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%Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
% Tapuscrit Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI génie électronique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles-Guyane 13 septembre 2012~\decofourright\\[4pt]
Génie électronique, électrotechnique \& optique}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule réponse proposée est correcte. Chaque bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. On désigne par i le nombre  
%complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
% 
%Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = - 1$.
%
%\medskip
% 
\begin{enumerate}
\item %Le module et un argument de $z_{\text{B}}$ sont respectivement 
$z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\pi}$ : module 1 et argument $\pi$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}}
%$- 1$ et $0$& 	$- 1$ et $\pi$& $1$ et $0$& $1$ et $\pi$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item  	%Une forme exponentielle de $z_{\text{A}}$ est : 
On a $\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = 2 + 6 = 8 = \left(2\sqrt{2} \right)^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}  \right| = 2\sqrt{2}$.

En factorisant ce module :

$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{3} \right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$}X}} 
%$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&$z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&$z_{\text{A}} = \sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
%\end{tabularx}

\medskip
 
\item %L'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ est le point A$'$ d'affixe :
% 
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{$\bullet~~$}X}} 
%$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 + \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\ 
%$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$&$z_{\text{A}'} = \left(1 - \sqrt{3}\right) + \text{i}\left(1 - \sqrt{3}\right)$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
L'image d'un point $M$ d'affixe $z$ par la rotation est le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z\text{e}^{\frac{\pi}{4}} = z \left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = z\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Donc $z_{\text{A}'} = z_{\text{A}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \left( \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6} \right)\times \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\frac{7\pi}{12}} = 1 - \sqrt{3} + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right)$. 
\item %La suite définie par $u_{n} = \left|z_{\text{A}}\right|^n$ pour tout entier naturel $n$ :
 
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\bullet~~$}X}}
%est arithmétique&est géométrique&n'est ni arithmétique, ni géométrique\\
%\end{tabularx}
On sait que $\left|z_{\text{A}}  \right| = 2\sqrt{2}$, donc $u_{n} = \left(2\sqrt{2} \right)^n$ : c'est une suite géométrique de raison $2\sqrt{2}$.
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
 
%À la fin d'une émission de télévision, un jeu est organisé de la manière suivante.
% 
%Une question est posée et plusieurs réponses possibles sont données. Le joueur tape le numéro de la réponse qui lui semble correcte et l'envoie par l'intermédiaire d'un message électronique. La communication lui coûte alors 1~\euro{} (on suppose que l'organisateur du jeu reçoit l'intégralité de cet euro).
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]Si la réponse est fausse, le joueur a perdu.
%\item[$\bullet~~$]Si la réponse est correcte, un tirage au sort peut lui permettre de gagner un chèque d'une valeur de 50~\euro, ou une console de jeu d'une valeur de 300~\euro, ou un voyage d'une valeur de \np{1000}~\euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Au total, $16$ lots sont à gagner : $10$ chèques, $5$ consoles et $1$ voyage.
% 
%Une étude statistique indique que 1\,\% des joueurs n'ont pas la bonne réponse. 
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On suppose que \np{1000}~personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. 
%
%On désigne par :
% 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] $R$ l'évènement \og la personne choisie a donné une bonne réponse à la question \fg{} ;
%\item[ ] $G$ l'évènement \og la personne choisie a gagné un lot \fg.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner la probabilité de l'évènement $R$.
99\,\% des \np{1000} soit $0,99 \times \np{1000} = 990$ ont donné la bonne réponse. Donc $p(R) = \dfrac{990}{\np{1000}} = \dfrac{99}{100} = 0,99$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $\dfrac{2}{125}$.
Sur \np{1000} participants 16 ont gagné un lot ; $p(G) = \dfrac{16}{\np{1000}} = \dfrac{2 \times 8}{125 \times 8} = \dfrac{2}{125}$. 
\item %Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard.
 
%Par exemple, la valeur de $X$ pour un joueur qui perd est $- 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la probabilité de l'évènement \og $X$ prend la valeur 299 \fg{} est égale à $\dfrac{1}{200}$.
$X$ prend la valeur 299 lorsqu'un joueur gagne une des cinq consoles.

