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% Tapuscrit : Denis Vergès
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STI génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 14 septembre 2012 ~\decofourright\\[4pt] Génie mécanique, énergétique, civil}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation suivante: 

%\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
On a $\Delta = \left(2\sqrt{3} \right)^2 - 4 \times 4 = 12 - 16 = - 4 = (2\text{i})^2 < 0$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{- 2\sqrt{3} + 2\text{i}}{2} = -\sqrt{3} + \text{i} \quad \text{et}\quad z_{2} = -\sqrt{3} - \text{i}.\]
 
\item %On considère les points A et B du plan d'affixes respectives : 

%\[z_{\text{A}} = - \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}} = - \sqrt{3} - \text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$.
		$\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}} \right| = 2$.
		
On a donc $z_{\text{A}} = 2\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right)$.

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\frac{5\pi}{6}$.

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$,\: $\left|z_{\text{A}} \right| = 2$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $- \frac{5\pi}{6}$.
		\item  %Écrire $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$,  où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel de l'intervalle $]- \pi~;~\pi]$.
$z_{\text{A}} =  = 2\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. 
		\item  %Placer les points A et B dans le plan muni du repère \Ouv. (La figure sera réalisée sur la copie.)
		A et B appartiennent au cercle centré en O de rayon 2 ; A et B se placent avec leurs  ordonnées, respectivement $\frac{1}{2}$ et $- \frac{1}{2}$. Voir la figure à la fin.  
		\item  %Démontrer que le triangle OAB est un triangle équilatéral.
On sait que $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{B}} \right| = \text{OA} = \text{OB} = 2$, donc le triangle OAB est isocèle en O.

D'autre part $\widehat{\text{AOB}} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

L'angle au sommet valant $\frac{\pi}{3}$, les deux angles à la base ont également pour mesure $\frac{\pi}{3}$ : OAB a ses trois angles de même mesure : il est équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item %On considère l'équation d'inconnue $z$  : 

%\[2z - 4\text{i} = \text{i}z + 2. \]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le nombre complexe 2i est la seule solution de cette équation.
		Dans $\C, \: 2z - 4\text{i} = \text{i}z + 2 \iff z(2 - \text{i}) = 2 + 4\text{i} \iff z = \dfrac{2 + 4\text{i}}{2 - \text{i}} \iff$
		
$z = \dfrac{(2 + 4\text{i})(2 + \text{i})}{(2 - \text{i})(2 + \text{i})} \iff z =		 \dfrac{4  + 2\text{i} + 8\text{i} - 4}{4 + 1} \iff z = \dfrac{10\text{i}}{5} = 2\text{i}$.
		
Le nombre complexe 2i est la seule solution de cette équation.

		\item %On note C le point d'affixe 2i. Placer le point C dans le plan muni du repère \Ouv.
Voir la figure 
		\item %Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.
$\vect{\text{BO}}$ a pour affixe $z_{\text{O}} - z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ ;

$\vect{\text{AC}}$ a pour affixe $z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = 2\text{i} + \sqrt{3} - \text{i} = \sqrt{3} + \text{i}$

Donc $\vect{\text{BO}} =  \vect{\text{AC}} \iff $ \:OBAC est un parallélogramme, mais on a vu que OB = BA = 2.

OBAC est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Une absence de réponse ou une réponse erronée n'ôte pas de point.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère l'équation différentielle 

%\[y^{\prime\prime} + 4y = 0,\]

%où $y$ représente une fonction de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.
 
%Une solution de l'équation différentielle est la fonction définie sur $\R$ par: 
%	\begin{enumerate}
%		\item $t \longmapsto \text{e}^{- 2t}$ ; 
%		\item $t \longmapsto \cos (4t)$ ; 
%		\item $t \longmapsto \sin (4t)$ ; 
%		\item $t \longmapsto \cos (2t)$.
%	\end{enumerate}
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par :

$t \longmapsto A\cos 2t + B \sin 2t, A, B \in \R$. Donc réponse \textbf{d.} 
\item %$\left(u_{n}\right)$ est la suite arithmétique dont le terme de rang 1 est $u_{1} = 2$ et dont le terme de rang $3$ est $u_{3} = 8$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 2 ; 
%		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est égale à 3 ; 
%		\item la raison de la suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ est $- 2$ ; 
%		\item la suite arithmétique n'a pas de raison.
Si $r$ est la raison : $u_{2} = u_{1} + r ,\: u_{3} = u_{2} + r
 = u_{1} + 2r$.

