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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique, optique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie 11 juin 2012~\decofourright \\[4pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
%Baptiste, François, Kévin et Thomas ont décidé de partir ensemble cet été à Londres. Ils ont convenu que chacun d'entre eux réserverait de son côté par internet son billet de train aller-retour Paris-Londres aux dates et heures qu'ils ont choisies en commun.
% 
%La politique tarifaire appliquée pour la vente des billets est la suivante : la première moitié des billets est vendue au tarif réduit de 90~euros (tarif noté R) puis la seconde moitié des billets est vendue au tarif normal de 120~euros (tarif noté N).
% 
%Les quatre amis, ignorant cette politique, réservent leurs billets à des moments différents sans savoir de quel tarif ils bénéficieront. On s'intéresse aux tarifs payés par Baptiste, François, Kévin et Thomas.
% 
%Ainsi, on notera NNRR l'évènement élémentaire: \og Baptiste paie 120 euros, François paie 120 euros, Kévin paie 90 euros et Thomas paie 90~euros \fg.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Écrire les seize évènements élémentaires (on pourra s'aider d'un arbre).
~
\begin{center}
\pstree[linecolor=red,treemode=R,treesep=0.25cm,levelsep=2cm,nodesep=2pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{N}}
	{\pstree{\TR{N}}
		{\pstree{\TR{N}}
			{\TR{N}  \TR{R} }
		\pstree{\TR{R}}
		{\TR{N}  \TR{R}}	
		}
	\pstree{\TR{R}}
		{\pstree{\TR{N}}
			{\TR{N}  \TR{R} }
		\pstree{\TR{R}}
		{\TR{N}  \TR{R} }	
		}
	}
\pstree{\TR{R}}
	{\pstree{\TR{N}}
		{\pstree{\TR{N}}
			{\TR{N}  \TR{R} }
		\pstree{\TR{R}}
		{\TR{N}  \TR{R} }	
		}
	\pstree{\TR{R}}
		{\pstree{\TR{N}}
			{\TR{N}  \TR{R} }
		\pstree{\TR{R}}
		{\TR{N}  \TR{R} }	
		}
		}
}
\end{center}
 
\item %On suppose que les seize évènements élémentaires sont équiprobables. 

%On considère les trois évènements suivants : 

%$A$ : \og Les quatre amis paient le tarif réduit \fg{} ;
% 
%$B$ : \og Aucun des quatre amis ne paie le tarif réduit \fg{} ;
% 
%$C$ : \og Au moins un des quatre amis paie le tarif réduit \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item %Citer deux évènements contraires parmi les évènements $A, B$ et $C$.
	
$A$ et $C$ sont des évènements contraires. 
		\item %Calculer les probabilités de chacun des évènements.
$p(A) = \dfrac{1}{16} ; p(B) = \dfrac{1}{16}$ et d'après la question précédente $p(C) = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque évènement élémentaire, associe la somme totale en euros payée par les quatre amis. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
		
Les valeurs de $X$ sont : 360 ; 390 ; 420 ; 450 ; 480. 
		\item %Dresser le tableau donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
En utilisant l'arbre on obtient le tableau suivant :
		
\medskip
		
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&360&390&420&450&480\\ \hline
$p\left(X=x_{i}\right)$&$\frac{1}{16}$&$\frac{4}{16}$&$\frac{6}{16}$&$\frac{4}{16}$&$\frac{1}{16}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}	
\end{center} 
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = 360 \times \frac{1}{16} +  390 \times \frac{4}{16} +  420 \times \frac{6}{16} +  450 \times \frac{4}{16} +  480 \times \frac{1}{16} =
 \frac{360 + \np{1560} + \np{2520} + \np{1800} + 480}{16} = $
 
 $\frac{\np{6720}}{16} = 420$~(\euro).  
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 1 centimètre. On considère les points A et B d'affixes respectives: 
%
%\[z_{\text{A}} = - 2\sqrt{3} + 2\text{i}\quad ; \quad  
%z_{\text{B}} = - 2\sqrt{3} - 2\text{i}\] 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$, puis placer les points A et B.
Calcul du module : $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = \left|- 2\sqrt{3} + 2\text{i} \right|^2 = 4 \times 3 + 4 = 16 = 4^2 \Rightarrow  \left|z_{\text{A}} \right| = 4$.

En factorisant ce module :
$z_{\text{A}} = 4 \left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}} \right) = 4\left(\cos \frac{5\pi}{6} + \text{i}\sin\frac{5\pi}{6}  \right) = 4 \text{e}^{\frac{5\pi}{6}}$.

Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, on a $z_{\text{B}} = 4 \text{e}^{-\frac{5\pi}{6}}$.

