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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012~\decofourright\\[4pt]Génie mécanique, énergétique, civil}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Les quatre questions sont indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat mentionnera le numéro de la question, et la réponse qu'il pense être juste, sans justification.\\ 
%Une bonne réponse rapporte un point, l'absence de réponse ou une mauvaise réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} 
%
%\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip
 
%Une entreprise fabrique des composants, qui peuvent présenter deux types de défauts :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 30\,\% des composants présentent le défaut A ; 
%\item[$\bullet~~$] 10\,\% des composants présentent le défaut B ; 
%\item[$\bullet~~$] la moitié des composants qui présentent le défaut B présentent aussi le défaut A.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On prélève dans la production un composant au hasard, en supposant l'équiprobabilité des tirages. La probabilité que le composant prélevé ne présente aucun des deux défauts est égale à :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{Réponse A} : 0,05&\textbf{Réponse B} : 0,65&\textbf{Réponse C} : 0,5&\textbf{Réponse D} : 0,45\\
%\end{tabularx}
%\medskip
On peut dresser le tableau de répartition suivant pour 100 pièces produites :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Défaut A&pas le défaut A&Total\\\hline
Défaut B&5&5&10\\ \hline
Pas le défaut B&25&65&90\\ \hline
Total&30&70&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

65 pièces sur 100 ne présentent aucun des deux défauts : réponse B. 
%Les questions 2, 3, 4 portent sur la situation suivante :

%\medskip
%
%\parbox{0.7\linewidth}{ 
%Un jeu se présente sous la forme d'une machine comprenant un carré de neuf cases où sont inscrits des numéros, comme sur le schéma ci-contre. Lorsqu'on actionne la machine, l'une des cases s'allume de façon aléatoire, toutes les cases ayant la même probabilité de s'allumer. 
%
%Pour jouer une partie, un joueur mise 1~\euro{} et actionne la machine, il reçoit alors un montant en euro égal au numéro de la case qui s'est allumée. 
%Par exemple, si la case portant le numéro 3 s'est allumée, le joueur a misé 1~\euro{} et reçoit 3~\euro{} donc son gain algébrique est égal à 2~\euro}\hfill
%\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(3,3)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,1)(2,2)
%\psline(0,1)(3,1)\psline(0,2)(3,2)\psline(1,0)(1,3)\psline(2,0)(2,3)
%\psframe(3,3)
%\rput(0.5,2.5){2}\rput(1.5,2.5){0}\rput(2.5,2.5){2}\rput(0.5,1.5){0}\rput(1.5,1.5){1}
%\rput(2.5,1.5){0}\rput(0.5,0.5){0}\rput(1.5,0.5){3}\rput(2.5,0.5){0}
%\end{pspicture}}

\medskip
 
\textbf{Question 2}
 
%Un joueur joue une partie. La probabilité que son gain algébrique soit strictement positif est égale à :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{Réponse A} : $0$& 
%\textbf{Réponse B} : $\dfrac{1}{3}$& 
%\textbf{Réponse C} : $\dfrac{2}{3}$& 
%\textbf{Réponse D} : $1$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
Son gain est supérieur à zéro si l'une des trois cases 2, 2 ou 3 s'allume, d'où une probabilité de $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$. Réponse B. 
\textbf{Question 3}
 
%Un joueur joue une partie. Son gain algébrique moyen, en euro, est égal à :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{Réponse A} : $0$& 
%\textbf{Réponse B} : $\dfrac{1}{9}$& 
%\textbf{Réponse C} : $\dfrac{1}{3}$& 
%\textbf{Réponse D} : $- \dfrac{1}{9}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
Si $X$ est la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur le tableau de la loi de probabilité de $X$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&2&1&0&$- 1$\\ \hline
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$p_{i}$&$\frac{1}{9}$&$\frac{2}{9}$&$\frac{1}{9}$&$\frac{5}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

L'espérance de $X$ est égale à :

E$(X) = 2 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{2}{9} + 0 \times \frac{1}{9} - 1 \times \frac{5}{9} = \frac{2 + 2 -5}{9} = - \frac{1}{9}$.

Réponse D.

\textbf{Question 4}
 
%On veut modifier le numéro placé dans la case centrale (en grisé sur la figure) pour que le gain algébrique moyen du joueur qui joue une partie soit égal à $0$. Il faut pour cela placer dans la case centrale le numéro :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{Réponse A} : $0$ & 
%\textbf{Réponse B} : $2$ &
%\textbf{Réponse C} : $4$ &
%\textbf{Réponse D} : $6$ &
%\end{tabularx}
%\medskip
Il suffit de remplacer dans le calcul précédent de l'espérance le $0$ par $x - 1$, $x$ étant le gain obtenu si la case centrale s'allume.