Or u_{3} =  = u_{1 + 2r} \iff 8 = 2 + 2r \iff 2r = 6 \iff r = 3$. Réponse  \textbf{b.}
 	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^x$. La fonction $f^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : 
%	\begin{enumerate}
%		\item  $f^{\prime}(x) = \text{e}^x$ ; 
%		\item  $f^{\prime}(x) = (1 + x)\text{e}^x$ ; 
%		\item  $f^{\prime}(x) = (1 - x)\text{e}^x$ ; 
%		\item  $f^{\prime}(x) = (x - 1)\text{e}^x$.
%	\end{enumerate}
$f^{\prime}(x) =  \text{e}^x + x \text{e}^x = \text{e}^x (1 + x)$ : réponse \textbf{b.}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3\text{e}^{1 - x}$. La courbe représentative de $f$ admet pour tangente au point d'abscisse 1 dans un repère \Oij{}: 
%	\begin{enumerate}
%		\item la droite d'équation $y = 1$ ; 
%		\item la droite d'équation $x = 1$ ; 
%		\item la droite d'équation $y = - 3x + 6$ ;
%		\item la droite d'équation $y = \dfrac{- 6}{\text{e}^2}x + \dfrac{9}{\text{e}^2}$ 
%	\end{enumerate}
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé $f^{\prime}(1)$.

Or $f^{\prime}(x) = 3 \times (- 1)\text{e}^{1 - x} = - 3\text{e}^{1 - x}  \Rightarrow  f^{\prime}(1) = - 3 \times 1 = - 3$.

De plus $f(1) = 3$.

Une équation de la tangente au point d'abscisse 1 est 

$y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1) \iff y - 3 = - 3(x - 1) \iff y = 3 - 3x + 3 \iff y = - 3x + 6$ : réponse \textbf{c.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  11 points}

\medskip

%Une cible est constituée d'un carré de 10 cm de côté. 
%La surface de la cible est partagée en quatre zones délimitées par deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. 

\medskip
\psset{unit=10cm}
\begin{center}
\begin{figure}
\begin{pspicture}(0.95,-0.05)(2.1,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](1,0)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt,Ox=1,Dx=20,Dy=20](1,0)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1,Dx=20,Dy=20]{->}(1,0)(2,1)
\psframe[linewidth=1.5pt](1,0)(2,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x ln }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{2 x sub }
\rput(1.85,0.45){zone 1}\rput(1.5,0.25){zone 2}\rput(1.15,0.55){zone 3}\rput(1.55,0.85){zone 4}
\uput[u](1.2,0.19){\blue $\mathcal{C}_{2}$} \uput[u](1.2,0.82){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](1.5,0){1,5} \uput[d](2,0){2} \uput[l](1,0.5){0,5} \uput[l](1,1){1}
\uput[u](2.08,0){$x$}\uput[l](1,1.08){$y$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,arrowsize=2pt 3]{->}(1.56,0.44)(1.56,0)
\uput[d](1.58,0){\color{red} $\approx 1,6$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Étude de fonction}

%\medskip
%  
%On admet que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentent, dans un repère orthonormé d'unité 10~cm, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [1~;~ 2] par 
%
%\[f(x) = \ln (x)\quad  \text{et} \quad  g(x) = 2 - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Attribuer à chacune des fonctions $f$ et $g$ sa courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ ou $\mathcal{C}_{2}$, en justifiant votre choix. 
On sait que la fonction ln est croissante en particulier sur [1~;~2] : sa représentation ne peut être que la courbe $\mathcal{C}_{2}$. Donc $\mathcal{C}_{1}$ est la représentation de la fonction $g$.
\item %Résoudre graphiquement, sur l'intervalle [1~;~2] avec la précision permise par le dessin, l'équation $f(x) = g(x)$.
On lit (voir le graphe) environ 1,6. 
\item %On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par $h(x) = g(x) - f (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction dérivée $h^{\prime}$ de la fonction $h$ est définie sur l'intervalle [1~;~2]  par $h^{\prime}(x) = \dfrac{- x - 1}{x}$.
On a $h^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) = - 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{- 1 - x}{x}$.  
		\item %Déterminer le signe de $h^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [1~;~2]. En déduire le tableau des variations de la fonction $h$.
Comme $x > 0$, le signe de $h^{\prime}(x)$ est celui du numérateur $- 1 - x$.