On a donc $p(X = 299) = \dfrac{5}{\np{1000}} = \dfrac{1}{200}$.		 
		\item %Donner toutes les valeurs prises par $X$. 
$X$ peut valoir $- 1$ (joueur perdant), 49 (gain d'un chèque de 50~\euro), 299 (gain d'une console) ou 999 (gain du voyage).
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
Le tableau de la loi de probabilité de $X$ est le suivant :
		
\medskip
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&$- 1$&49&299&999\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{984}{\np{1000}}$&$\dfrac{10}{\np{1000}}$&$\dfrac{5}{\np{1000}}$&$\dfrac{1}{\np{1000}}$\\ \hline
\end{tabularx}		
\end{center}  
		\item %Montrer que l'espérance de $X$ est $2$.
E$(X) = - 1 \times \dfrac{984}{\np{1000}}+ 49 \times \dfrac{10}{\np{1000}} + 299 \times \dfrac{5}{\np{1000}} + 999 \times \dfrac{1}{\np{1000}} = \dfrac{-984 + 490 + \np{1495} + 999}{\np{1000}} = \dfrac{\np{2000}}{\np{1000}} = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\medskip
% 
%Soit $n$ un nombre entier naturel supérieur ou égal à $100$. On suppose que $n$ personnes ont envoyé un message et que tous les lots ont été gagnés. On choisit une personne au hasard. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies.
% 
%Soit $X_{n}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros d'un joueur pris au hasard.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $X_{n}$.
Le nouveau tableau devient en remplaçant \np{1000} par $n$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&$- 1$&49&299&999\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{n - 16}{n}$&$\dfrac{10}{n}$&$\dfrac{5}{n}$&$\dfrac{1}{n}$
\\ \hline
\end{tabularx}		
\end{center}  
 
\item %Montrer que l'espérance de $X_{n}$ est égale à $\frac{\np{3000} - n}{n}$.
E$\left(X_{n}\right) =  - 1 \times \dfrac{n - 16}{n}+ 49 \times \dfrac{10}{n} + 299 \times \dfrac{5}{n} + 999 \times \dfrac{1}{n} = \dfrac{- n + 16 +  490 + \np{1495} + 999}{n} = \dfrac{\np{3000} - n}{n}$.
\item %Jusqu'à quelle valeur de $n$, le jeu est-il favorable à un joueur ? 
Le jeu est favorable au joueur s'il gagne plus que sa mise soit 1 euro ; donc 

E$\left(X_{n}\right) > 1 \iff \dfrac{\np{3000} - n}{n} > 1 \iff \np{3000} - n > n \iff 2n < \np{3000} \iff n < \np{1500}$.

Le jeu est favorable aux joueurs jusque'\`a $n = \np{1499}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%On considère l'équation différentielle du second ordre : 
%
%\[(E) :\quad  y^{\prime\prime} + 3y^{\prime} + 2y = 0\]
% 
%où la fonction inconnue $y$ de la variable $x$ est définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels ; $y^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $y$ et $y^{\prime\prime}$ la fonction dérivée de $y^{\prime}$.
%
%\medskip
% 
%Le but de ce problème est de déterminer et d'étudier une solution de l'équation différentielle $(E)$. 
%
%La courbe représentative $\mathcal{C}$ de cette solution est donnée ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2.2,-1.2)(4.5,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.9}{4.5}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
%\psplot{-1}{0.4}{4 x mul 2.77259 add}
%\pscustom[fillstyle=vlines]{
%\psplot{-1}{0}{4 x mul 2.77259 add}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{-0.9}{2 2.71828 x exp div 1 2.71828 x 2 mul exp div sub}
%}
%\psline[linewidth=1.25pt](-2.5,1)(4.5,1)
%\uput[ur](0,1){A}\uput[ul](-0.69,0){B}
%\uput[u](1.5,0.4){$\mathcal{C}$}\uput[r](0.35,4){$\mathcal{D}$}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%Les parties B et C peuvent être traitées indépendamment de la partie A.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{- x} + b\text{e}^{- 2x}$, $a$ et $b$ étant deux constantes réelles.
 
%La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessus est la courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$. Cette courbe passe par le point A(0~;~1) et la tangente à $\mathcal{C}$ en A est parallèle à l'axe des abscisses.
% 
%On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$.
On lit $f(0) = 1$ et  $f^{\prime}(0) = 0$ (tangente de pente nulle).
		\item %En utilisant $f(x)$, exprimer $f(0)$ et $f^{\prime}(0)$ en fonction de $a$ et $b$.
$f(x) = a\text{e}^{- x} + b\text{e}^{- 2x}$ entra\^{\i}ne :

$f^{\prime}(x) = - a\text{e}^{- x} - 2b\text{e}^{- 2x}$. D'o\`u :

$f(0) = a + b$ ;

$f^{\prime}(0) = - a - 2b$. 
		\item %En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
On a donc le système :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l}
a + b	&=&1\\
- a - 2b&=&0
\end{array}\right. \iff - b = 1\quad  \text{(par somme) soit}\: b = - 1.\]

En reportant la valeur trouvée pour $b$ dans la première équation on obtient $a - 1 = 1 \iff a = 2$.

