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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
%Corrigé : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI
Génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane 20 juin 2012\\[4pt]
Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Le plan est muni du repère orthonormal \Ouv.
%
%\smallskip
%
%On désigne par $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\smallskip
%
%On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 3 - \i\sqrt{3}$ et $z_B = \e^{\i\frac{\pi}{4}}z_A$.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $z_{\text{B}} = \e^{\i\frac{\pi}{4}}z_{\text{A}}$ signifie que 

\og Le point B est l'image du point A par la rotation  de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ \fg.

		\item %Que peut-on en déduire pour la nature du triangle $OAB$~? Justifier.
Par définition de la rotation de centre O : OA = OB, donc OAB est un triangle isocèle en O.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $\e^{\i\frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + \i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \i\frac{\sqrt{2}}{2}$
%Donner la forme algébrique de $\e^{\i\frac{\pi}{4}}$.
		\item %Vérifier que \[
%z_B=\dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{2}+\i\dfrac{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2}.\]

De $z_{\text{B}} = \e^{\i\frac{\pi}{4}}z_{\text{A}}$ on déduit que $z_{\text{B}} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\left(3 - \i\sqrt{3} \right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + 3\i\frac{\sqrt{2}}{2} - \i\frac{\sqrt{6}}{2} = $

$\dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{2}+\i\dfrac{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
%Déterminer la forme trigonométrique de $z_A$.
On a $\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = 3^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 9 + 3 = 12 = \left(2\sqrt{3} \right)^2$. Donc $\left|z_{\text{A}}  \right| = 2\sqrt{3}$.

On peut donc écrire $z_{\text{A}} = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \i \frac{1}{2} \right) = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \i \left(- \frac{1}{2} \right)\right) = 2\sqrt{3}\left[\cos \left(- \frac{\pi}{6}\right) + \i \sin \left(- \frac{\pi}{6}\right)\right] = 2\sqrt{3}\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$.
		\item %Vérifier que $z_B=2\sqrt{3}\e^{\i\frac{\pi}{12}}$.
Donc $z_{\text{B}} = z_{\text{A}}\e^{\i\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{3}\e^{-\i\frac{\pi}{6}} \times \e^{\i\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{3}\e^{\i\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right)} = 2\sqrt{3}\e^{\frac{\pi}{12}}$.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide des questions 2. et 3. donner la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{-\pi\frac{\pi}{6}}{12}\right)$.
En identifiant les deux écritures trouvées au 2. b et 3. b. pour $z_{\text{B}}$, on en déduit respectivement pour les parties réelles et imaginaires que :

$2\sqrt{3}\cos \left(\dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{2}$ c'est-à-dire $\cos \left(\dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}{4\sqrt{3}}$.

De même (non demandé) : $\sin \left(\dfrac{\pi}{12} \right) = \dfrac{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)}{4\sqrt{3}}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Ex 2 5 points
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 

\smallskip


%Un joueur participe à un jeu de hasard où il lance plusieurs fois une pièce de monnaie. Pour gagner, le joueur doit obtenir pile à tous ses lancers. Le nombre de lancers est fixé au début de chaque partie.\\
%La pièce de monnaie utilisée est parfaitement équilibrée, de sorte qu'à chaque fois qu'elle est lancée, la probabilité d'obtenir pile est égale à la probabilité d'obtenir face.

\begin{enumerate}
\item
%Dans cette question, la pièce est lancée deux fois.\\
%Les issues de cette expérience sont représentées par l'arbre ci-dessous.
%\begin{center}
%\begin{tabular}{p{2cm}p{2cm}cp{2cm}c}
% & premier & & second\\
% & lancer   &  & lancer \\[2ex]
% & &  & \rnode{b}{pile}\\
% & \rnode{a}{pile} & & \\
% & & & \rnode{c}{face}\\
% \rnode{o}{} & & & \\
% & &  & \rnode{B}{pile}\\
% & \rnode{A}{face} & & \\
% & & & \rnode{C}{face}\\
% \end{tabular}
%\ncline[nodesep=3pt]{a}{b}
%\ncline[nodesep=3pt]{a}{c}
%\ncline[nodesep=3pt]{A}{B}
%\ncline[nodesep=3pt]{A}{C}
%\ncline[nodesep=3pt]{o}{a}
%\ncline[nodesep=3pt]{o}{A}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item
%Quelle est la probabilité que le joueur gagne~?
Seule l'issue pile-pile permet de gagner  ; la probabilité de gagner est donc égale à $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  = \frac{1}{4} = 0,25$. 
		\item %On considère l'événement $A$ : \og les résultats des deux lancers sont identiques\fg{}.\\
%Quelle est la probabilité de l'événement $A$~?
De même l'issue face-face a une probabilité égale à $\frac{1}{4}$, donc 