$- 1 - x > 0 \iff - 1 > x \iff x < - 1$ ; or ici 1 \leqslant x \leqslant 2$ ;

$- 1 - x < 0 \iff - 1 < x \iff x > - 1$ : donc la dérivée est négative sur  [1~;~2] : la fonction $h$ est décroissante sur cet intervalle. On a donc le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5)
\psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\psline{->}(1.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](0.5,2){$x$}\uput[u](1.15,2){$1$}\uput[u](6.85,2){2}
\uput[d](1.15,2){1}\uput[u](6.55,0){$- \ln 2$}\rput(0.5,1){$h(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item %Démontrer que l'équation $h (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~2]. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près. 
$h$ est strictement décroissante sur [1~;~2] ; de plus $h(1) = 1 > 0$ et 
		
$h(2) = - \ln 2 < 0$.
		
Il existe donc un unique réel $\alpha \in [1~;~2]$ tel que $h(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne $h(1,5) \approx 0,09$ et $h(1,6) \approx - 0,07$ donc $1,5 < \alpha < 1,6$, puis 

$h(1,55) \approx 0,011$ et $h(1,56) \approx - 0,005$, donc $1,55 < \alpha < 1,56$.		
	\end{enumerate}
\item %Donner le tableau de signe de la fonction $h$ sur l'intervalle [1~;~2], puis interpréter graphiquement le résultat.
D'après le résultat précédent :

$\bullet~~$ $h(x) > 0$ sur $[1~;~\alpha]$ : géométriquement cela signifie que $\mathcal{C}_{1}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{2}$ sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$ ;  

$\bullet~~$ $h(x) < 0$ sur $[\alpha~;~2]$ : géométriquement cela signifie que $\mathcal{C}_{2}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{1}$ sur l'intervalle $[\alpha~;~2]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Calculs d'aires}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %L'objet de cette question est de déterminer l'aire de la zone 3 sur le dessin.  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle [1~;~2] par $H(x) = 3x - \dfrac{x^2}{2} - x \ln (x)$ est une primitive de la fonction $h$.
$H$ est dérivable sur [1~;~2] et sur cet intervalle :

$H^{\prime}(x) = 3 - 2 x \times \dfrac{1}{2}  - \ln x  - x \times \dfrac{1}{x} = 3 - x - \ln x - 1 = 2 - x - \ln x = h(x)$ : $H$ est donc une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [1~;~2]. 
		\item %Montrer que : 

%\[\int_{1}^{\alpha} h (x)\:\text{d}x = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} -  \alpha \ln (\alpha) - \dfrac{5}{2}.\] 
D'après le résultat précédent :

$\displaystyle \int_{1}^{\alpha} h (x)\:\text{d}x = \left[H(x)\right]_{1}^{\alpha} = H(\alpha) - H(1) = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} - \alpha \ln (\alpha) - \left[3\times 1 - \dfrac{1^2}{2} - 1 \ln (1) \right] = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} - \alpha \ln (\alpha) - 3 + \dfrac{1}{2} = 3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} -  \alpha \ln (\alpha) - \dfrac{5}{2}$.
		\item %En déduire une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{3}$ de la zone 3. On prendra $1,56$ pour valeur approchée de $\alpha$.
En prenant comme valeur approchée de $\alpha$, 1,56, on a 

$\displaystyle \int_{1}^{\alpha} h (x)\:\text{d}x \approx 3 \times 1,56  - \dfrac{1,56^2}{2} -  1,56 \ln (1,26) - \dfrac{5}{2} \approx 0,269$ unité d'aire.

