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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Nouvelle Calédonie novembre 2009~\decofourright\\[5pt] Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\medskip

%Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\textbf{Partie I}

\medskip 


%Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation d'inconnue $z$ : 
%\[z^2 - 6z + 12 = 0.\]
On a $\Delta = (- 6)^2 - 4 \times 12 = 36 - 48 = - 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3}\right)^2$.

Il y a donc deux solutions complexes conjuguées :

$z_{1} = \dfrac{6 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{2} =  3 - \text{i}\sqrt{3}$.
\medskip
 
\textbf{Partie II} 

\medskip

%Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv d'unité graphique 1~cm.
 
%Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3}$. 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$. Placer le point A dans le repère \Ouv.
Module : $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 3^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2 = 9 + 3 = 12 = \left(2\text{i}\sqrt{3} \right)^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2\sqrt{3}$.

On peut donc écrire en factorisant le module :

$z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right) =  2\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.
\item %Soit $R$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = z\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est cette transformation $R$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
		On reconnaît  une rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
		\item  %On appelle B l'image du point A par la transformation $R$. On note $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{B}}$. Placer le point B dans le repère \Ouv.
		On a donc $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}\left(\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}\right) = z_{\text{A}}\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}  \right) = \left(3 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) =$
		
$\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} = 2\text{i}\sqrt{3}.$
		
Voir la figure plus bas. 
		\item  %Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier la réponse.
Par définition de la rotation OA = OB et $\widehat{\text{OAB}} = 60~\degres$.

Le triangle OAB est donc isocèle avec un angle au sommet de 60~\degres : il est donc équilatéral.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $T$ la translation de vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 2\sqrt{3}\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %On appelle C l'image du point A par la transformation $T$. On note $z_{\text{C}}$ l'affixe du point C. Calculer la forme algébrique de $z_{\text{C}}$. Placer le point C dans le repère \Ouv.
Par définition de $T,~\vect{\text{AC}} = \vect{w} \Rightarrow z_{\vect{\text{AC}}} = z_{\vect{w}} \iff z_{\text{C}} - z_{\text{A}} = z_{\vect{w}} \iff$

$z_{\text{C}}  = z_{\text{A}} + z_{\vect{w}} = 3 + \text{i}\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\text{i} = 3 - \text{i}\sqrt{3}$.

Voir la figure 
		\item  %\emph{Dans cette question, toute rédaction, même partielle, sera prise en compte.}
		 
%Quelle est la nature du quadrilatère OCAB ? Justifier la réponse.
On remarque que $z_{\text{B}} = z_{\vect{w}} = 2\text{i}\sqrt{3}$, donc $\vect{\text{BO}} = \vect{\text{AC}} \iff$ OCAB est un parallélogramme.

D'autre part $z_{\text{C}} = z_{2} = \overline{z_{1}}$ (voir la partie I), donc OC = $\left|z_{1}\right| = 2\sqrt{3}$ (voir Partie II, 1.).

Or par définition de la translation AC = $2\sqrt{3}$.

Conclusion : le parallélogramme  OCAB a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange, mais pas un carré car $\widehat{\text{COB}} = 30 + 90 = 120$~\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,0)(3,1.732)(0,3.464)(3,-1.732)%A-BC
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](3,1.732){A} 
\uput[ur](0,3.464){B} \uput[dr](3,-1.732){C} 
\pspolygon(0,0)(3,-1.732)(3,1.732)(0,3.464)
\psline(0,0)(3,1.732)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle (E) : 
%\[y'' + 4y = 0.\] 
%où $y$ est une fonction de la variable $x$, deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
Cette équation différentielle est de la forme $y'' + \omega^2 y = 0$ avec $\omega = 2$.

On sait que les solutions sont de la forme $y = A\cos 2x + B \sin 2x, A, B \in \R$.
\item %Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie : $f(0) = \dfrac{1}{4}$ et $f'(0) = 0$.
Si $y = A\cos 2x + B \sin 2x, {} y' = - 2A\sin 2x + 2B\cos 2x$.

On a donc $\left\{ \begin{array}{l c l}
f(0) &=& \dfrac{1}{4}\\
f'(0)& =& 0
\end{array}\right. \iff 
\left\{ \begin{array}{l c l}
A &=& \dfrac{1}{4}\\
2B& =& 0
\end{array}\right.$

La seule solution est donc $f(x) = \dfrac{1}{4}\cos 2x$.
\item %Montrer que la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = 3 \sin x$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$.
$g(x) = 3 \sin x \Rightarrow g'(x) = 3\cos x \Rightarrow g''(x) = - 3\sin x$.

