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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie  civil~\decofourright\\[5pt]Métropole 16 septembre 2010}}

\vspace{0,5cm}

%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée pour cette épreuve.
%
%
%Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. 

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm.
%
%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\begin{enumerate}
\item %Soit le polynôme $P$ défini pour tout nombre complexe $z$ par : 

%\[P(z) = z^3 - 27.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(3)$ ; en déduire une factorisation de $P(z)$.
$P(3) = 3^3 - 27 = 27 - 27 = 0$, donc 3 est une solution de l'équation $P(z) = 0$.

On en déduit que $P(z) =  z^3 - 27 = (z - 3)\left(az^2 + bz + c) \right) =$
$az^3  + (b - 3a)z^2 + (c - 3b)z - 3c = 0$.

On obtient par identification : $a = 1,~c = 9$, d'où $b - 3 = 0 \iff b = 3$ et $9 - 3b = 0  \iff b = 3$.

On a donc $P(z) = z^3 - 27 = (z - 3)\left(z^2 + 3z + 9) \right)$.
		\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation: 

%\[z^2 + 3z + 9 = 0.\]
Comme $\delta = 3^2 - 4 \times 9 = 9 - 4 \times 9 = - 3 \times 9 = \left(3\text{i}\sqrt{3} \right)^2 < 0$, l'équation a deux solutions complexes conjuguées :

\[\dfrac{-3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad \text{et} \quad  \dfrac{-3 - 3\text{i}.\sqrt{3}}{2}\]
		\item %En déduire la résolution dans $\C$ de $P(z) = 0$.
$P(z) = 0 \iff (z - 3)\left(z^2 + 3z + 9) \right) = 0 \iff \left\{ \begin{array}{l}
z - 3 = 0\\
z^2 + 3z + 9 = 0
\end{array}\right.$

D'après les deux questions précédentes les trois solutions de l'équation sont 

$\dfrac{-3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}\quad ;\quad  3  \quad ; \quad  \dfrac{-3 - 3\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soient M$_{1}$, M$_{2}$ et M$_{3}$ les points d'affixes respectives : 

%\[z_{1} = 3, \quad  z_{2} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \quad \text{et} \quad  z_{3} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %On propose dans le tableau ci-dessous trois écritures sous forme exponentielle des nombres complexes $z_{2}$ et $z_{3}$.
		
\medskip

%\renewcommand\arraystretch{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	Écriture 1& Écriture 2 &Écriture 3\\ \hline 
%$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{\pi}{6}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}$&
%$z_{2} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$&
%$z_{2} = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$ ~et~$z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%Déterminer celle qui convient en justifiant votre réponse.
On a $\left|z_{2} \right|^2  = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 = 3^2$, donc $\left|z_{2} \right| = 3$.

On peut en factorisant écrire :

$z_{2} = 3 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 3 \left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right) = 3\text{e}^{\frac{2\pi}{3}\text{i}}$.

Comme $z_{3} = \overline{\left(z_{2}\right)}$, on a $z_{3} = 3\text{e}^{-\frac{2\pi}{3}\text{i}}$.

La bonne écriture est la 3. 
		\item %Placer de façon précise les points M$_{1}$,  M$_{2}$ et M$_{3}$ dans le repère orthonormé \Ouv{} défini précédemment. (\emph{On laissera apparents les traits de construction.})
		Voir la figure plus bas. Il s'agit de tracer les deux triangles équilatéraux dont un côté a pour extrémité O et l'autre le point d'affixe $- 3$.
		
On peut aussi construire les points M$_{2}$ et M$_{3}$ avec leur partie réelle : ils sont tous deux sur la droite d'équation $x = - \dfrac{3}{2}$ et sur le cercle de centre O et de rayon 3. 
		\item %Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant votre choix à chaque proposition suivante :
		 
Proposition 1 : %Les distances M$_{1}$M$_{2}$ et M$_{1}$M$_{3}$ sont différentes.
Fausse : M$_{2}$ et M$_{3}$ sont symétriques autour de l'axe des abscisses : ils sont donc équidistants de M$_{1}$ et  M$_{1}$M$_{2} =$  M$_{1}$M$_{3}$

Proposition 2 : %L'aire du triangle M$_{1}$M$_{2}$M$_{1}$ est $\dfrac{27\sqrt{3}}{4}$~cm$^2$.
H étant le projeté orthogonal de M$_{2}$ (ou M$_{3}$) sur l'axe des abscisses, l'aire cherchée est le double de l'aire du triangle rectangle M$_{1}$HM$_{2}$, soit :

$2 \times \text{HM}_{1} \times \text{HM}_{2}\times \dfrac{1}{2} = \left(3 + \frac{3}{2}\right) \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4}$~cm$^2$.