$p(A) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}  = \frac{1}{2}$. 
		\item %On considère l'événement $B$ : \og le résultat face a été obtenu au moins une fois\fg{}.\\
%Décrire par une phrase l'événement $\overline{B}$, événement contraire de l'événement $B$.\\
$\overline{B}$ : \og le résultat face n'a pas été obtenu \fg ou \og le résultat pile-pile a été obtenu.
%En déduire la probabilité de l'événement $B$.
Comme ce dernier évènement a une probabilité de $\frac{1}{4}$, on a 

$p(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question, la pièce est lancée trois fois.\\
%Le joueur gagne 100 euros s'il obtient trois fois pile. Si le joueur n'obtient pas trois fois pile, il perd 1 euro. Soit $X$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $-1$ si le joueur perd.
	\begin{enumerate}
		\item
%Représenter à l'aide d'un arbre les issues de cette expérience aléatoire.
\begin{center}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,treesep=0.5cm,levelsep=1.5cm,nodesep=4pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{pile}}
	{\pstree{\TR{pile}}
		{\TR{pile}  \TR{face}
        }
\pstree{\TR{face}}
		{\TR{pile}  \TR{face}
        }
  }
\pstree{\TR{face}}
	{\pstree{\TR{pile}}
		{\TR{pile}  \TR{face}
        }
\pstree{\TR{face}}
		{\TR{pile}  \TR{face}
        }
  }
}
\end{center}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
		La probabilité de tirer pile-pile-pile donc de gagner 100~\euro{} est égale à $\frac{1}{2} \times  \frac{1}{2} \times\frac{1}{2}  = \frac{1}{8}$. La probabilité de perdre un euro est donc égale à $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$. On a donc le tableau :
		
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&100&	$- 1$\\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&$\frac{1}{8}$&$\frac{7}{8}$\\ \hline
\end{tabularx}		
\end{center}
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.\\
O a E$(X) = 100 \times \frac{1}{8} + ( - 1) \times \frac{7}{8} = \frac{100 - 7}{8} = \frac{93}{8} = 11,625$ soit environ 11,63~\euro.		
%Le jeu est-il favorable au joueur~?
Le jeu est donc très favorable au joueur.
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
%Dans cette question, la pièce est lancée $n$ fois, $n$ étant un nombre entier naturel non nul.\\
%Le joueur gagne 100 euros s'il obtient $n$ fois pile; sinon le joueur perd 1 euro. Soit $Y_n$ la variable aléatoire prenant la valeur 100 si le joueur gagne et la valeur $- 1$ si le joueur perd.\\
%L'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_n$ est notée $E(Y_n)$.\\
%On admet que la probabilité que $Y_n$ prenne la valeur 100 vaut $\dfrac{1}{2^n}$.
	\begin{enumerate}
		\item
%Déterminer $E(Y_n)$, en fonction de $n$.
La probabilité de perdre est donc égale à $1 - \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{2^n - 1}{2^n}$.

On a donc $\text{E}(Y_n) = 100 \times \dfrac{1}{2^n} - 1 \times \dfrac{2^n - 1}{2^n} = \dfrac{100 - 2^n + 1}{2^n} = \dfrac{101 - 2^n + 1}{2^n}$.
		\item %Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $E(Y_n)< 0$.
$E(Y_n)< 0 \iff \dfrac{101 - 2^n}{2^n} < 0 \iff 101 - 2^n < 0 \iff 101 < 2^n$.

