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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie 14 septembre 2012~\decofourright\\[4pt] Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions suivantes, \textbf{une seule} des réponses proposées est correcte.
% 
%Aucune justification n'est demandée.
% 
%Chaque bonne réponse rapporte un point. Une absence de réponse ou une mauvaise réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.
% 
%Le candidat indiquera sur la copie, le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse proposée.
%
%\medskip
% 
%Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}} = \sqrt{3}- \text{i}, \quad  z_{\text{B}} =  \sqrt{3} + \text{i}, \quad 
%z_{\text{C}}  = - \sqrt{3} + \text{i}, \quad  z_{\text{D}}  = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Les solutions complexes de l'équation $z^2 - 2\sqrt{3} z + 4 = 0$ sont : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$&\textbf{b.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{C}}$&\textbf{c.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ &\textbf{d.} $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{D}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
$\Delta = 4 \times 3 - 4 \times 4 = - 4 = (2\text{i})^2$. Le discriminant est négatif, l'équation a deux solutions complexes conjuguées : $\dfrac{2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = \sqrt{3} + \text{i}$ et $\sqrt{3} + \text{i}$. Réponse \textbf{c.}
\item %Le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$ sont: 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
%\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
%\end{array}\right.$&
%\textbf{b.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%\left|z_{\text{A}} \right|&=&\sqrt{2}\\
%\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{\pi}{3}
%\end{array}\right.$&
%\textbf{c.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
%\text{arg}\: z_{\text{A}} &= & \dfrac{5\pi}{6}
%\end{array}\right.$&
%\textbf{d.} $\left\{\begin{array}{l c l}
%\left|z_{\text{A}} \right|&=&2\\
%\text{arg}\: z_{\text{A}} &= &- \dfrac{\pi}{6}
%\end{array}\right.$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = \left|\sqrt{3}- \text{i}\right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.

On a donc $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} +  \text{i}\dfrac{- 1}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{- \pi}{6} + \text{i}\sin \frac{- \pi}{6}\right)$.

Réponse \textbf{d.}
\item %L'ensemble des points d'affixe $z$ tels que $\left|z - \sqrt{3} - \text{i}\right| = \left|z - \sqrt{3} + \text{i}\right|$  est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} la droite (CD)&\textbf{b.} l'axe des abscisses&\textbf{c.} l'axe des ordonnées&\textbf{d.} la droite (AB)\\
%\end{tabularx}
$\left|z - \sqrt{3} - \text{i}\right| = \left|z - \sqrt{3} + \text{i}\right| \iff \left|z - \left(\sqrt{3} + \text{i} \right)  \right| = \left|z - \left(\sqrt{3} - \text{i} \right)  \right| \iff \left|z - z_{\text{B}} \right| = \left|z - z_{\text{A}} \right| \iff$

$ \text{B}M = \text{A}M$. Les points de l'ensemble sont donc équidistants de A et de B.

L'ensemble est donc la médiatrice de [AB], mais comme A et B sont symétriques autour de l'axe des abscisses, cette médiatrice est l'axe des abscisses : réponse \textbf{b.}
\medskip 
\item %Le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}}$ est égal à : 
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} $- 1$&\textbf{b.} $1$& \textbf{c.} $1 - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$&\textbf{d.} $\dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$\\
%\end{tabularx}
Calculons $\dfrac{z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{\sqrt{3} - \text{i}} = \dfrac{\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)}{\left(\sqrt{3} - \text{i} \right)\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)} = \dfrac{3 - 1 + 2\text{i}\sqrt{3}}{3 + 1} = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. 

Réponse :  \textbf{d.}
\medskip

\item %L'affixe du point E, tel que le quadrilatère DEAC est un parallélogramme, est: 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.} $- 3\sqrt{3} + \text{i}$&\textbf{b.} $2\sqrt{3} - 2\text{i}$& \textbf{c.} $\sqrt{3} - 3\text{i}$&\textbf{d.} $\sqrt{3} + \text{i}$\\
%\end{tabularx}
DEAC est un parallélogramme $\iff \vect{\text{DE}} = \vect{\text{CA}}\iff z_{\text{E}} - z_{\text{D}} = z_{\text{A}} - z_{\text{C}} \iff z_{\text{E}} = z_{\text{D}} + z_{\text{A}} - z_{\text{C}} = - \sqrt{3} - \text{i} + \sqrt{3} - \text{i} +  \sqrt{3} - \text{i} = \sqrt{3} - 3\text{i}$. Réponse : \textbf{c.} 
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
%On considère le circuit ci-dessous composé d'une bobine, d'un condensateur et d'un interrupteur. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(8,3.75)
%\pnode(0,3){A}\pnode(3,3){B}\switch(A)(B){Interrupteur}
%\pnode(0,0){C}\capacitor(A)(C){Condensateur}
%\pnode(8,3){D} \coil(B)(D){Bobine}
%\psline(0,0)(8,0)(8,3)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Le condensateur est initialement chargé.
% 
%Au temps $t = 0$, on ferme l'interrupteur. On étudie alors la décharge du condensateur dans la bobine.
% 
%On admet qu'à un instant $t$, la charge $q$ du condensateur, qui est une fonction du temps $t$, est solution de l'équation différentielle $(E)$ : 
%
%\[q^{\prime\prime} + 121 \times 10^6 q = 0\]
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
L'équation est de la forme  $q^{\prime\prime} + \omega^ q = 0$, avec $\omega = 11 \times 10^3$.