L'affirmation est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=3,Dy=3](0,0)(-3,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){3} \psarc(-3,0){3}{55}{65}\psarc(-3,0){3}{-65}{-55}
\uput[ul](-1.5,2.598){M$_{2}$} \uput[dl](-1.5,-2.598){M$_{3}$}\uput[ur](3,0){M$_{1}$}
\uput[ul](-1.5,0){H}
\pspolygon[linestyle=dashed](-1.5,2.598)(3,0)(-1.5,-2.598)
\psframe(-1.5,0)(-1.3,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

%\medskip
% 
%Une entreprise fabrique des pots de peinture cylindriques en fer, dont l'étanchéité est assurée par un joint de caoutchouc. Tous les jours, le chef d'équipe prélève un échantillon au hasard dans la production, contrôle les dimensions de chaque pot et l'épaisseur du caoutchouc.

\medskip
 
\textbf{Partie A - Échantillon du lundi}

%\medskip
% 
%Ce lundi, le chef d'équipe prélève 250~pots au hasard. Il les contrôle tous et il constate que :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 232 pots ne présentent pas de défaut ; 
%\item[$\bullet~$] 5 pots présentent au moins un défaut de dimension ; 
%\item[$\bullet~$] 2 pots exactement présentent à la fois un défaut de dimension et un défaut d'épaisseur de caoutchouc.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter sur l'annexe (à rendre avec la copie), le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{Tableau du lundi}& Pièces présentant un défaut de dimension&
Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&2&13&15\\ \hline 
Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&3&232&235\\ \hline  
Total& 5&245 & 250\\ \hline 
\end{tabularx}} 

\medskip

\item %En déduire le pourcentage de pièces dans l'échantillon du lundi ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc.
Le pourcentage est égal à : $\dfrac{235}{250} \times 100 = \dfrac{940}{\np{1000}} \times 100 = 94$\,\%
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B - Échantillon du mardi}

%\medskip
% 
%Le lendemain mardi, le chef d'équipe prélève 200 pots au hasard dans la production et il les contrôle tous; la répartition des pièces suivant les défauts est donnée dans le tableau ci-dessous :

%\medskip
%
%\small{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
%\textbf{Tableau du mardi}& Pièces présentant un défaut de dimension&
%Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
%Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&1&10&11\\ \hline 
%Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&2&187&\\ \hline  
%Total& 3&197 & 200\\ \hline 
%\end{tabularx} }
%
%\medskip
%
%On admet que cette répartition reflète l'ensemble de la production de ce mardi, et que chaque pot a la même probabilité d'être prélevé. 
%On prélève au hasard un pot de peinture produit ce jour, et on considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $D$ : \og le pot prélevé présente un défaut de dimension \fg{} ; 
%\item[ ] $E$ : \og le pot prélevé ne présente pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc \fg. 
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements $D$ et $E$.
3 pots en moyenne sur un prélèvement de 200 présentent un défaut de dimension, donc $p(D) = \dfrac{3}{200}$.

$2 + 187 = 189$ pots sur 200 ne présentent pas  de défaut d'épaisseur de caoutchouc, donc $p(E) = \dfrac{189}{200}$.
		\item %Définir en une phrase chacun des évènements $D \cap E$ et $D \cup E$, puis calculer sa probabilité.
$D \cap E$ représente l'évènement : \og le pot prélevé présente un défaut de dimension et ne présente pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc \fg. Il y en a 2, donc $p(D \cap E) = \dfrac{2}{200} = \dfrac{1}{100}$ ;

$D \cup E$ représente l'évènement : \og le pot prélevé présente un défaut de dimension ou ne présente pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc \fg. Il y en a 2.

On sait que $p(D \cup E) = p(D) + p(E) - p(D \cap E)$.

On a $p(D) = \dfrac{3}{200}$ et $p(E) = \dfrac{189}{200}$,  donc $p(D \cup E) = \dfrac{3}{200} + \dfrac{189}{200} - \dfrac{2}{200} = \dfrac{190}{200} = \dfrac{95}{100}$. 
	\end{enumerate}

%\medskip
%	 
%\textbf{On admet désormais que cette répartition du mardi reflète parfaitement l'ensemble de la production journalière.}

\medskip
 
%Sachant que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item tout pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc est réparé avec un surcoût de 0,15 euro,
%\item tout pot avec un défaut de dimension est invendable,
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%le tableau ci-dessous récapitule le coût de production et le prix de vente des pots suivant les défauts constatés :
%
%\medskip