On a vu que sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$, le fonction $h = g - f$ est positive, donc que $\mathcal{C}_{1}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{1}$ et que par conséquent l'intégrale de $h$ sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$ est égale en unité d'aire à la mesure de la surface comprise entre les deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. Comme l'unité est égale à 10 cm, l'unité d'aire est égale à 100~cm$^2$. Finalement :

$\mathcal{A}_{2} \approx 0,269 \times 100 \approx 26,9$~cm$^2$ ou 27~cm$^2$ au cm$^2$ près.		
	\end{enumerate} 
\item  %Déterminer une valeur approchée au cm$^2$ près de l'aire $\mathcal{A}_{2}$ de la zone 2.
On a de fa\c{c}on évidente : $\mathcal{A}_{3} + \mathcal{A}_{2} = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^{2} (2 - x)\:\text{d}x = \left[2x - \dfrac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = 2 \times 2 - \dfrac{2^2}{2} - \left[2 \times 1 - \dfrac{1^2}{2} \right] = 4 - 2 - 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. (c'est de fa\c{c}on aussi simple l'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté 1)

Donc 

$\mathcal{A}_{2} = (\mathcal{A}_{3} + \mathcal{A}_{2}) - \mathcal{A}_{3} = \dfrac{1}{2} - \left[3\alpha - \dfrac{\alpha^2}{2} -  \alpha \ln (\alpha) - \dfrac{5}{2}  \right] = 3 - 3\alpha + \dfrac{\alpha^2}{2} + \alpha \ln \alpha \approx 0,231$~u.a soit environ 23,4~cm$^2$ donc 23~cm$^2$ au cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Probabilités}

\medskip
 
%On admet dans cette question que les zones 1, 2, 3 et 4 ont pour aires respectives $\mathcal{A}_{1} = 16$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{2} = 23$ cm$^2$, $\mathcal{A}_{3} = 27$ cm$^2$ et $\mathcal{A}_{4} = 34$ cm$^2$.
 
%Un joueur inexpérimenté, après un grand nombre d'essais, estime que la probabilité que sa fléchette se plante dans la cible est $\dfrac{4}{5}$. Il estime aussi que la probabilité que sa flèche atteigne l'une des quatre zones est proportionnelle à l'aire de cette zone.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité $P_{0}$ pour le tireur de ne pas atteindre la cible ?
La probabilité est égale à $P_{0} = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5} = 0,2$. 
\item %Les probabilités $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ et $P_{4}$ d'atteindre respectivement les zones 1, 2, 3 et 4 sont données dans le tableau ci-dessous. 

%Vérifier qu'elles sont proportionnelles aux aires des zones $\mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{2}, \mathcal{A}_{3}$ et $\mathcal{A}_{4}$.

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$P_{0}$&$P_{1}$&$P_{2}$&$P_{3}$&$P_{4}$\\ \hline 
probabilité&$0,200$&$0,128$& $0,184$ &$0,216$ &$0,272$\\ \hline
$X$&0&10&5&2&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On a :

$\dfrac{16}{0,128} = 125 \quad; \quad \dfrac{23}{0,184} = 125 \quad; \quad \dfrac{27}{0,216} = 125 \quad; \quad \dfrac{34}{0,272} = 125$. 

Les probabilités sont bien proportionnelles aux aires des quatre zones.
\item %Chaque lancer de fléchette rapporte un certain nombre de points selon la zone qui est atteinte : 

%atteindre la zone 1 rapporte 10 points, la zone 2 rapporte 5 points, la zone 3 rapporte 2 points et la zone 4 rapporte 1 point. 

%Ne pas atteindre la cible ne rapporte aucun point.
 
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lancer associe le nombre de points obtenus. 
	\begin{enumerate}
		\item %Présenter la loi de $X$ sous la forme d'un tableau.
Voir le tableau au dessus 
		\item %Déterminer la probabilité que $X$ soit au plus égal à $2$.
La probabilité est égale à :

$p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = 0,200 + 0,272 + 0,216 = 0,688$. 
		\item %Déterminer l'espérance de $X$.
E$(X) = 0 \times 0,200 + 10 \times 0,128 + 5 \times 0,184 + 2 \times 0,216 + 1 \times 0,272 = 1,28 + 0,92 + 0,432 + 0,272 = 2,904$.  Sur un grand nombre de lancers un lancer rapportera un peu moins de 3 points.
		\item %Estimer le nombre moyen de lancers que doit effectuer le lanceur pour espérer atteindre ou dépasser les $100$~points.
En moyenne un lancer rapporte 2,904 points, donc $n$ lancers rapportent $2,904n$ points. Il faut donc résoudre dans $\N$ l'inéquation :

2,904n \geqslant 100 \iff n \geqslant \dfrac{100}{2,904}$.

Or $\dfrac{100}{2,904} \approx 34,4$.

Il faut donc faire au moins 35 lancers, pour espérer atteindre les $100$~points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}