Donc $g''(x) + g(x) = - 3\sin x + 3 \sin x = 0$. 
\item %Pour tout nombre réel $x$, on définit la fonction $h$ par : 
%\[h(x) = 3\sin x + \dfrac{1}{4}\cos 2x.\]
 
%Calculer $h'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
$h'(x) =  3 \cos x - 2 \times \dfrac{1}{4}\sin 2x = 3 \cos x -   \dfrac{1}{2}\sin 2x$
\item %Questionnaire à choix multiples :
 
%\emph{pour chaque question, il y a une seule réponse exacte; recopier la réponse exacte sur la copie. Chaque réponse exacte rapporte $0,5$ point. Aucune justification n'est demandée.} 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quelle est la valeur de $h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ? 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
%$\triangleright~$ 	3&$\triangleright~$ $- \dfrac{1}{4}$&$\triangleright~$ $\dfrac{11}{4}$\\
%\end{tabularx} 
$h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{4}\cos \pi = 3  + \dfrac{1}{4}\times (-1) = 3 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{4}$.
\medskip

\item  %Quelle est la valeur moyenne de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ ?
La valeur moyenne de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est égale à :

$\dfrac{1}{\pi - 0}\displaystyle\int_{0}^{\pi} h(x)\:\text{dx} = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(3\sin x + \dfrac{1}{4}\cos 2x\right)\:\text{d}x = \left[-3\cos x +  \dfrac{1}{8}\sin 2x \right]_{0}^{\pi} = \dfrac{1}{\pi}\left[-3 \times (- 1) + 0 - (-3 +0)\right] = \dfrac{6}{\pi}.$
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
%$\triangleright~$$-\dfrac{3}{\pi}$&$\triangleright~$$0$&$\triangleright~$ $\dfrac{6}{\pi}$\\
%\end{tabularx} 

\medskip
 
\item  %Combien l'équation $h(x) = 0$ admet-elle de solutions dans l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$ ? 
Le tracé de la courbe représentative de $h$ à la calculatrice montre que celui-ci coupe l'axe des abscisses en deux points sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$ : il y a donc deux solutions.
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}  
%$\triangleright~$0&$\triangleright~$1&$\triangleright~$2\\
%\end{tabularx} 

\medskip 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip
 
%Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ tracée sur l'annexe ci-jointe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 

%La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en O et au point A de coordonnées $\left(\dfrac{3}{2}~;~0\right)$. 

%On admet que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $\dfrac{1}{2}$ et $3$ sont parallèles à l'axe des abscisses.
% 
%La droite $\Delta$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point O et passe par le point B de coordonnées $(-1~;~ 3)$.

%\medskip
 
\textbf{Partie I Exploitation graphique de la courbe}\boldmath $\mathcal{C}$ \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$.
On voit que sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$, la courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses en $0$ et au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}.$ L'équation a donc deux solutions sur cet intervalle. 
\item %Donner le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$.
Toujours graphiquement on voit que :

- $f(x) > 0$ sur $]-\dfrac{1}{2}~ ;~0[$ et sur  $]\dfrac{3}{2}~ ;~\dfrac{7}{2}[$ ;

- $f(x) < 0$ sur $]0~ ;~\dfrac{3}{2}[$ ;

- $f(0) = 0$ et $f\left(\dfrac{3}{2} \right) = 0$.
\item %Donner les valeurs $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f'(3)$.
Au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$, la tangente est horizontale, donc $f'\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$. De même $f'(3) = 0$. 
\item %Donner une équation de la tangente $\Delta$. En déduire $f'(0)$.
La droite $\Delta$ contient les points O(0~;~0) et B$(-1~;~3)$. une équation de  $\Delta$ est donc de la forme $y = \alpha x$ et B$(-1~;~3) \in \Delta \iff 3 = \alpha \times (-1) \iff \alpha = - 3$.

Une équation de la tangente $\Delta$ est donc $y = - 3x$.
\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $\left[-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right]$.
La fonction est croissante à partir de $\dfrac{1}{2}$, donc les solutions sont tous les réels de $]\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{2}]$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%La fonction $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
%\[f(x) = \left(2x^2 - 3x\right)\text{e}^{-x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Justifier la réponse.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x^2 - 3x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, donc par produit de limites  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = +\infty$.  
\item %Justifier que pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \dfrac{2x^2}{\text{e}^x} - \dfrac{3x}{\text{e}^x}$ puis déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On peut écrire $f(x) = 2x^2\text{e}^{-x} - 3x\text{e}^{-x} = \dfrac{2x^2}{\text{e}^x} - \dfrac{3x}{\text{e}^x}$.

