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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI}
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie  juin 2009~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

%Le plan complexe est rapporté à un  repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $1$~cm.

% On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item %On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : 
%\[P(z) = z^3 - 7z^2 + 20z - 24. \]
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $P(3) = 0$.
		$P(3)= 3^3 - 7\times 3^2 + 20\times 3 - 24 = 27 - 63 + 60 - 24 = 87 - 87 = 0$. 
		\item %Déterminer deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $P(z) = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right).$
		On a donc $P(z) = z^3 - 7z^2 + 20z - 24 = (z - 3)\left(z^2 + \alpha z + \beta \right) = z^3 - \alpha z^2 + \beta z - 3z^2 - 3\alpha z - 3\beta = z^3 - \left(\alpha + 3)z^2 + (\beta - 3\alpha)z - 3\beta$.
		
		En identifiant, on obtient :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
-7&=&\alpha - 3\\
20&=&\beta - 3\alpha\\
-24&=&-3\beta
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-4&=&\alpha \\
20&=&\beta - 3\alpha\\
8&=&8\beta
\end{array}\right.$

Donc $P(z) = (z - 3)\left(z^2 - 4 z + 8 \right)$. 
		\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation \mbox{$P(z) = 0$}.
Il en résulte que $P(z) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z-3&=&0\\
z^2 - 4 z + 8&=&0$
\end{array}\right.$

Résolution de l'équation du second degré :

$z^2 - 4 z + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 - 4 + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 + 4 = 0 \iff$

$ (z - 2)^2 - (2\text{i})^2 = 0 \iff (z - 2 - 2\text{i})(z - 2 + 2\text{i}) = 0.$

Finalement : $S = \left\{3~;~2 + 2\text{i}~;~2 - 2\text{i}\right\}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note A, B et C les points du plan, d'affixes respectives $a = 3,~ b = 2 + 2\text{i}$ et $c = 2 - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
		Voir la figure. 
	\item %Déterminer le module et un argument du nombre complexe $b$.
On a $|b|^2 = 4 + 4 = 4 \times 2 \Rightarrow |b| = 2\sqrt{2}$.

On peut écrire $b = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{4} \right)$.

Un argument de $b$ est donc $\dfrac{\pi}{4}$.	
	\item %Déterminer le module et un argument du nombre complexe $c$.
$c$ étant le conjugué de $b,~|c| = 2 \sqrt{2}$ et un argument de $c$ est $- \dfrac{\pi}{4}$.
	\item %Démontrer que le triangle OBC est rectangle et isocèle.
$|b| = \text{OB} = |c| = \text{OC}$ ; le triangle OBC est donc isocèle en O.

 De plus $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OB}} \right) = \left(\vect{\text{OC}},~\vect{u} \right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{OB}} \right)  =\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.

Le triangle isocèle OBC est rectangle en O.
  	\end{enumerate}
\item %On considère l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : |z - 3| = \sqrt{5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{E}$.
$|b - 3|^2 = |-1 + 2\text{i}|^2 = 1 + 4 = 5$, donc $|b - 3| = \sqrt{5}$ ;

De m\^eme $|c - 3|^2 = |-1 - 2\text{i}|^2 = 1 + 4 = 5$, donc $|c - 3| = \sqrt{5}$.

Conclusion B et C appartiennent \`a $\mathcal{E}$.
	\item %Déterminer la nature de l'ensemble $\mathcal{E}$ et représenter cet ensemble sur le dessin.
On a pour un point $M$ d'affixe $z$, |z - 3| = \sqrt{5} \iff \text{A}M = \sqrt{5}.$

L'ensemble $\mathcal{E}$ est donc le cercle de centre A et de rayon $\sqrt{5}.$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5.25,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(5.25,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(3,0)(2,2)(2,-2)\uput[ur](3,0){A} \uput[ul](2,2){B} \uput[dl](2,-2){C} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(0,0)(2,2)(2,-2)
\pscircle(3,0){2.23607}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points} 

\medskip

%On s'intéresse au jeu suivant :
% 
%Une urne (urne 1) contient trois boules portant les numéros 0, 5 et 10. 

%Une deuxième urne (urne 2) contient trois boules : une blanche (B), une jaune (J) et une rouge (R).