Une solution est de la forme : $q(t) = A\cos \left(11 \times 10^3 \right)t + B \sin \left(11 \times 10^3 \right)t$, avec $A$ et $B$ réels quelconques.
\item %Déterminer l'expression de la solution particulière $q$ de $(E)$ qui vérifie les conditions : 

%\[q(0) = 2 \times 10^{-6}\quad  \text{et}\quad  q^{\prime}(0) = 0.\]
% 
%Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction $q$ ainsi obtenue. 
$q$ est dérivable sur $\R$ et $q^{\prime}(t) = - 11 \times 10^3A\sin \left(11 \times 10^3 \right)t + 11 \times 10^3B\cos  \left(11 \times 10^3 \right)t$.

Donc $\left\{\begin{array}{l c l}
q(0) &=& 2 \times 10^{-6}\\
q^{\prime}(0) &=& 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
A&=&2 \times 10^{-6}\\
11 \times 10^3B&=&0
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
A&=&2 \times 10^{-6}\\
B&=&0
\end{array}\right.$

La solution particulière est donc 

\[q(t) = 2 \times 10^{-6}\cos \left(11 \times 10^3 \right)t.\]

\item %Montrer que l'intensité $i(t)$, définie par $i(t) = q^{\prime}(t)$, où $q^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $q$, est donnée, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, par: 

%\[i(t) = - 2, 2 \times 10^{-2} \sin \left(11 \times 10^3 t\right).\] 
$q^{\prime}(t) = i(t) = - 2 \times 10^{-6} \times 11 \times 10^3 \sin \left(11 \times 10^3 \right)t = 22 \times 10^{- 3} \sin \left(11 \times 10^3 \right)t = 2,2 \times 10^{- 2}\sin \left(11 \times 10^3 \right)t $.
\item %Déterminer la valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}\right]$.

%On en donnera la valeur exacte.
 
%On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[a~;b]$ est donnée par: 

%\[\dfrac{1}{b - a}\int_{a}^b f(t)\:\text{d}t.\]
La valeur moyenne de la fonction $q$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}\right]$ est donc égale à :

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}} q(t)\:\text{d}t = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}} 2 \times 10^{-6}\cos \left(11 \times 10^3 \right)t\:\text{d}t  =$

$ \left[\dfrac{1}{11 \times 10^3}\times 2 \times 10^{-6}\sin \left(11 \times 10^3 \right)t\right]_{0}^{\frac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}} =$

$ \dfrac{2 \times  10^{- 6}}{11 \times 10^3}\left[\sin \left(11 \times 10^3 \right)t \right]_{0}^{\frac{\pi \times 10^{- 3}}{2 \times 11}} = \dfrac{2}{11}\times 10^{- 9}\sin \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2}{11}\times 10^{- 9}.$
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}

\medskip
 
%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[g(x) = 3 - 3\ln x + x^3.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction dérivée $g^{\prime}$ de la fonction $g$ peut s'écrire, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, sous la forme :
		 
%\[g^{\prime}(x) = \dfrac{3(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x}.\]
Sur $]0~;~+ \infty[$, toutes les fonctions sont dérivables et sur cet intervalle :

$g^{\prime}(x) = -3 \dfrac{1}{x} + 3x^2 = 3\left(x^2 - \dfrac{1}{x}\right) = 3\left(\dfrac{x^3 - 1} {x}\right)$.

Or $x^3 - 1$ s'annule pour $x = 1$ : on peut donc écrire :

$x^3 - 1 = (x - 1)\left(x^2 + bx + c\right)$, soit :

$x^3 - 1 = x^3 + bx^2 + cx - x^2 - bx - c = x^3 + x^2(b - 1) + x(c - b) - c$.

En identifiant les deux écritures : $b - 1 = 0 \iff b  = 1\:;\:-c = - 1 \iff c = 1$.

Donc $x^3 - 1 = (x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)$.

Finalement  : $g^{\prime}(x) = \dfrac{3(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)}{x}$.
		\item %Déterminer le signe de $g^{\prime}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$.
Le trinôme $x^2 + x + 1$ a un discriminant ($\Delta = 1 - 4 = - 3$ négatif il est donc du signe du coefficient de $x^2$ donc positif pour tout réel ; comme $x > 0$ il en résulte que le signe de $g^{\prime}(x)$ est celui de $x - 1$.