E$(X) = 2 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{2}{9} + (x - 1) \times \frac{1}{9} - 1 \times \frac{5}{9} = \frac{2 + 2 + x -1 - 5}{9} = \frac{x - 2}{9}$.

Donc E$(X) = 0 \iff x = 2$. Réponse B
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$. Donner les solutions sous forme algébrique.
On calcule $\Delta = 4 - 4 \times 2 = - 4 = (2\text{i})^2$.

$\Delta < 0$ : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{2 + 2\text{i}}{2} = 1 + \text{i}\quad \text{et}\quad z_{2} = 1 - \text{i}.\]
 
\item %On note $w = 1 + \text{i}$ et a = 2 + \text{i}, où $\text{i}$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.  
	\begin{enumerate}
		\item %On pose $b = a \times w$. Calculer la forme algébrique du nombre complexe $b$.
		$b =  a \times w = (2 + \text{i})(1 + \text{i}) = 2 - 1 + 2\text{i} + \text{i} = 1 + 3\text{i}$
		\item %On pose $c = \dfrac{a}{w}$. Démontrer que $c = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.
$c = \dfrac{a}{w} = \dfrac{2 + \text{i}}{1 + \text{i}} = \dfrac{(2 + \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = \dfrac{2 + 1 - 2\text{i} + \text{i}}{1 + 1} = \dfrac{3 - \text{i}}{2} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.		 
		\item  %Calculer le module de $b$ et le module de $c$.
On a $|b|^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$, donc $|b| = \sqrt{10}$.

$|c|^2 = \left(\dfrac{3}{2} \right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{4}$, donc $|c| = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.	
	\end{enumerate} 
\item %Le plan est rapporté au repère orthonormal \Ouv.
 
%On note A, B et C les points du plan d'affixes respectives $a, b$ et $c$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Faire une figure, dans laquelle on placera les points A, B, C. L'unité graphique est 2~cm.
Voir la figure à la fin de l'exercice. 
		\item %Calculer la longueur BC.
On a BC $ = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}  \right| = \left|\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}- 1 - 3\text{i} \right| = \left|\dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2}\text{i}  \right| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left(- \dfrac{7}{2} \right)^2} =$

$ \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{49}{4}} =  \sqrt{\dfrac{50}{4}} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
		\item %Quelle est la nature du triangle OBC ? Justifier la réponse.
On OB$^2  = |b|^2  = 10$ et OC$^2 = \dfrac{10}{4}$ (vu plus haut).

Or OB$^2 + \text{OC}^2 = 10 + \dfrac{10}{4} = \dfrac{40}{4} + \dfrac{10}{4} = \dfrac{50}{4} = \text{BC}^2$.

OB$^2 + \text{OC}^2 = \text{BC}^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle BC est rectangle en O.
 	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Démontrer que la droite (OA) est une bissectrice du triangle OBC.
On a $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OA}} \right) = \text{arg}\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{O}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{O}}} = \text{arg}\dfrac{2 + \text{i}}{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\text{i}} = \text{arg} \dfrac{4 + 2\text{i}}{3  - \text{i}} = \text{arg}\dfrac{(4 + 2\text{i})(3 + \text{i})}{(3 - \text{i})(3 + \text{i})} = $

$\text{arg}\dfrac{12 - 2 + 4\text{i} + 6\text{i}}{9 + 1} = \text{arg}\dfrac{10 +10\text{i}}{10} = \arg (1 + \text{i})$.

Or $1 + \text{i}$ a pour module $\sqrt{2}$, donc :

$1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}  + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin  \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}$.

Donc $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OA}} \right) =  \dfrac{\pi}{4}$ et par conséquent $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ (puisque le triangle OBC est rectangle en O) et la droite (OA) est une bissectrice du triangle OBC.

On aurait pu aussi montrer que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}} \right) = \text{arg} (1 + \text{i})$ en faisant un calcul analogue à celui de $\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OA}} \right)$.