A et B sont sur le cercle centré en O de rayon 4 ; on place A et B grâce à leurs ordonnées (leurs abscisses étant négatives). 
\item %On désigne par C l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C, puis placer ce point sur la figure.
L'image d'un point $M$ d'affixe $z$ par la rotation est le point $M'$ d'affixe $z' = z \times \text{e}^{-\frac{\pi}{3}}$. Donc  $z_{\text{C}} = $z_{\text{A}}\times \text{e}^{-\frac{\pi}{3}} = 4 \text{e}^{\frac{5\pi}{6}} \times \text{e}^{-\frac{\pi}{3}} = 4 \text{e}^{-\frac{3\pi}{6}} = 4 \text{e}^{\frac{\pi}{2}} = 4\text{i}$. C appartient donc à l'axe des ordonnées et a pour ordonnée 4 donc appartient au cercle précédent.		 
		\item %Montrer que le quadrilatère OCAB est un losange.
On a OB = OC = 4.

BA $ = \left|z_{\text{A}} - z_{\text{B}} \right| = \left|4\text{i} \right| = 4$.

Enfin AC $ = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right| = \left|4\text{i} + 2\sqrt{3} - 2\text{i} \right| = \left|2\sqrt{3} + 2\text{i} \right| = 4$.

OB = OC = AB = AC = 4 : le quadrilatère OCAB est un losange.

\emph{Autre méthode : } On montre facilement que $\widehat{\text{AOB}} = \widehat{\text{COA}} = 60~\degres$, donc les triangles COA et AOB sont des triangles équilatéraux, donc OB = BA = AC = CO, \ldots.		 
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non aboutie, sera prise en compte.}
	\end{enumerate} 
\item %Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $\left|z + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point C appartient à l'ensemble $\Gamma$.
On calcule $\left|z_{\text{C}} + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| =  \left|4\text{i} + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| : \left|2\sqrt{3} + 2\text{i} \right| = \sqrt{4 \times 3 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Donc C appartient à l'ensemble $\Gamma$. 
		\item %Justifier que $\Gamma$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
M \in \\Gamma \iff \left|z + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = 4 \iff \left|z - \left(- 2\sqrt{3} + 2\text{i}\right)\right| = 4 \iff \left|z - z_{\text{A}}\right| = 4 \iff $

$\text{A}M  = 4 \iff M$ appartient au cercle de centre A et de rayon 4. 
		\item %Tracer l'ensemble $\Gamma$ sur la figure.
Voir plus bas
	\end{enumerate} 
\item %On note D l'image du point C par la translation de vecteur $\vect{w} = - 7\vect{u}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point D sur la figure.
Voir la figure $\vect{\text{CD}} = - 7\vect{u}$ 
		\item %Le point D est-il sur le cercle $\Gamma$ ? Justifier.
L'affixe de D est égale à $z_{\text{D}} = z_{\text{C}} - 7 = 4\text{i} - 7$.

Calculons : AD = $\left|4\text{i} - 7 + 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = \left|- 7 + 2\sqrt{3}  + 2\text{i} \right| = \sqrt{\left(- 7 + 2\sqrt{3} \right)^2 + 2^2} =$

$ \sqrt{49 + 12 - 28\sqrt{3} + 4} = \sqrt{65 - 28\sqrt{13}} \approx 4,06 \neq 4$.

Conclusion : le point D n'appartient pas au cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-4)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-8,-4)(4,6)
\psdots(4;150)(4;-150)(4,90)(-7,4)
\uput[ul](4;150){A}\uput[dl](4;-150){B}\uput[ur](4;90){C}\uput[dr](0,0){O}
\uput[ul](-7,4){D}
\pscircle(0,0){4}\pscircle(4;150){4}
\uput[d](-2,5.3){$\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

%Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~centimètre.
% 
%Le but de ce problème est :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item d'émettre des conjectures sur la fonction $f$ dans la partie A ; 
%\item d'établir des résultats concernant ces conjectures dans la partie B ; 
%\item de vérifier la validité de ces conjectures dans la partie C.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
 
%On a obtenu à l'aide d'un logiciel la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~20[ (la courbe est fournie en annexe).
% 
%On précise que la droite $T$ est la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point A d'abscisse $1$.
% 
%Par simple lecture graphique, déterminer :
 
\begin{enumerate}
\item %la limite de la fonction $f$ en zéro ;
Il semble que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. 
\item %une valeur de la (ou des) solution(s) de l'équation $f(x) = 0$ ;
Il semble que $f(\text{e}) = 0$, donc e est la seule solution de l'équation. 
\item %le signe de $f(x)$ en fonction de $x$ ;
Il semble que :

$\bullet~~$si $0 < x < \text{e},\:f(x) > 0$ ;

$\bullet~~$ $f(\text{e}) = 0$ ;

$\bullet~~$si $x > \text{e}, \:f(x) < 0$. 
\item %le sens de variation de la fonction $f$ ;
Il semble que $f$ est décroissante sur $]0~;~12[$ et croissante sur ]12~;~+ \infty[$. 
\item %l'équation réduite de la tangente $T$ ;
Le coefficient directeur de la tangente est égal à $\dfrac{4 - 9}{1} = - 5$ et l'ordonnée à l'origine est égale à 9. Donc  l'équation réduite de la tangente $T$ doit être $y = - 5x + 9$.
\item %une valeur approchée de l'aire du domaine grisé en centimètres carrés.
Une valeur approchée de l'aire est 5,5~cm$^2$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip
 