Donc $f(x) = 2\text{e}^{- x} - \text{e}^{- 2x}$.
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier que la fonction $f$ obtenue est effectivement une solution de l'équation différentielle $(E)$.
On a $f^{\prime}(x) = - 2\text{e}^{- x} + 2\text{e}^{- 2x}$ ; 

$f^{\prime\prime}(x) = 2\text{e}^{- x} - 4\text{e}^{- 2x}$.

On a $f^{\prime\prime}(x) + 3f^{\prime}(x) + 2f(x) = 2\text{e}^{- x} - 4\text{e}^{- 2x} + 3\left(- 2\text{e}^{- x} + 2\text{e}^{- 2x} \right) + 2\left(2\text{e}^{- x} - \text{e}^{- 2x} \right) = 2\text{e}^{- x} - 6\text{e}^{- x} + 4\text{e}^{- x}  - 4\text{e}^{- 2x} + 6\text{e}^{- 2x} - 2\text{e}^{- 2x} = 0$.

$f$ est bien une solution de l'équation différentielle.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $f$, étudiée dans la partie A, définie sur $\R$ par : 
%
%\[f(x) = 2\text{e}^{- x} -  \text{e}^{- 2x}.\]
% 
%La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée au début du problème.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. 
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- 2x} = 0$, donc :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
%Donner une interprétation graphique de cette limite.
Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des abscisses est asymptote \`a $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. 
\item %Montrer que, pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$, puis déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
Quel que soit le réel $x,\:f(x) = 2\text{e}^{- x} -  \text{e}^{- 2x} = 2\text{e}^{- 2x} \times \text{e}^{x} - 1 \times \text{e}^{- 2x} = \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(2\text{e}^{x} - 1\right) = - 1$.

D'autre part  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{- 2x} = + \infty$, donc par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f^{\prime}(x) = 2\text{e}^{- 2x}\left(1 - \text{e}^{x}\right)$ pour tout réel $x$.
$f^{\prime}(x) = - 2\text{e}^{- x} +  2\text{e}^{- 2x} = -2\text{e}^{- 2x}\text{e}^{x} + 2 \text{e}^{- 2x} =  2\text{e}^{- 2x}\left(-\text{e}^{x} + 1\right) = 2\text{e}^{- 2x}\left(1 -\text{e}^{x}\right)$ pour tout réel $x$.
		\item %Résoudre dans $\R$ l'inéquation $1 - \text{e}^{x} > 0$.
$1 - \text{e}^{x} > 0 \iff 1 > \text{e}^{x} \iff \ln 1 > \ln \left(\text{e}^{x} \right)$ \:par croissance de la fonction $\ln$, soit $0 > x$

On a donc  $1 - \text{e}^{x} > 0 \iff x < 0$.

En utilisant l'écriture précédente de $f^{\prime}(x)$ :

$f^{\prime}(x) > 0 \iff 1 - \text{e}^{x} > 0 \iff 2\text{e}^{- 2x}\left(\text{e}^{x} - 1\right) > 0 \iff \text{e}^{x} - 1 > 0$ car on sait que quel que soit le réel $x, \: \text{e}^{- 2x} > 0$.

Donc $f^{\prime}(x) > 0 \iff x < 0$. 

On trouverait de même que $f^{\prime}(x) < 0 \iff x > 0$.
%En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur $\R$. 
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$, dans lequel on reportera les limites.
Les résultats précédents montrent que :
		
$\bullet~~$ $f$ est croissante sur $]- \infty~;~0[$ ;

$\bullet~~$ $f$ est décroissante sur $]0~;~+  \infty[$.
On a donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)
\psline(0,2)(10,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](6,2){$0$} \uput[u](9.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](9.8,0){$0$}\uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](6,2){1}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5) \psline{->}(6.5,1.5)(9.5,0.5)
\rput(1,1){$f(x)$}   
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%L'objectif de cette partie est de déterminer l'aire du domaine hachuré sur le graphique donné au début du problème.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On désigne par B l'unique point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe (O$x$).
On a vu que l'on pouvait écrire :

$f(x) = \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right)$, donc $f(x) = 0 \iff  \text{e}^{- 2x}\left(2\text{e}^{x} - 1\right) = 0 \iff 2\text{e}^{x} - 1 = 0$\: (car $\text{e}^{- 2x} > 0$, puis $2\text{e}^{x} = 1 \iff \text{e}^{x} = \dfrac{1}{2} \iff \ln \left(\text{e}^{x} \right) = \ln \left(\dfrac{1}{2} \right) \iff x  = - \ln 2$.
%Montrer que l'abscisse du point B est $x_{\text{B}} = - \ln (2)$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $f^{\prime}(- \ln (2)) = 4$.
		On a   $f'(- \ln (2)) = 2\text{e}^{- 2 \times (- \ln 2)}\left(1 -\text{e}^{- \ln 2}\right) = 2\text{e}^{2\ln 2} \left( 1 - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 2}}\right) = 2 \left(\text{e}^{\ln 2} \right)^2 \left(1 - \dfrac{1}{2}}\right) = 2 \times 2^2 \times  \dfrac{1}{2}} =$
		
