sub 856 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}