%{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|} p{3cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline 
%&Pot sans défaut& Pot avec le seul défaut d'épaisseur de caoutchouc &
%Pot avec un dé\-faut de dimension (au moins)\\ \hline 
%Coût de production &1,30 euros& 1,45 euros (car 0,15 euro de surcoût pour corriger le défaut)&1,30 euros\\ \hline 
%Prix de vente& 1,50 euros &1,50 euros &$0$ euro (invendable)\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip
% 
%On note $X$ la variable aléatoire associant à chaque pot, le gain net en euros (différence entre le prix de vente et le coût de production) réalisé par l'entreprise lors de sa vente. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		Les valeurs de $X$ possibles sont : 0,20 = 1,50 - 1,30 ; 0,05 = 1,50 - 1,45 et $-1,30 = 0 - 1,30$. 
		\item %Vérifier que la probabilité pour que le gain net soit égal à 0,05 euro est :  

%\[p(X = 0,05) = \dfrac{1}{20}\]
Il y a en moyenne 10 pots sut 200 présentant le seul défaut d'épaisseur, donc 

$p(X = 0,05) = \dfrac{10}{200} = \dfrac{1}{20}$. 

		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Pots sans défaut : $p(X = 0,20) = \dfrac{187}{200}$, donc il reste $p(X = -1,30) = 1 - \dfrac{10}{200} - \dfrac{187}{200} = \dfrac{12}{200} = \dfrac{6}{100}$. 
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ; interpréter le résultat obtenu.
		On a $\text{E}(X) = 0,20 \times \dfrac{187}{200} + 0,05 \times \dfrac{10}{200} - 1,30 \times \dfrac{6}{100} = 0,187 + \np{0,025} - 0,078 = 0,134$ (\euro).
		
Ceci signifie qu'en moyenne l'entreprise gagnera 134~\euro{} pour une production de \np{1000} pots.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

%Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~mètres, enjambe une route à double circulation. Dans un repère orthonormé, la figure ci-dessous représente à l'échelle $1/100$ une vue de l'une des deux façades de ce pont.
% 
%La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~mètres au dessus de la route. 
%
%La partie de l'axe des abscisses comprises entre $-8$ et $+ 8$ représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-8,-0.5)(8,6)
%\psaxes(0,0)(-8,-0.5)(8,6)
\psaxes{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1,0){A}\uput[ur](0,1){B}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
%\psline(-8,5)(8,5) 
%\uput[r](0,5.2){\scriptsize partie supérieure du pont}
%\uput[r](0,3.6){\scriptsize partie inférieure du pont}
%\uput[u](-2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
%\uput[u](-4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
%\uput[u](-7,0.5){\scriptsize zone piétons}
%\uput[u](2,0.5){\scriptsize zone véhicules motorisés}
%\uput[u](4.75,0.5){\scriptsize piste cyclable}
%\uput[u](7,0.5){\scriptsize zone piétons}
%\psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.35)
%\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7)
%\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7)
%\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.35)
%\pscustom[fillstyle=vlines]{
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 0.2 neg  x mul exp add 2 div sub}
%\psline(8,5)(-8,5) }
%\end{pspicture} 
%
%\end{center}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie 1 - Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath représentée par la courbe } \boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par :
% 
%\[f(x) = a - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]
% 
%où $a$ désigne un nombre entier naturel.
% 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O,~A,~B). 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$,
On lit $f(0) = 4$. Donc $f(0) = a - \dfrac{1 + 1}{2} = 4 \iff a = 5$. Conclusion :
 
\[f(x) = 5 - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{- 0,2x}}{2}\]

\item %Comparer $f(-x)$ et $f(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$.
On a  pour $x \in [-8~;~8],~f(-x) = 5 - \dfrac{\text{e}^{- 0,2x}+ \text{e}^{0,2x}}{2} = f(x)$.

La fonction est paire car $f(-x) = f(x)$  sur un intervalle symétrique autour de $0$. Sa courbe représentative est donc symétrique autour de l'axe des ordonnées.  
%Que peut-on en déduire graphiquement? 

\item %Montrer que la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$, est définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ par : 
$f$ est la somme de fonctions dérivables sur $[-8~;~8]$ et :

$f'(x) = 0 - \left[ \dfrac{1}{2}\left(0,2\text{e}^{0,2x} - 0,2\text{e}^{-0,2x}\right)\right] = 0,1 \left(\text{e}^{-0,2x} - \text{e}^{0,2x}\right) =  \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$. 
%\[f'(x) = \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right).\] 

\item %Calculer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
On a donc $f'(0) = \dfrac{1}{10}\times 1 (1 - 1) = 0$. Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$ est nul, cette tangente est horizontale et contient le point (0~;~4). L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est donc $y = 4$.
\item %Résoudre algébriquement, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, l'inéquation $f'(x) \geqslant  0$.
$f'(x) \geqslant  0 \iff \dfrac{1}{10}\text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right) \geqslant 0 \iff \text{e}^{- 0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right) \geqslant 0 \iff 1 - \text{e}^{0,4x} \geqslant 0$, car quel que soit $x \in \R,~\text{e}^{- 0,2x} > 0) \iff 1 \geqslant \text{e}^{0,4x} \iff \ln 1 \geqslant 0,4x \ln \text{e}$ (par croissance de la fonction ln) $\iff 0 \geqslant 0,4x \iff x \leqslant 0$.