$f'(- \ln (2)) =  4$.
		\item %En déduire qu'une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est :
		 
%\[y = 4x + 4\ln (2).\]
Une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est :

$y - y_{\text{B}} = f^{\prime}(x_{\text{B}}\left(x - x_{\text{B}}\right)$ soit

$y - 0 = 4(x - (- \ln 2)) \iff y = 4x + 4\ln 2$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ par : 

%\[g(x) = (4x + 4\ln(2)) - f(x).\]
 
%On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. On admet que le signe de la fonction $g^{\prime}$ est donné Dar le tableau suivant :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,2.5)
%\psframe(10,2.5)\psline(0,2)(10,2)
%\psline(2,0)(2,2.5)
%\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](6,2){$- \ln (2)$} \uput[u](9.5,2){$+ \infty$}
%\rput(1,1.5){signe de}\rput(1,0.5){$g^{\prime}(x)$}\rput(4,1){$-$}\rput(6,1){$0$}\rput(8,1){$+$}  
%\end{pspicture}
%\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\R$ (les limites de la fonction $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ ne sont pas demandées).
La fonction $g$ est décroissante sur $]- \infty~;~- \ln 2[$, croissante sur $]- \ln 2~;~+ \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2.5)
\psline(0,2)(10,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.5,2){$- \infty$} \uput[u](6,2){$- \ln 2$} \uput[u](9.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.5,1.5)(5.5,0.5) \psline{->}(6.5,0.5)(9.5,1.5)
\rput(1,1){$g(x)$}   
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Montrer que $g(- \ln (2)) = 0$.
$g(- \ln (2)) = -4\times (\ln 2)  + 4\ln 2 - f(- \ln 2) = -\left(2\text{e}^{- (- \ln 2} - \text{e}^{- 2\times (- \ln 2)}\right) = - 2\text{e}^{\ln 2} + \text{e}^{2\ln 2} = - 2 \times 2 + 2^2 = - 4 + 4 = 0$. 
		\item %Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a $g(x) \geqslant 0$.
Le tableau de variations a montré que  $g(- \ln (2)) = 0$ est le minimum de la fonction $g$. On a donc pour tout réel x,\: g(x) \geqslant 0$.
		\item %En déduire la position de la droite $\mathcal{D}$ par rapport à celle de la courbe $\mathcal{C}$.
Géométriquement le dernier résultat montre que tout point de la droite $\mathcal{D}$ est au dessus du point de même abscisse de la fonction $f$, donc que la tangente $\mathcal{D}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par 
		
%		\[G (x) = 2x^2 + ( 4\ln (2))x + 2\text{e}^{- x} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x}\]

%est  une primitive de $g$ sur $\R$.
$G$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et sur $\R$ :

$G^{\prime}(x) = 4x + 4\ln 2 - 2\text{e}^{- x}  - \dfrac{1}{2}\times (- 2)\text{e}^{- 2x} =  4x + 4\ln 2 - 2\text{e}^{- x}  + \text{e}^{- 2x} =  4x + 4\ln 2 - \left(2\text{e}^{- x}  - \text{e}^{- 2x}\right) = 4x + 4\ln 2 - f(x) = g(x)$.

$G$ est donc bien l'une des primitives de la fonction $g$.
		\item %On admet que l'aire, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les droites d'équations respectives $x = -  \ln (2)$ et $x = 0$, est égale à $\displaystyle\int_{- \ln (2)}^{0} g(x)\:\text{d}x$. 

%Déterminer la valeur exacte de cette aire, en unité d'aire.
$\displaystyle\int_{- \ln (2)}^{0} g(x)\:\text{d}x = [G(x)]_{- \ln 2}^0 = G(0) - G\(- \ln 2) =$

$ 2\times 0^2 + ( 4\ln (2))\times 0 + 2\text{e}^{- 0} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2\times 0} - \left[2(- \ln 2)^2 + ( 4\ln (2))\times (- \ln 2) + 2\text{e}^{ \ln 2} - 
\dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2\times (- \ln 2)} \right] =$
 
$2 - \dfrac{1}{2} - 2(\ln 2)^2 + 4(\ln 2)^2  - 4 + \dfrac{1}{2}\times 4 = 
 - \dfrac{1}{2} + 2(\ln 2)^2 = 2(\ln 2)^2  - \dfrac{1}{2}  \approx 0,461$~(unité d'aire).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}