\emph{Autre méthode :} On peut montrer que OCA est un triangle rectangle isocèle en C avec la réciproque du théorème de Pythagore). Il en résulte que $\widehat{\text{COA}} = 45~\degres$... d'où la bissectrice.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1)(2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2,1)(1,3)(1.5,-0.5)(0,0)
\pspolygon(1,3)(1.5,-0.5)(0,0)
\pspolygon(0,0)(1,3)(1.5,-0.5)
\psline(0,0)(2,1)(1.5,-0.5)
\uput[ur](2,1){A}\uput[dr](1.5,-0.5){C}\uput[ur](1,3){B}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} 

\bigskip

%\parbox{0.4\linewidth}{L'organisateur d'une compétition de skateboard souhaite construire une piste dont le profil dans un plan est schématisé ci-contre dans un repère orthonormal, en convenant qu'une unité dans le repère correspond à 1~mètre.}\hfill
%\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-6,-1.5)(4,8)
%\psaxes(0,0)(-6,0)(4,8)
%\psline[linewidth=1.5pt](0,4)(-6,7)(-6,0)(4,0)(4,7.437)
%\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.5pt]{0}{4}{x dup mul 4 div x sub 2 add 2.71828 x 4 div exp mul 2 add}
%\uput[ur](-6,7){A}\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](4,7.437){C}
%\end{pspicture}} 
%
%
%Sur ce profil, on considère que :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la piste entre les points A et B est rectiligne, elle est donc modélisée par un segment ; 
%\item[$\bullet~~$] la piste entre les points B et C est modélisée par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de  l'intervalle [0~;~4] par : $f(x) = 2 + \left(\dfrac{1}{4}x^2 - x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\textbf{Partie A - Modélisation de la piste}

\medskip
 
%Dans le repère, les coordonnées des points A et B sont respectivement A$(-6~;~7)$ et B(0~;~4).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Détermination graphique d'une équation de la droite (AB)}
 
%La droite (AB) a une équation du type $y = a x + b$, où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer dans cette question. 
	\begin{enumerate}
		\item %À partir des données de l'énoncé, donner la valeur du nombre $b$.
$b$ est l'ordonnée à l'origine soit $b = 4$. L'équation est donc $y = ax + 4$. 
		\item %En utilisant les coordonnées du point A, déterminer la valeur du nombre $a$.
	A$(-6~;~7) \in \text{AB} \iff 7 = a \times (- 6) + 4 \iff 6a = 4 - 7 \iff 6a = - 3 \iff$
	
$ a = - \dfrac{1}{2}$.
	
L'équation est donc $y = - \dfrac{1}{2}x + 4$.
	\end{enumerate} 
\item %\textbf{Raccordement de la droite (AB) avec la courbe représentative de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath
 
%On note $f^{\prime}$ la dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que pour tout nombre réel $x :\quad f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{16}\left(x^2 + 4x - 8\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$.
En dérivant le produit, on obtient pour tout réel $x$ :
		
$f^{\prime}(x) = \left(\dfrac{1}{4}\times 2 x - 1\right)\text{e}^{\frac{x}{4}} + \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{4}x^2 - x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{4}} = \text{e}^{\frac{x}{4}}\left(\dfrac{1}{2}x - 1  + \dfrac{1}{16}x^2 - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2} \right) =$

$ \left(\dfrac{1}{16}x^2 + \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}\right)\text{e}^{\frac{x}{4}} = \dfrac{1}{16}\left(x^2 + 4x - 8\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$.  
		\item %Vérifier que le point B est situé sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$ puis que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B.
Avec $x = 0$, on a $f(0) = 2 + \left(\dfrac{1}{4}\times 0^2 - 0 + 2  \right)\text{e}^{\frac{0}{4}} = 2 + 2 = 4$, ce qui montre que B appartient à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.

Tangente en B : on sait que la tangente en B a pour coefficient directeur le nombre dérivé en $0$, soit $f^{\prime}(0) = \dfrac{1}{16}\left(0^2 + 4\times 0 - 8\right)\text{e}^{\frac{0}{4}} = \dfrac{1}{16}\times (- 8) = - \dfrac{1}{2}$ qui est bien égal au coefficient directeur de la droite (AB).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %\textbf{Étude des variations et du signe de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 + 4x - 8 = 0$.
		$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times (- 8) = 16 + 32 = 48 = \left(4\sqrt{3} \right)^2$.
		
		$\Delta > 0$ : l'équation a donc deux solutions réelles :
		
\[x_{1} = \dfrac{- 4 + 4\sqrt{3}}{2} = - 2 + 2\sqrt{3} \quad \text{et}\quad x_{2} = - 2 - 2\sqrt{3}\]
		\item %Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{16}\left(x^2 + 4x - 8\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$.

On sait que $\dfrac{1}{16} > 0$ et que quel que soit le réel $x$, \text{e}^{\frac{x}{4}} > 0$ : le signe de $f^{\prime}(x)$ est donc celui du trinôme  $x^2 + 4x - 8$.

On sait que ce trinôme est positif sauf entre les racines.