Donc si $x > 1,\:g^{\prime}(x) > 0$ ;

si x = 1,\: g^{\prime}(x) < 0$.
		\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On en déduit le tableau de variations de $g$ :
		
\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)
\psline(1,0)(1,2.5)
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.15,2){$0$}\uput[u](4,2){$1$}\uput[u](6.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](4,0){4}\rput(0.5,1){$g(x)$}
\end{pspicture}		
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Donner la valeur de $g(1)$.
$g(1) = 3 - 3\ln 1 + 1^3 = 3 + 1 = 4$. 
\item %Déduire des questions précédentes que la fonction $g$ est strictement positive sur l'intervalle  $]0~;~+ \infty[$.
D'après le tableau de variations le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+ \infty[$ est égal à 4, donc $g(x) \geqslant 4 > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[f(x) = 3 \dfrac{\ln x}{x}+ \dfrac{1}{2}x^2 + 1.\]
 
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{\Ln x}{x} = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x} = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Établir que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

%\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2},\: \text{où}\: g \:\text{est la fonction définie dans la \textbf{partie A}}.\] 
$f^{\prime}(x) = 3 \dfrac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2} + \dfrac{1}{2} \times 2 x = \dfrac{3 - 3\ln x}{x^2} + x = \dfrac{3 - 3\ln x + x^3}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item %En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On a vu à la question \textbf{A 3.} que $g(x) > 0$ sur $]0~;~+ \infty[$, donc sur cet intervalle  $f^{\prime}(x) > 0$.
		\item %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		Le résultat précédent montre que $f$ est strictement croissante sur $]0~;~+ \infty[$ de moins l'infini à plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que sur l'intervalle [0,5~;~1], la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point.
Le résultat précédent montre que sur l'intervalle  [0,5~;~1], $f$ est strictement croissante de $f(0,5) = \dfrac{3\ln 0,5}{0,5 + \dfrac{1}{2}0,5^2 + 1 } \approx -3 < 0$ à 

$f(1) = \dfrac{3\ln 1}{1}+ \dfrac{1}{2}1^2 + 1 = \dfrac{1}{2}1 + 1 = \dfrac{3}{2} > 0$.

Il existe donc un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$, $\alpha$ étant l'abscisse du point unique o\`u la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses.

%À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice donne successivement : $0,5 < \alpha < 1$ ;

0,7 < \alpha < 0,8$ ;

0,73 < \alpha < 0,74$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = \dfrac{1}{2} x^2 + 1$ dans le repère \Oij. La parabole $\mathcal{P}$ est représentée en \textbf{annexe}, à rendre avec la copie. 

%Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
Soit $d$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par d(x) = f(x) - \left(\dfrac{1}{2} x^2 + 1 \right) = 3 \dfrac{\ln x}{x}+ \dfrac{1}{2}x^2 + 1 - \left(\dfrac{1}{2} x^2 + 1 \right) = 3 \dfrac{\ln x}{x}$. 

Comme $x > 0$, le signe de $d(x)$ est celui de $\ln x$. On sait que $x>1 \Rightarrow \ln x > 0$ et 0< x < 1 \Rightarrow \ln x < 0$.

Sur ]0~;~1[, $d(x) < 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}$ est sous la parabole $\mathcal{P}$.

Sur $]1~;~+ \infty[$,\:$d(x) > 0$ : la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la parabole $\mathcal{P}$.

Pour $x = 1$ les deux courbes ont en commun le point $\left(1~;~\frac{3}{2}\right)$.
%On précisera les coordonnées du point d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. 
\item %Tracer sur le graphique de \textbf{l'annexe}, à rendre avec la copie, la courbe $\mathcal{C}$.
Voir la figure 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'une aire}

\medskip
 
%On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité, d'une part, par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$, d'autre part, par les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe}, à rendre avec la copie.
Voir la figure à la fin. 
\item %On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

%\[h(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x )^2.\]
 
%Calculer $h^{\prime}(x)$, où $h^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$.
$h$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$h^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \times 2 \ln x \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{\ln x}{x}$.


\item %Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unité d'aire.
Donc $h$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto \dfrac{\ln x}{x}$.

Une primitive de la fonction $x \longmapsto 3\dfrac{\ln x}{x}$ est donc $\dfrac{3}{2}(\ln x)^2$.

On a vu que pour $x > 1$, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la parabole, donc l'aire de la surface hachurée est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x) - \left(\dfrac{1}{2}x^2 + 1 \right)\:\text{dx} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} 3\dfrac{\ln x}{x}\:\text{dx} = \left[\dfrac{3}{2}(\ln x)^2 \right]_{1}^{\text{e}}= \dfrac{3}{2}(\ln \text{e})^2 -  \dfrac{3}{2} (\n 1)^2 = \dfrac{3}{2} = 1,5$~unité d'aire.  
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe (problème) \\à rendre avec la copie}}
 
\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3.99,-4.99)(3.99,6.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](-2,3){\blue $\mathcal{P}$}\uput[r](0.5,-4.8){\red $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{2.71828}{x dup mul 0.5 mul  1 add x ln 3 mul x div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.71828}{1}{x dup mul 0.5 mul  1 add}}
\psline(2.71828,0)(2.71828,5)\rput{90}(1.2,0.5){$x = 1$}
\psline(1,0)(1,5)\rput{90}(2.9,0.5){$x = \text{e}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.422}{3.15}{x dup mul 0.5 mul  1 add x ln 3 mul x div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{3.47}{x dup mul 0.5 mul  1 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}