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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie  juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 2~cm.

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
\begin{enumerate}
\item %Soit (E) l'équation de la variable complexe $z$:

%\[ z^2 - 4z + 8 = 0.\]
 
%Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
$\Delta = 16 - 4 \times 8 = 16 - 32 = - 16 = (4\text{i})^2$.

Il y a donc deux racines complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{4 + 4\text{i}}{2}
  = 2 + 2\text{i}~\text{et}~z_{2} = 2 - 2\text{i}.\]
  
%On considère les points A, B, C, D et K d'affixes respectives : 

%\[a = 2 + 2\text{i}, \quad  b = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad  c =  2 - 2\text{i}, \quad  d = 3 -\text{i}\sqrt{3}~\text{et} ~ k = 2.\]
 
\item %Construction du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes $a$ et $b$.
		On a $a = z_{1} = 2 + 2\text{i}$, donc $|a|^2 = 4 + 4 = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2$, ce qui implique que $|a| = 2\sqrt{2}$.
		
En factorisant ce module on peut écrire :

$a = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

De même $|b|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, d'où $|b| = 2$ et en factorisant ce module :

$b = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$.  
		\item %Démontrer que le point K est le milieu du segment [AC] et le milieu du segment [BD].
On a $\dfrac{a + c}{2} = \dfrac{2+ 2\text{i} + 2 - 2\text{i}}{2} = 2 = k$.

De même : $\dfrac{b + d}{2} = \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3} + 3 -\text{i}\sqrt{3}}{2} = 2 = k$, ce qui montre que K est le milieu des segments [AC] et [BD]. 
		\item %Placer les points A, C et K, puis construire les points B et D.
Les points A et C sont symétriques autour de (O$x$). K est donc le point d'intersection de (O$x$) et de la droite (AC). 

Le point B appartient au cercle de centre O et de rayon 2 et il a pour abscisse $1$.

Il suffit donc de tracer la perpendiculaire à (O$x$) contenant le point (1~;~0) : elle coupe le cercle précédent au point d'ordonnée positive B. Il suffit ensuite de construire le symétrique de B autour de K : D.
	\end{enumerate} 
\item %Nature du quadrilatère ABCD. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On calcule  AC $ = |c - a| = |2 - 2\text{i)} - 2 - 2\text{i} | = |-4\text{i}| = 4$ et BD $ = |d - b| = |3 -\text{i}\sqrt{3} - 1 - \text{i}| = |2 - 2\text{i}\sqrt{3}| = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

On a donc KA = KC = KB = KD = 2 : les points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre K et de rayon 2. 
		\item %Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
On a démontré que le point K est le milieu de [AC] et de [BD] : le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : c'est un rectangle.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

Figure :
\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed](1,-3)(1,3)
\psdots(2,2)(2,-2)(2,0)(1,1.732)(3,-1.732)%ACKBD
\uput[ur](2,2){A}\uput[d](2,-2){C}\uput[u](1,1.732){B}\uput[dr](3,-1.732){D}\uput[ur](2,0){K}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(2,2)(1,1.732)(2,-2)(3,-1.732)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

%\medskip

%Une urne contient 100 boules. Chacune de ces boules porte l'un des numéros 1,  2, 3, 4 ou 5.

%La répartition des boules suivant leur numéro est donnée par le tableau ci-dessous :

%\medskip

%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Numéro inscrit sur la boule&1&2&3&4&5\\ \hline
%Nombre de boules&15&25&15&35&10\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%Un joueur tire au hasard une boule dans cette urne. On admet que tous les tirages sont équiprobables.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout entier $n$ tel que $1 \leqslant   n \leqslant 5$, on note $p_{n}$ la probabilité de tirer une boule numérotée $n$.
 
%Déterminer $p_{1},~p_{2},~p_{3},~p_{4}$ et $p_{5}$.
$p_{1} = 0,15,~p_{2} = 0,25,~p_{3} = 0,15,~p_{4} = 0,35$ et $p_{5} = 0,10$.
\item %On considère les évènements suivants : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $A$ : \og La boule tirée porte un numéro inférieur ou égal à  3 \fg{};
%\item[$\bullet~$] $B$ : \og La boule tirée porte un numéro pair \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Déterminer les probabilités des évènements $A,~B,~ A \cap  B$ et $A \cup B$.
$p(A) = p_{1} + p_{2} + p_{3} = 0,55$.

$p(B) = p_{2} + p_{4} = 0,6$.

$p(A \cap B) = 0,25$.

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,55 + 0,60 - 0,25 = 0,9$.
\item %Un jeu est défini de la façon suivante : un joueur mise 6~\euro{} puis il tire une boule de l'urne.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule est impair il reçoit une somme de 11~\euro{}; 
%\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On désigne par $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le gain (éventuellement négatif) du joueur.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
On a le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
numéro&1&2&3&4&5\\ \hline
$X$&5&$-6$&5&$-6$&5\\ \hline
$p_{i}$&0,15&0,25&0,15&0,35&0,10\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$.
E$(X) = 5(0,15 + 0,15 + 0,2) - 6(0,25 + 0,45) = -1,60$~(\euro). 
		\item %On modifie la règle du jeu, la mise reste identique.
		
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si le numéro de la boule tirée est impair il reçoit la somme de $a$ euros ;
%\item[$\bullet~$] si le numéro de la boule tirée est pair il ne reçoit rien.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Déterminer la valeur du nombre $a$ pour que le jeu soit équitable. 
Il suffit de remplaçer dans le calcul précédent 5 par la valeur $a - 6$. D'où :

E$(X) = (6 - a) \times (0,15 + 0,15 + 0,2) - 6(0,25 + 0,45) = 0,4a - 6$.

Le jeu est équitable si l'espérance de gain (et de perte) est nulle.

