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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI génie civil}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat STI  Antilles-Guyane 20 juin 2012\\[4pt]
Génie mécanique (options A et F), 
Génie civil, Génie énergétique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

%Une machine fabrique \np{10000} pièces par jour. En sortie de fabrication, on a constaté qu'une pièce pouvait présenter deux sortes de défauts : A et B.
%
%Un contrôle qualité a permis d'établir qu'en moyenne :
%
%\begin{itemize}
%\item
%10~\% du total des pièces présentent le défaut A;
%\item 15~\% du total des pièces présentent le défaut B;
%\item 2~\% du total des pièces présentant à la fois les défauts A et B.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
%Compléter le tableau figurant en annexe 1 qui sera à rendre avec la copie.\\
%Aucune justification n'est attendue.
Voir l'annexe à la fin.
\item %On prélève une pièce au hasard dans la production d'une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être choisies.
\begin{enumerate}
\item
%Calculer la probabilité $p_1$ qu'elle n'ait aucun défaut.
D'après le tableau $p_{1} = \dfrac{\np{7700}}{\np{10000}} = \dfrac{77}{100} = 0,77 = 77\,\%$.
\item %Calculer la probabilité $p_2$ qu'elle présente un seul défaut.
D'après le tableau $p_{2} = \dfrac{800 + \np{1300}}{\np{10000}} = \dfrac{\np{2100}}{\np{10000}} = \dfrac{21}{100} = 0,21 = 21\,\%$
\end{enumerate}
\item %Une entreprise commercialise les pièces fabriquées par cette machine.
%\begin{itemize}
%\item
%Les pièces qui ne présentent aucun défaut sont vendues 20 euros chacune.
%\item Les pièces qui présentent les deux défauts ne sont pas mises en vente.
%\item Parmi les pièces qui présentent un seul défaut, 80\,\% sont vendues 12 euros chacune et les autres ne sont pas mises en vente.
%\item Dans tous les cas, le coût de fabrication d'une pièce est 10~euros.
%\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item %Calculer sur les \np{10000} pièces fabriquées le nombre de pièces vendues 12 euros.
On vient de voir que \np{2100} pièces présentent un seul défaut.

80\,\% d'entre elles sont vendues 12~\euro, soit $0,80 \times \np{2100} = \np{1680}$.

Sur \np{10000} pièces, \np{1680} sont vendues 12~\euro. 
\item %Sur les \np{10000} pièces fabriquées, montrer que l'entreprise peut espérer un bénéfice de \np{74160} euros.
Les \np{7700} pièces ne présentant aucun défaut coûtent 10~\euro{} et sont vendues 20~\euro{} : elles procurent un bénéfice de $\np{7700} \times 10 = \np{77000}$~\euro.

Pour les \np{2100} pièces présentant un seul défaut :

- \np{1680} sont vendues 12~\euro{} et procurent donc un  bénéfice de 

$\np{1680} \times (12 - 10) = \np{1680} \times 2 = \np{3360}$~\euro ;

- les $\np{2100} - \np{1680} = 420$ restantes ne sont pas vendues et procurent une perte de $420 \times 10 = \np{4200}$~\euro.

Enfin les 200 pièces présentant les deux défauts procurent une perte de $200 \times 10 = \np{2000}~$\euro.

Pour \np{10000} pièces produites l'entreprise peut espérer un bénéfice de :

$\np{77000} + \np{3360} - \np{4200} - \np{2000} = \np{80360} - \np{6200} = \np{74160}$~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Ex 2 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. On ne demande aucune justification.\\
%Chaque réponse juste rapporte 1 point; une réponse fausse enlève \np{0,25} point; une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Si le total des points est négatif, il est ramené à zéro.}
%
%\smallskip
%
%On désigne par $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Réponse c.
%Le nombre complexe $z=1 + \i\sqrt{3}$ a pour nombre complexe conjugué:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}}
%$-1- \i\sqrt{3}$ & $-1+ \i\sqrt{3}$ & $1- \i\sqrt{3}$ & $\dfrac{1}{1+\i\sqrt{3}}$
%\end{tabular}
%\end{center}
\item %L'équation $\dfrac{z-1}{z+1}=\i$ d'inconnue $z$ admet pour solution:
Avec $z \neq - 1$, on a $\dfrac{z-1}{z+1}= \i \iff z - 1 = \i(z + 1) \iff z(1 - \i) = 1 + \i \iff z = \dfrac{1 + \i}{1 - \i} \iff $

$z  = \dfrac{(1 + \i)(1 + \i)}{(1 - \i)(1 + \i)}\iff z = \dfrac{1 - 1 + 2\i}{1 + 1}\iff z = \i$.