% Le joueur tire successivement et au hasard une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'urne 2.
%  
%Un résultat possible est par exemple :
% 
%\og la boule 1 porte le \no  5 et la boule 2 est jaune \fg{} que l'on codera (5~;~ J). 

\begin{enumerate}
\item  %Dresser la liste de tous les résultats possibles. 
(0, B)  (0, J)  (0, R) (5, B) (5, J) (5, R) (10, B) (10, J) (10, R)
%Les gains ou les pertes associés à un résultat sont définis par les règles suivantes :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] le joueur, pour pouvoir jouer, mise 5~\euro ; 
%\item[$\bullet~$]suite au résultat obtenu à  l'issue des deux tirages il gagne : 
%	\begin{itemize}
%		\item  le montant inscrit sur la première boule multiplié par 0 si la deuxième boule est blanche ; 
%	\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 1 si la deuxième boule est jaune ; 
%	\item le montant inscrit sur la première boule multiplié par 3 si la deuxième boule est rouge. 
%	\end{itemize}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%Le \og  gain réel \fg{} du joueur est donc la somme gagnée lors du jeu diminuée de la mise initiale. Par exemple le gain réel associé au résultat (5~;~ R) est 

%$5 \times  3 - 5 = 10$~euros.
 
%On note $X$ la variable aléatoire qui à tout résultat associe le gain réel du joueur.
 
\item %Quels sont les différents \og  gain réels \fg{} possibles du joueur ?
Les gains possibles sont : $- 5~;~0~;~5~;~10 ;~25$ 
\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\medskip
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&$-5$&0&5&10&25  \\ \hline%
$p\left(X = x_{i} \right)$&\dfrac{5}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{1}{9}$ \\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 
\item %Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = -5 \times \dfrac{5}{9} + 0 \times \dfrac{1}{9} + 5 \times \dfrac{1}{9} +  10\times \dfrac{1}{9} + 25\times \dfrac{1}{9} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$~(\euro).   
\item %S'il effectue un très grand nombre de parties, un joueur va plutôt : 
\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] réponse A : être ruiné ? 
%\item[$\bullet~$] réponse B : devenir riche? 
%\item[$\bullet~$] réponse C : ni l'un ni l"autre ?
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

%Quelle est ta bonne réponse ? Justifier.
En moyenne sur un grand nombre de parties le joueur gagnera en moyenne 5~\euro toutes les trois parties ; il va donc devenir riche ? (quand est-on riche ?) 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points} 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Étude sommaire d'une fonction \boldmath $g$ \unboldmath}\end{center}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%\[g(x) =  \text{e}^{x^3 - x - 5}.\]
% La courbe représentative de la fonction $g$ est notée $\mathcal{C}$ et est représentée sur la feuille annexe. 
% 
%Le dessin suggère que $g$ est croissante sur $\R$. On se propose dans cette partie de confirmer ou d'infirmer cette impression. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
$g$ est de la forme $\text{e}^{u(x)}$ avec $u$ dérivable et de dérivée $u'(x) \times \text{e}^{u(x)}$.

Donc $g'(x) = \left(3x^2 - 1) \right)\text{e}^{x^3 - x - 5}$. 
\item %Étudier selon les valeurs du nombre réel $x$ le signe de $P(x) = 3x^2 -1$.
$P$ est un trinôme qui s'annule en $- \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ et  $ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Il est positif sauf entre les racines.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur $]- \infty~;~- \dfrac{1}{\sqrt{3}}[,~P(x) > 0$ ;
\item[$\bullet~$] $P\left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) =  P\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] sur $\left]- \dfrac{1}{\sqrt{3}}~;~ \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right[,~P(x) < 0$ ;
\item[$\bullet~$] sur $\left]\dfrac{1}{\sqrt{3}}~;~+ \infty\right[,~P(x) > 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\item %Justifier que $g'(x)$ et $P(x)$ sont de même signe pour tout nombre réel $x$.
Comme $\text{e}^u > 0$, quel que soit $u \in \R$, le signe de $g'(x)$
 est celui de $3x^2 - 1$, c'est-\`a-dire celui de $P(x)$. 
\item %En déduire le tableau de variations de $g$. (L'étude des limites n'est pas demandée.)
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4)\psline(0,2)(11,2) \psline(0,3)(11,3)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.4,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$-\frac{1}{\sqrt{3}}$} \uput[u](8,3){$\frac{1}{\sqrt{3}}$} \uput[u](10.6,3){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$g'(x)$} \rput(3.5,2.5){$+$} \rput(5,2.5){0} \rput(6.5,2.5){$-$} \rput(9.5,2.5){$+$}\rput(11,2.5){0}
\rput(1,1){$g(x)$}
\psline{->}(2.6,0.3)(4.5,1.7)\psline{->}(5.4,1.7)(7.6,0.3) \psline{->}(8.4,0.3)(10.6,1.7) 
%\uput[u](){} \uput[u](){} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\item %Que penser des variations de $g$ suggérées par le dessin ?
L'impression est fausse puisque sur $\left]-\dfrac{1}{\sqrt{3}}~;~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right[$, la fonction est décroissante. 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : Étude de quelques propriétés d'une fonction \boldmath $f$\unboldmath }\end{center}