%On admet dans cette partie que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, on a : 

%\[f(x) = (\ln x)2 - 5 \ln x + 4\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en zéro.
On a $f(x) = \ln x(\ln x - 5) + 4$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0}\ln x = - \infty$, il résulte que  $\displaystyle\lim_{x \to 0}(\ln x - 5) = - \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres réels $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$.
On a de fa\c{c}on simple $X^2 - 5X + 4 = 0 \iff X - 5)(X - 1) = 0$ : les solutions sont 1 et 4. 
		\item %En déduire, en posant $X = \ln x$, les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
On a $f(x) = 0 \iff (\ln x)2 - 5 \ln x + 4 \iff X^2 - 5X + 4 = 0$ en posant $X = \ln x$. Les solutions étant $X = 1$ et $X = 4$ on a donc soit $\ln x = 1 \iff x = \text{e}$, soit $\ln x = 4 \iff x = \text{e}^4$.

L'équation $f(x) =0$ a deux solutions dans $\R$ : $\text{e}$ et $\text{e}^4$. 
	\end{enumerate} 
\item %On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, calculer $f^{\prime}(x)$ et justifier que $f^{\prime}(x)$ est du signe de $2 \ln x - 5$.
		La fonction est dérivable sur  $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :
		
		$f^{\prime}(x) = 2 \times \ln x \times \dfrac{1}{x} - 5 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln x - 5}{x}$.
		
Comme $x > 0$, le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui du numérateur $2\ln x - 5$.
		\item %Résoudre l'inéquation $2 ln x - 5 ~ 0$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
Sur  $]0~;~+ \infty[$, \:$2 ln x - 5 = 0 \iff 2\ln x = 5 \iff \ln x = \dfrac{5}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{5}{2}}$. $\left(\text{e}^{\frac{5}{2}} \approx 12,18\right)$
		\item %En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On a donc :

$\bullet~~$si $2 ln x - 5 < 0 \iff x < \text{e}^{\frac{5}{2}}$, alors $f^{\prime}(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{5}{2}}\right[$.

$\bullet~~$si $2 ln x - 5 > 0 \iff x > \text{e}^{\frac{5}{2}}$, alors $f^{\prime}(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $\left]\text{e}^{\frac{5}{2}}~;~+ \infty\right[$. 
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
On en déduit le tableau de variations suivant :
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){$0$} \uput[u](4,2.4){$\text{e}^{\frac{5}{2}}$} \uput[u](6.5,2.5){$+\infty$}
\rput(0.5,2.25){$f^{\prime}(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$}\rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.4,2){$+\infty$}\uput[u](4,0){$-2,25$}
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate} 
\item %Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$.
On a $f(1) = 0 - 0 + 4 = 4$ et $f^{\prime}(1) = \dfrac{2\ln 1 - 5}{1} = - 5$.

L'équation de la tangente $T$ est donc $y - f(1) = f^{\prime}(1)(x - 1) \iff y - 4 = - 5(x - 1) \iff$

$ y = - 5x + 5 + 4 \iff y = - 5x + 9 
\item %On donne les fonctions $g, h, G$ et $H$ suivantes, définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln x, h(x) = (\ln x)^2, G(x) = x\ln x - x$ et $H(x) = x\left[(\ln x)^2 - 2\ln x + 2\right]$.
 
On admet que $G$ est une primitive de la fonction $g$ et que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I = \displaystyle\int_{\text{e}}^{\text{e}^2} - f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Conclusion}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les conjectures formulées dans la partie A, indiquer en détaillant les réponses : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item celles qui ont été vérifiées; 
\item celles qui sont fausses; 
\item celles pour lesquelles on ne peut pas conclure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On s'appuiera sur les résultats obtenus dans la partie B. 
\item On souhaite tracer sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ de manière à visualiser les résultats établis dans la partie B. Proposer un paramétrage de fenêtre de la calculatrice qui permet d'obtenir un tel tracé. 
\end{enumerate}

\vspace*{-5cm}
\begin{landscape}
\begin{center}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(21,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3.5)(21,10)
\psplot{-0.2}{2.5}{9 5 x mul sub}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.37}{21}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}
\rput{-90}(21.5,4){\large \textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie} }
\uput[u](2.71828,0){e}\uput[r](2.4,-2.5){$T$} \uput[d](14.5,-2.25){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ur](7.38906,0){$\text{e}^2$}\uput[dr](0,0){O}\uput[ur](1,4){A}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,9)(1,4)(2.71828,0)(7.38906,0)
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\psline(2.71828,0)(7.38906,0)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7.38906}{2.71828}{x ln dup mul x ln 5 mul sub 4 add}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1](-1,-3.)(21,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3.5)(21,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}