Réponse a.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}}
%$\i$ & $\dfrac12-\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac12+\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\i$
%\end{tabular}
%\end{center}

\item %Le nombre complexe $z=2\sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ a pour forme algébrique:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}}
%$-2+2\i$ & $2+2\i$ & $2+\i\sqrt{2}$ & $2-2\i$
%\end{tabular}
%\end{center}
On a $\e^{\i\frac{3\pi}{4}} = \cos \frac{3\pi}{4} + \i \sin \frac{3\pi}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \i \frac{\sqrt{2}}{2}$ ; donc :

$z = 2\sqrt{2}\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + \i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = - 2 + 2\i$.

Réponse a.
\item %Le nombre complexe $z=-4\i$ a respectivement pour module et argument:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}}
%4 et 0 & 1 et $\dfrac{\pi}{4}$ & 4 et $-\dfrac{\pi}{2}$  & $-4$ et $\dfrac{3\pi}{2}$
%\end{tabular}
%\end{center}
$z = 4 \times (- \i) = 4 \times \e^{\frac{- \pi}{2}}$.

Réponse c.
\item %Le nombre complexe $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac12\i$ a pour notation exponentielle:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{@{a)~~}p{2cm}@{~~b)~~}p{2cm}@{~~c)~~}p{2cm}@{~~d)~~}p{2cm}}
%$-\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$ & $\e^{\i\frac{\pi}{6}}$ & $-\e^{\i\frac{\pi}{6}}$
%\end{tabular}
%\end{center}
On a $z=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac12\i = \cos \frac{-\pi}{6} + \i \sin  \frac{-\pi}{6} = \e^{-\i \frac{\pi}{6}}$.

Réponse b.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Pb 10 points
\textbf{\textsc{Problème } \hfill 10 points}
 
\smallskip

%On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.\\
%Les deux parties de ce problème peuvent être traitées de manière indépendante.
%
%\smallskip

\textbf{Partie A: lectures graphiques}

\medskip

%La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\e^{-x}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(7,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-4,-3)(7,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.0}{7.0}{(2*x+3)*EXP(-x)}
\psplot{-4}{7}{(--3-1*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\large $A$}
\psdots[dotstyle=*](3,0)
\rput[bl](2.7,-0.44){\large $B$}
\uput[-135](-1,4){\large $\mathcal{D}$}
\uput[180](-1.8,-2){\blue \large $\mathcal{C}$}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{(2*x+3)*EXP(-x)}
\psline(1,0)(0,0)
}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

%La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$ d'abscisse $0$.\\
%Cette tangente passe par le point $B$ de coordonnées $(3~;~0)$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On lit $f(0) = 3$.
%Lire graphiquement $f(0)$.
\item %En déduire la valeur de $b$.
On a $f(0) = b\e^{- 0} = b = 3$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
%Lire graphiquement le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{D}$.
Le repère est orthonormal , donc le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$ est égal à : 

$f'(0) = \dfrac{- 3}{3} = - 1$
\item %On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.\\
%Pour tout réel $x$, calculer $f^{\prime}(x)$, puis en déduire la valeur de $a$.
En appliquant la règle sur la dérivée d'un produit :

$f^{\prime}(x) = a\e^{- x} + (- 1) \times (ax + b)\e^{- x} = \e^{- x}(a - ax - b) = \e^{- x}(a - 3 - ax)$.

On a vu que $f^{\prime}(0)  = - 1$, soit :

$\e^{- 0}(a - 3) = - 1 \iff a - 3 = - 1 \iff a = 2$.

On a donc quel que soit le réel $s, \quad f(x) = (2x + 3)\e^{- x}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B: étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x+3)\e^{-x}$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\e^{- x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (2x + 3) = - \infty$, d'o\`u par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)  = - \infty$.