Or on sait que pour $n \in n\N,{} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x^n}{\text{e}^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
%En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.


On en déduit que géométriquement l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. 
\item %On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$ puis montrer que $f'(x) = \left(-2x^2 + 7x - 3\right)\text{e}^{-x}$.
$f'(x) = (4x - 3)\text{e}^{-x} - \left(2x^2 - 3x\right)\text{e}^{-x} = \left(-2x^2 + 7x - 3 \right)\text{e}^{-x}$. 
\item %Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
On sait que $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit $x \in \R$ ; le signe de $f'(x)$ est donc celui du trinôme  $-2x^2 + 7x - 3$.

Donc $f'(x) = 0 \iff -2x^2 + 7x - 3 = 0$. 

$\Delta = 49 - 4 \times (- 2) \times (- 3) = 49 - 24 = 25 = 5^2$ ; il y a donc deux solutions réelles :
\[x_{1} = \dfrac{-7 + 5}{-4} = \dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad x_{2} = \dfrac{-7 - 5}{-4} = \dfrac{12}{4} = 3.\]
Ceci correspond bien aux deux points o\`u la tangente est horizontale.

$f'(x)$ est donc positive, c'est-à-dire que la fonction est croissante sauf entre les racines o\`u elle est décroissante. Ceci correspond également à la figure donnée.
\item %Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\dfrac{3}{2}$.
On a $f\left(\dfrac{3}{2} \right) = \left(2\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - 3\times \dfrac{3}{2}  \right)\text{e}^{-\frac{3}{2}} = 0$.

D'autre part $f'\left(\dfrac{3}{2} \right) = \left(-2\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 7\times \dfrac{3}{2} - 3 \right)\text{e}^{-\frac{3}{2}} = 3\text{e}^{-\frac{3}{2}}$.

Une équation de la tangente est donc :

$y - 0 = 3\text{e}^{-\frac{3}{2}}\left(x - \dfrac{3}{2} \right) \iff y = 3\text{e}^{-\frac{3}{2}}x - \dfrac{9}{2}\text{e}^{-\frac{3}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie III Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(2)$. Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [2~;~3].
$f(2) = (2\times 4 - 3\times 2)\text{e}^{-2} = 2\text{e}^{-2} > 0.$

Comme la fonction $f$ est croissante sur [2~;~3], la fonction $f$ est donc positive sur cet intervalle. 
\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \left(-2x^2 - x - 1\right)\text{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
On a $F'(x) = (-4x - 1)\text{e}^{-x} -  \left(-2x^2 - x - 1\right)\text{e}^{-x} = \left(-2x^2 - 3x \right)\text{e}^{-x} = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item %Soit $\mathcal{D}$ le domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Sur l'annexe, hachurer le domaine $\mathcal{D}$.
		Voir la figure 
		\item  %Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis donner une valeur approchée au centième de l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
La fonction $f$ étant positive sur [2~;~3], on sait que l'aire (en unités d'aire) de la surface  $\mathcal{D}$ est égale à :

$\displaystyle\int_{2}^3 f(x)\:\text{d}x = \left[\left(-2x^2 - x - 1\right)\text{e}^{-x} \right]_{2}^3 =$

$\left[\left(-2\times 3^2 - 3 - 1\right)\text{e}^{-3} \right] - \left[\left(-2\times 2^2 - 2 - 1\right)\text{e}^{-2}\right] =$

$-22\text{e}^{-3} + 11\text{e}^{-2}  = 11\text{e}^{-2}\left( 1 - 2\text{e}^{-1}\right) \approx 0,393 \approx 0,39$~(u. a.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\vspace*{4cm}
\begin{center}
\psset{unit=2.15cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,-1.25)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{2}{3}{x dup mul 2 mul 3 x mul sub 2.71828 x exp div}
\psline(3,0)(2,0)
}
\psline(2,0)(2,0.27)
\uput[ur](0,0){O} \uput[u](1.5,0){A} \uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$}\uput[ur](-1,3){B}\uput[d](0.75,0){$\vect{\imath}$}\uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$}\uput[u](0.5,0){$\dfrac{1}{2}$}
\psline{<->}(2.5,0.448)(3.5,0.448)
\psline{<->}(0.1,-0.6065)(0.9,-0.6065)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,0.448)
\psline[linestyle=dashed](0.5,-0.6065)(0.5,0)\uput[l](-1.333,4){$\Delta$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)\uput[r](-0.625,4.9625){$\mathcal{C}$}
\psdots(1.5,0)(-1,3)
\psplot{-1.333}{0.41}{3 neg x mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-0.628}{4}{x dup mul 2 mul 3 x mul sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}