Donc sur $\left[0~;~- 2 + 2\sqrt{3}], \: f^{\prime}(x) \leqslant 0$ : le fonction est décroissante sur cet intervalle ;

Sur $\left[- 2 + 2\sqrt{3}~;~4], \: f^{\prime}(x) \geqslant 0$ : le fonction est croissante sur cet intervalle.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. Préciser les valeurs, arrondies au dixième, du maximum et du minimum de la fonction $f$ sur cet intervalle.
Le minimum de la fonction sur [0~;~4] est $f\left(- 2 + 2\sqrt{3}\right) =$

$  2 + \dfrac{1}{4}\left[\left(- 2 + 2\sqrt{3} \right)^2 - \left(- 2 + 2\sqrt{3}\right) + 2\right]\text{e}^{\frac{- 2 + 2\sqrt{3}}{4}}\approx 3,545 \approx 3,5.

Le maximum de la fonction sur [0~;~4] est $f(4) = 2 + \dfrac{1}{4}\left(4^2 - 4 + 2\right)\text{e}^{\frac{4}{4}} = 2 + \dfrac{9}{3}\text{e} \approx 7,44 \approx 7,4$.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.2,2){$0$} \uput[u](4,2){$2\sqrt{3} - 2$} \uput[u](6.8,2){$4$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[d](1.2,2){$4$} \uput[u](4,0){$\approx 3,5$}\uput[d](6.6,2){$\approx 7.4$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~4], $f(x) > 3,5$.
Le tableau montre que sur [0~;~4] le minimum est environ $3,54 > 3,5$. Donc pour tout réel de [0~;~4], $f(x) > 3,5$. 
	\end{enumerate} 
\item %\textbf{Calcul d'une intégrale}
 
%Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] par:  

%\[F(x) = 2x + \left(x^2 - 12x + 56\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
$F$ est dérivable sur [0~;~4] et sur cet intervalle :

$F^{\prime}(x) = 2  + (2x - 12)\text{e}^{\frac{x}{4}} + \dfrac{1}{4}\left(x^2 - 12x + 56\right)\text{e}^{\frac{x}{4}} = 2 + \text{e}^{\frac{x}{4}}\left(2x - 12 + \dfrac{1}{4}x^2 - 3x + 14\right) = 2 + \text{e}^{\frac{x}{4}}\left(\dfrac{1}{4}x^2 - x + 2 \right) = f(x)$.

Conclusion : $F$ est une primitive de $f$ sur [0~;~4]. 
		\item %En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4  f(x)\:\text{d}x$.
		
$I = \displaystyle\int_{0}^4  f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{0}^4 = F(4) - F(0) =$

$ 2\times 4 + \left(4^2 - 12\times 4 + 56\right)\text{e}^{\frac{4}{4}} - \left[2\times 0 + \left(0^2 - 12\times 0 + 56\right)\text{e}^{\frac{0}{4}} \right] = 8  + 24\text{e} - 56 = 24\text{e} - 48$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane}

\medskip
 
%Pour déterminer le volume de béton nécessaire à la construction de la piste, l'organisateur doit connaître, sur le profil plan, l'aire de la surface située sous la piste. Pour cela, il découpe cette surface en deux parties.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On note O et E les points de coordonnées respectives O(0~;~0) et E$(- 6~;~0)$, et $\mathcal{S}_{1}$ l'aire en m$^2$ du quadrilatère ABOE. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABOE ?
ABOE est un  trapèze car (OB) et (EA) sont parallèles.  
		\item %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{S}_{1}$.
On a donc $\mathcal{S}_{1} = \dfrac{\text{OB} + \text{EA}}{2} \times \text{OE} = \dfrac{7 + 4}{2}\times 6 = 3 \times 11 = 33$~m$^2$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $\mathcal{S}_{2}$ l'aire en m$^2$ de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.
 
%Calculer la valeur exacte de $\mathcal{S}_{2}$, puis sa valeur arrondie au dm$^2$. En déduire l'aire totale du profil de la piste, en m$^2$.
La fonction $f$ étant positive sur [0~;~4], l'aire $\mathcal{S}_{2}$ de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$ est égale à l'intégrale calculée précédemment soit  $\mathcal{S}_{2} = 24\text{e} - 48$~m$^2$.

$\mathcal{S}_{2} \approx 17,238 \approx 17,24$~m$^2$ au dm$^2$ près.

L'aire totale du profil de la piste est donc égale à :

$\mathcal{S}_{1} + \mathcal{S}_{2} \approx 33 + 17,24 \approx 50,24$~m$^2$ au dm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}