%Étudier la limite de $f$ en $-\infty$.
\item %Étudier la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On peut écrire en développant :

$f(x) = 2x\e^{- x} + 3\e^{- x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{- x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\e^{- x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)  = 0$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{- x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\e^{- x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)  = 0$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
%Démontrer que pour tout réel $x$, on a: $f^{\prime}(x)=(-2x-1)\e^{-x}$.
On a vu que $f^{\prime}(x) = \e^{-x}(a - 3  -ax) = (-2x - 1)\e^{-x}$.
\item %Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
On sait que quel que soit le réel $x$, $\e^{- x} > 0$, donc le signe de $f^{\prime}$ est celui du facteur $(- 2x - 1)$.

$- 2x - 1 > 0 \iff - 1 > 2 x \iff - \dfrac{1}{2} > x$ ;

de m\^eme $- 2x - 1 < 0 \iff - 1 < 2 x \iff - \dfrac{1}{2} < x$.
\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
Les résultats précédents montrent que : 

- $f$ est croissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$ ;

-  $f$ est décroissante sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$. (ce qui correspond bien à la courbe donnée).

De plus $f\left(- \frac{1}{2} \right) = \left(2 \times \left(- \frac{1}{2}\right) + 3\right)\e^{ \frac{1}{2}} = 2\e^{ \frac{1}{2}}$.

On a donc le tableau de variations suivant :

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](6.5,2.5){$+ \infty$}
\rput[u](0.5,2.25){$f^{\prime}(x)$} \uput[u](2.5,2){$+$} \uput[u](4,2){$0$}  \uput[u](5.5,2){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)  \psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$2\e^{\frac{1}{2}}$}\uput[u](6.8,0){$0$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item
%Vérifier que pour tout réel $x$, on a: $f(x)= -f^{\prime}(x)+2\e^{-x}$.
Calculons : $-f^{\prime}(x) + 2\e^{-x} = -(-2x-1)\e^{-x} + 2\e^{-x} = 2x\e^{-x} + \e^{-x} + 2\e^{-x} = 2x\e^{-x} + 3\e^{-x} = (2x + 3)\e^{-x} = f(x)$.
\item %En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
Une primitive de $- f^{\prime}(x)$ est $- f(x)$ ;

Une primitive de $2\e^{-x}$ est $- 2\e^{-x}$.

Donc par somme : une primitive de $-f^{\prime}(x)+2\e^{-x}$ (donc de $f(x)$) est $F(x) = - f(x) - 2\e^{-x} = - (2x + 3)\e^{-x} - 2\e^{-x} = - 2x\e^{-x} - 3\e^{-x} - 2\e^{-x} = - 2x\e^{-x} - 5\e^{-x} = F(x) = (- 2x - 5)\e^{-x}$.
\end{enumerate}
\item %On considère l'intégrale $I=\displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x$.
\begin{enumerate}
\item
%Calculer la valeur exacte de $I$, puis donner une valeur approchée de $I$ à $10^{-3}$ près.
D'après la question précédente :

$I = \displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x = [F(x)]_{0}^1 = F(1) - F(0) = \left((- 2 \times 1 - 5)\e^{- 1} \right) - \left((- 2\times 0 - 5)\e^{- 0} \right) = - 7\e^{- 1} + 5 = 5 - 7\e^{- 1}$.

La calculatrice donne : $I \approx 2,4248 \approx 2,425$ à $10^{-3}$ près.

\item %Étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
On a $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant 2x \leqslant 2 \Rightarrow 3 \leqslant 2x + 3 \leqslant 5$. Donc sur [0~;~1], $2x + 3 > 0$ et
comme $\e^{- x} > 0$ pour tout réel $x$, $f(x) > 0$ sur [0~;~1].
\item %Interpréter $I$ comme l'aire, en unités d'aire, d'un domaine du plan à définir.
On vient de voir que sur l'intervalle [0~;~1], la fonction $f$ est positive, donc $I$ est la mesure en unités d'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.

On vérifie sur la figure que $I$ vaut à peu près deux unités et demie.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe de l'exercice 1}\\
(à rendre avec la copie)}

\bigskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1cm}|}
\hline
& Nombre de pièces présentant le défaut A& Nombre de pièces ne présentant pas le défaut A&Total\\
\hline
Nombre de pièces présentant le défaut B &200 &\np{1300} &\np{1500} \\\hline
Nombre de pièces ne présentant pas le défaut B &800 &\np{7700} &\np{8500} \\\hline
Total &\np{1000} &\np{9000} & \np{10000}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}}