La première puissance de 2 supérieure à 101 est $2^7 = 128$.		
		\item %Interpréter ce résultat.
Avec ces conditions de jeu, celui-ci est favorable au joueur s'il faut lancer le dé jusque'à 6 fois. À partir de 7 lancers le jeu est défavorable au joueur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%: Pb 11 points
\textbf{\textsc{Problème } \hfill 11 points}
 
\smallskip

\textbf{Partie A : signe d'une fonction}

%\begin{multicols}{2}
%La parabole $\mathcal{P}$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction polynôme $t$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par:
%\[
%t(x) = ax^2 + bx + c
%\]
%où $a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
%\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(6,5)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(6,5)
%\rput{-180}(0.5,4){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.75}{1.75}{x^2/2/0.13}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\end{multicols}
%Le point $S\left(\dfrac12~;~4\right)$ est le sommet de la parabole $\mathcal{P}$.\\
%Le point $A(0~;~3)$ appartient à la parabole $\mathcal{P}$.

\begin{enumerate}
\item
%Justifier que $c=3$.
Le point de la parabole d'abscisse nulle a pour ordonnée 3, soit $t(0) = 3 = c$.
\item %Justifier que $t\left(\dfrac12\right)=4$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
Le point $S\left(\dfrac12~;~4\right)$ est un point de la parabole, donc $4 = a\left(\dfrac12 \right)^2 + b\dfrac12 + 3 \iff 4 = \dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{2} + 3 \iff 1 = \dfrac{a}{4} + \dfrac{b}{2} \iff 4 = a + 2b$
\item %Soit $t'$ la fonction dérivée de la fonction $t$ sur $\R$.\\
%Justifier que $t'\left(\dfrac12\right)=0$ et en déduire une seconde relation entre $a$ et $b$.
La tangente à la parabole en son sommet S est horizontale, donc le nombre dérivé $f^{\prime}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$.

Or $f^{\prime(x)} = 2ax + b$, d'o\`u $f^{\prime}\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2a \times \dfrac{1}{2} + b = 0 \iff a + b = 0$.
\item %Montrer que les questions 2. et 3. conduisent au système $(S)$: $\left\{\begin{array}{rcl} a+b&=&0\\a+2b&=&4\end{array}\right.$\\
Les deux questions précédentes montrent que les nombres $a$ et $b$ vérifient le système : $(S)$

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + 2b&=&4\\
a + b&=&0
\end{array}\right.$
%Résoudre le système $(S)$. En déduire une écriture de la fonction $t$.
Par différence membres à membres on obtient $b = 4$, puis par remplacement dans la seconde équation $a = - 4$.

Conclusion : $t(x) = - 4x^2 + 4x + 3$.
\item %Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par:
%\[g(x) = (2x + 1)(3 - 2x)\e^{-x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $g(x) = t(x)\e^{-x}$.
$g(x) = (2x + 1)(3 - 2x)\e^{-x} = \left(6x - 4 x^2 + 3 - 2x\right)\e^{-x} = \left(- 4 x^2 +  4x + 3\right)\e^{-x} = t(x) \e^{-x}$.
		\item %Déterminer le signe de la fonction $g$.
On sait que, quel que soit le réel $x$, $\e^{-x} > 0$ : le signe de $g$ est donc celui du trinôme $t$.

On sait maintenant que $t(x) = (2x + 1)(3 - 2x)$ : les racines du trinôme sont donc $- \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$. Comme $a < 0$ on sait que ce trinôme est négatif sauf entre les racines.

Conclusion $g(x) < 0$ sauf sur $\left[- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B: étude de la fonction } \boldmath$f$\unboldmath

\smallskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (4x^2 + 4x + 1)\e^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item
%Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2\left(4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right)$.

On a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 4$ donc par produit des limites : 

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} 4x^2 + 4x + 1 = + \infty$.

Comme $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\e^{-x} = + \infty$, on a par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(4x^2 + 4x + 1\right)\e^{-x} = + \infty$. 
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra utiliser que pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) = \dfrac{4x^2}{\e^x} + \dfrac{4x}{\e^x} + \dfrac{1}{\e^x}$).
On peut écrire :

$f(x) = \dfrac{4x^2}{\e^{x}} + \dfrac{4x}{\e^x} + \dfrac{1}{\e^x}$.
 
Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{4x^2}{\e^x} = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x}{\e^x} = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x}{\e^x} = 0$, on a donc :

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$.
%En déduire l'existence d'une asymptote  à la courbe $\mathcal{C}_f$; on précisera de quelle droite il s'agit.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini à $\mathcal{C}_f$.
\item %On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

%Démontrer que pour tout nombre réel $x$, on a: $f^{\prime}(x) = g(x)$, où $g$ désigne la fonction définie à la question 5 de la partie A.
On a en dérivant le produit :

$f^{\prime}(x) = (8x + 4)\e^{-x} - 1 \times (4x^2 + 4x + 1)\e^{-x} = \e^{-x}\left(- 4x^2 - 4x - 1 + 8x + 4\right) = \e^{-x}\left(- 4x^2  + 4x + 3\right) = g(x)$.
%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
On a vu que sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right[$ seulement, $g(x) > 0$.

Calculs des extremums :

$f\left(- \frac{1}{2} \right) = \left(4\left(- \frac{1}{2}\right)^2 + 4\times \left(- \frac{1}{2}\right) + 1\right)\e^{-\frac{1}{2}} = (1 - 2 + 1)\e^{-\frac{1}{2}} = 0\e^{-\frac{1}{2}} = 0$.

$f\left(\frac{3}{2} \right) = \left(4\left(\frac{3}{2} \right)^2 + 4 \times \frac{3}{2} + 1\right)\e^{-\frac{3}{2}} = (9 + 6 + 1)\e^{-\frac{3}{2}} = 16\e^{-\frac{3}{2}} \approx 3,57$.

On en déduit le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)
\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.35){$- \frac{1}{2}$} \uput[u](7,2.35){$\frac{3}{2}$} \uput[u](9.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.5,2){$-$}\uput[u](4,2){$0$}\uput[u](5.5,2){$+$} \uput[u](7,2){$0$}\uput[u](8.5,2){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)\psline{->}(7.5,1.5)(9.5,0.5)
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$0$} \uput[d](7,2){$16\e^{-\frac{3}{2}}$}\uput[u](9.8,0){$0$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.

Dans $\R$, $f(x) = 0 \iff \left(4x^2 + 4x + 1\right)\e^{-x} = 0 \iff 4x^2 + 4x + 1 = 0$, car quel que soit le réel $x, \e^{-x} \neq 0$.

$4x^2 + 4x + 1 = 0 \iff (2x + 1)^2 = 0 \iff 2x + 1 = 0 \iff x = - \frac{1}{2}$.

L'équation a un e seule solution : $- \frac{1}{2}$.

\emph{Remarque :} le tableau de variations montrait ce résultat, mais la dernière valeur du tableau n'est pas une valeur de $f(x)$, mais une limite.

La courbe $\mathcal{C}_f$ n'a donc qu'un point commun avec l'axe des abscisses, le point de coordonnées $\left(- \frac{1}{2}~;~0 \right)$.
%En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
\item %Construire la courbe $\mathcal{C}_f$ dans un plan muni d'un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 2~cm.
Voir ci-dessous
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-1)(8,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.1788}{8}{x dup mul 4 mul 4 x mul add 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x dup mul 4 mul 4 x mul add 1 add 2.71828 x neg exp mul}
\psline(4,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
%On admet que la fonction $H$, définie sur $\R$ par $H(x) = (-4x^2 - 12x - 12)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (4x^2 + 2x)\e^{-x}$.

%En remarquant que pour tout réel $x$, on a $f(x) = h(x) + \e^{-x}$, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
Une primitive de $x \longmapsto \e^{-x}$ est la fonction définie sur $\R$ par $x \longmapsto - \e^{-x}$, donc une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par : 

$x \longmapsto F(x) = H(x) - \e^{-x} = (-4x^2 - 12x - 12)\e^{-x} - \e^{-x} = \e^{-x}\left(-4x^2 - 12x - 12 - 1 \right) = \e^{-x}\left(-4x^2 - 12x - 13 \right)$.
\item %On appelle $\mathcal{D}$ la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=4$.
	\begin{enumerate}
		\item
Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique.
		\item %Calculer la valeur exacte en cm\up{2} de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
Voir la figure plus haut.

Sur [0~;~4], on a $f(x) > 0$, donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ est égale (en unité d'aire) à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^4 f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{0}^4 = F(4) - F(0) = \e^{-4}\left(-4\times 4^2 - 12 \times 4 - 13 \right) - \left(\e^{-0}\left(-4\times 0^2 - 12 \times 0 - 13 \right) \right) = 13 + 125\e^{-4} \approx 10,710 \approx 10,71$~(u. a.). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}