Donc E$(X) = 0 \iff 0,4a - 6 = 0 \iff a = 15$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

%\medskip

%On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[f(x) = \dfrac{2\ln x}{x} - 2x + 4.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

%L'unité graphique est 2~cm sur chacun des axes.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
%On note  $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[g(x) = 1 - \ln x - x^2\]
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ (les limites ne sont pas demandées).
$g$ somme de fonctions dérivables sur  $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$g'(x) = - \dfrac{1}{x} - 2x < 0$ comme somme de deux termes négatifs. La fonction $g$ est donc décroissante sur $]0~;~+ \infty[$.
\item %Étude du signe de $g$ 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g(1)$.
$g(1) = 1 - \ln 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0.$ 
		\item %En déduire le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		$g$ étant strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$ et s'annulant en 1, on en déduit que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $g(x) > 0$ si $0 < x < 1$ ;
\item[$\bullet~$] $g(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] $g(x) < 0$ si $1 < x $. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item %Étude des limites 

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0}  \ln x  = - \infty$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2\ln x}{x} = - \infty$, donc finalement : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

Graphiquement : l'axe des ordonnées est asymptote au graphe de la fonction au voisinage de zéro.
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - 2x = - \infty$, donc finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate}
	
\item %Étude d'une asymptote
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
		Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - (- 2x + 4)  = \dfrac{2\ln x}{x}.$
		
On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$.

Ceci montre que la droite  $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
		\item %Déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
		Plus précisèment comme $\ln x > 0$ et $x > 0$ au voisinage de plus l'infini on a donc $\dfrac{2\ln x}{x}> 0$, ce qui signifie que la fonction $d$ est positive, ou encore que la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{D}$ au voisinage de $+\infty$.
	\end{enumerate}	  
\item %On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, puis démontrer que : $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$.
Le premier terme est un quotient de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ le dénominateur ne s'annulant pas sur cet intervalle ; $f$ est donc dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\frac{2}{x}\times x - 2\ln x}{x^2} - 2 = \dfrac{2 - 2\ln x}{x^2} - 2 = \dfrac{2 - 2\ln x - 2 x^2}{x^2} = \dfrac{2\left(1 - \ln x - x^2 \right)}{x^2} = \dfrac{2g(x)}{x^2}$.
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Comme $2 > 0$ et $x^2 > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu à la partie A.

On a donc 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f'(x) > 0$ si $0 < x < 1$ ; $f$ est croissante
\item[$\bullet~$] $f'(1) = 0$ ; $f$ a un maximum ;
\item[$\bullet~$] $f'(x) < 0$ si $1 < x $  ; $f$ est décroissante. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.15,2){$0$}\uput[u](4,2){$1$}\uput[u](6.6,2){$+\infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.4,0.4)(3.5,1.7)\psline{->}(4.5,1.7)(6.5,0.4)
\uput[u](1.4,0){$-\infty$}\uput[d](4,2){2}\uput[u](6.5,0){$-\infty$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
	\end{enumerate}
\item %Démontrer qu'il existe une tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ qui est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
La droite  $\mathcal{D}$ a un coefficient directeur égal à $-2$. Une tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x$ est parallèle à $\mathcal{D}$ si son coefficient directeur $f'(x)$ est égal à $-2$, soit :

$f'(x) = - 2 \iff \dfrac{2\left(1 - \ln x - x^2 \right)}{x^2} = - 2 \iff 2 - 2\ln x - 2x^2 = - 2x^2 \iff 2 - 2\ln x = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff 1 = \Ln x \iff \ln \text{e} = \ln x \iff \text{e} = x$ (d'après la croissance de la fonction $\ln$.

Vérification : $f'(\text{e}) = \dfrac{2\left(1 - \ln \text{e} - \text{e}^2 \right)}{\text{e}^2} = - 2$.
\item %Construire dans le repère \Oij{} les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'une aire} 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(2)$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [1~;~ 2].
$f(2) = \dfrac{2\ln 2}{2} - 2\times 2 + 4 = \ln 2$.

Sur [1~;~2] la fonction $f$ est décroissante de $2$ à $\ln 2$, donc sur [1~;~2], $f(x) > 0$. 
\item %On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[F(x) = (\ln x)^2 - x^2 + 4x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
La fonction $F$ est la somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ ; elle est donc dérivable sur cet intervalle et :

$F'(x) = 2\ln x \times \dfrac{1}{x} - 2x + 4 = \dfrac{2\ln x}{x} - 2x + 4 = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.		
		\item %On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.
		
On a vu que sur [1~ ;~2], $f(x) > 0$, donc l'aire $\mathcal{A}$ est égale en unités d'aire à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{1}^2 = F(2) - F(1) = (\ln 2)^2 - 2^2 + 4\times 2 - \left[(\ln 1)^2 - 1^2 + 4\times 1 \right] = 	(\ln 2)^2 - 4 + 8 + 1 - 4 = 1 + (\ln 2)^2$.	 
%Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis en donner la valeur arrondie au mm$^2$.
D'où $\mathcal{A} \approx \np{1,48045}$~(u. a.)

Comme l'unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on a $\mathcal{A} \approx \np{5,921} \approx 5,92$~(cm$^2$) au mm$^2$ près. Ce que l'on vérifie approximativement sur la figure.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(4,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1}{2}{x ln 2 mul x div 2 x mul sub 4 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-1)(4,3)
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.417}{2.87}{x ln 2 mul x div 2 x mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.5}{2.5}{4 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=10000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{4.73576 2 x mul sub}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,-0.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-1)(4,3)
\uput[l](0.75,2.5){$\mathcal{D}$}\uput[r](1.2,2.5){$\mathcal{T}$}
\uput[u](2.71828,0){e}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}