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
%\[ f(x) =  -x\ln x +\dfrac{1}{3}x + 1.\]

%La courbe représentative de $f$ est notée $\Gamma$, cette courbe est représentée sur la feuille annexe.
 
\begin{enumerate}
\item Étude des variations de $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,$
		
%$f'(x) = - \ln x - \dfrac{2}{3}$.
On a $f'(x) = - \ln x - x \times \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{3} = - \ln x - 1 + \dfrac{1}{3} = - \ln x - \dfrac{2}{3}$.
	\item %Résoudre dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'inéquation $f'(x) > 0$.
$- \ln x - \dfrac{2}{3} > 0 \iff - \dfrac{2}{3} > \ln x \iff \text{e}^{- \dfrac{2}{3}} > \text{e}^{\ln x} \iff x < \text{e}^{- \dfrac{2}{3}}.$

Donc dans  l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ l'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left]0~;~\text{e}^{- \dfrac{2}{3}}\right[$. 
	\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. (On ne demande pas de calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$.)
Sur l'intervalle précédent la dérivée de $f$ est négative, donc $f$ est décroissante. Ensuite elle est croissante.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.1,3){$0$} \uput[u](5,3){$\text{e}^{- \frac{2}{3}}$} \uput[u](7.6,3){$+ \infty$} \uput[u](10.6,3){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(3.5,2.5){$+$} \rput(5,2.5){0} \rput(6.5,2.5){$-$} 
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.4,0.3)(4.5,1.7)\psline{->}(5.5,1.7)(7.6,0.3) 
\uput[u](2.1,0){1} \uput[d](5,2){$1 + \text{e}^{- \frac{2}{3}}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip 
	\end{enumerate}

\item Calcul d'une aire 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la droite d'équation $x = 1$, la droite d'équation $x = 2$, l'axe des abscisses, et la courbe $\Gamma$.
		Voir la figure. 
		\item %On note $H$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
	
%\[H(x) = x^2\ln x - \dfrac{x^2}{2}.\]
	 
%Déterminer $H'(x)$ et en déduire une primitive de $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$H'(x) = 2x\ln x + x^2 \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{2x}{2} = 2x \ln x + x - x =  2x \ln x$.

Comme $x \ln x = \dfrac{1}{2}H'(x)$, une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ est $-\dfrac{1}{2}x^2 \ln x + \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{1}{6}x^2 + x$.
	\item %Calculer l'aire de la partie du plan hachurée. exprimée en unité d'aire.
L'aire cherchées est en unités d'aire égale \`a l'intégrale $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[\dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{1}{6}x^2 + x  \right]_{1}^2 = - \dfrac{1}{2} \times 4 \ln4 + 1 + \dfrac{4}{6} + 2 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} - 1 = \dfrac{9}{4} - 2\ln 2$(u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C ; Résolution de l'équation \boldmath $f(x) = g(x)$ \unboldmath sur l'intervalle [1~;~2]}\end{center} 

%On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[1~;~2]$ par $h(x)=  g(x)- f(x)$. 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], 

%$h'(x) > 0$.
On a $h(x) = g(x) - f(x)$, donc $h'(x) = g'(x) - f'(x) = \left(3x^2  - 1\right)\text{e}^{x^3 - x - 5} + \ln x + \dfrac{2}{3}x$.

Sur [1~;~2], on a vu que $3x^2 - 1 > $, donc tous les termes de $h'(x)$ sont supérieurs \`a zéro, donc $h'(x) > 0$. 
\item %En déduire que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~2].
La fonction $h$ est donc croissante sur [1~;~2], $h(1) \approx -1 < 0$, et $h(2) \approx 2 > 0$. Comme $h$ est dérivable sur [1~;~2] elle s'annule une seule fois dans cet intervalle en $\alpha \in [1~;~2]$ 
\item %Donner la valeur approchée arrondie au centième de cette solution.
La calculatrice donne $1,83 < \alpha < 1,84$ et au centième près $\alpha \approx 1,83$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=2.7cm,yunit=2.25cm}

\begin{pspicture}(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)
\multido{\n=-0.500+0.125}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-1.66666)(\n,2.66666)}
\multido{\n=-1.66666+0.16667}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.5,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1.66666)(4,2.66666)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1pt]{1}{2}{x 3 div 1 add x x ln mul sub}
\psline(2,0)(1,0)
}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.2}{x 3 div 1 add x x ln mul sub}
\uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,2.6){$y$}\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](3,-1.15){\blue $\Gamma$}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1.9975}{2.71828 x 3 exp x sub 5 sub exp}\uput[r](2,2){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}