On a donc $f'(x) \geqslant 0 \iff -8 \leqslant x \leqslant 0$. 
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-8~;~8]$.
D'après la question précédente la fonction est croissante sur l'intervalle $\left[- 8~;~\dfrac{1}{4}\right]$.

On obtiendrait de m\^eme que $f'(x) \leqslant 0 \iff 0 \leqslant x \leqslant 8$.

D'autre part : $f(-8) = 5 - \dfrac{\text{e}^{-1,6} + \text{e}^{1,6}}{2} = f(8) \approx 2,42$ d'après la question 2. D'où le tableau de variations :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$}\uput[u](1.25,2.5){$-8$}\uput[u](4,2.5){$0$}\uput[u](6.75,2.5){$8$}
\rput[u](0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](4,2){4}
\psline{->}(1.4,0.5)(3.8,1.7) \psline{->}(4.3,1.7)(6.7,0.5)
\uput[u](1.48,0){$\approx 2,42$}\uput[u](6.5,0){$\approx 2,42$}
\end{pspicture}
\end{center}  
\item %Reproduire et compléter avec une précision de $10^{-2}$ par défaut le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch {1.5}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&4		&5,5	&8\\ \hline
$f(x)$	&3,67	&3,33	&2,42\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
%En déduire la hauteur maximale d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous ce pont en tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm au dessus du véhicule.
Les véhicules circulant à droite il faut considérer la hauteur au niveau de $x = 4$, soit $f(4) \approx 3,67$ diminuée de la hauteur de sécurité de 50 cm.

Il faut donc limité la hauteur de passage maximale à 3,17~cm.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2 - Calcul d'aire}

%\medskip
% 
%On veut peindre les deux façades de l'armature du pont à arche. 
%On appelle $\mathcal{A}$ l' aire de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^{8} \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x$.
Une primitive de la fonction $x \longmapsto \text{e}^{ax}$, avec $a \in \R$ est $x \longmapsto \dfrac{1}{a}\text{e}^{ax}$, donc 

$I = \displaystyle\int_{-8}^{8} \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{0,2}\left(\text{e}^{0,2x} + \dfrac{1}{-0,2}\text{e}^{-0,2x} \right)\right]_{-8}^{8} = 5\left[\text{e}^{0,2x} - \text{e}^{-0,2x} \right]_{-8}^{8} =$

$ 5\left[\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}- \text{e}^{-1,6} + \text{e}^{1,6}\right] = 5\left[2\text{e}^{1,6} - 2\text{e}^{-1,6} \right] = 10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6} \right)$~m$^2$, puisque l'unité d'aire est égale à $1 \time 1 = 1$~m$^2$. 
\item %Calculer $\mathcal{A}$ l'aire (exprimée en m$^2$) de la partie hachurée sur la figure donnée au début du problème.
On a vu que sur $[-8~ ;~8]$ la fonction $f$ est positive ; donc l'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x : -8$ et $x = 8$ est égale à :

$\displaystyle\int_{-8}^{8} \left[5 - \dfrac{\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}}{2}\right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{-8}^{8} 5\:\text{d}x - \displaystyle\int_{-8}^{8} \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x} \right) = 40 - (- 40) - I = 80 - I$

L'aire de la surface hachurée est donc la différence de l'aire du rectangle de longueur 16 et de hauteur 5 et de l'aire précédente  soit :

$16 \times 5 - (80 - I) = 80 - 80 + I = I = 10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6} \right)$. 
\item %En déduire que l'aire de la surface totale à peindre est égale à $10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}]\right)$ m$^2$, soit environ $47,52$~m$^2$.
On a $I = 10\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{-1,6}]\right) \approx 47,511 \approx 47,51$~m$^2$ 
\item %La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 30~litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,3~mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?
Un bidon de 30 litres permet de peindre $30 \times 0,3 = 9$~m$^2$.

Pour peindre les deux faces il faut donc $2 \times \dfrac{47,11}{9} \approx 10,5$.

Il faut donc acheter 11 bidons.
\end{enumerate}

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%\begin{center}
%
%\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
%
%\vspace{1cm}
% 
%\begin{flushleft} \textbf{Exercice 2} \end{flushleft}
%
%\bigskip
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%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
%Tableau du lundi& Pièces présentant un défaut de dimension&
%Pièces ne présentant pas de défaut de dimension &Total\\ \hline 
%Pièces présentant un défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline 
%Pièces ne présentant pas de défaut d'épaisseur de caoutchouc&&&\\ \hline  
%Total& 5& & 250\\ \hline 
%\end{tabularx} 
%\end{center}
\end{document}