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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique,\\ électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[5pt]novembre 2010 Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 3 centimètres. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

%\[z^2 - z\sqrt{3} + 1 = 0.\]
$\Delta = 3 - 4 = - 1 = \text{i}^2 < 0$ : l'équation a donc deux solutions complexes :

$z_{1} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et  $z_{2} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{2}$.
\item  %Soient A et B deux points du plan complexe d'affixes respectives: 

%\[z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}\quad \text{et}~~z_{\text{B}} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{2}\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$ et de $z_{\text{B}}$.
$\left|z_{\text{A}}  \right|^2 =  \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 +  \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$. D'où $\left|z_{\text{A}}  \right| = 1$.

$z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi}{6} + \text{i}\sin \dfrac{\pi}{6}$ : un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}$.

On a $z_{\text{A}} = \overline{z_{\text{A}}}$, donc $\left|z_{\text{B}}  \right| = 1$ et un argument de $z_{\text{A}}$ est $- \dfrac{\pi}{6}$.
		\item %Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
On a donc $z_{\text{A}} = 1 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et $z_{\text{B}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item %Placer les points A et B dans le repère \Ouv.
		On place A et B sur le cercle de centre O, de rayon 1, A avec son ordonnée $\dfrac{1}{2}$ et B avec son ordonnée  $- \dfrac{1}{2}$. Voir la figure à la fin 
	\end{enumerate}
\item  %Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire le point C, image du point B par la rotation $r$.
On construit sur le cercle trigonométrique à partir de O et de B, deux triangles équilatéraux avec deux angles au centres de $\dfrac{\pi}{3}$. Voir la figure 
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C. On donnera d'abord la forme exponentielle de $z_{\text{C}}$ puis sa forme algébrique.
		On sait que $z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}z_{\text{B}} = 
				\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = 
\text{e}^{\text{i}\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right)} =	\text{e}^{\text{i}\left(\frac{3\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \text{i}$. 

Le point C appartient à l'axe des imaginaires.
	\end{enumerate} 
\item  %Soit $t$ la translation de vecteur $\vect{\text{AO}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{\text{AO}}$ a pour affixe $- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$.
On a $z_{\vect{\text{AO}}} = z_{\text{O}} - z_{\text{A}} = - z_{\text{A}} = - \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$.		 
		\item  %En déduire l'affixe $z_{\text{D}}$ du point D, image du point B par la translation $t$.
		Par définition de la translation on a : $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{AO}}$ soit $z_{\text{D}} - z_{\text{B}} = - \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$ ou $z_{\text{D}} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{2} - \left(\dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}\right) = - \text{i}$. Le point D appartient lui aussi à l'axe des imaginaires.
		\item  %Construire le point D.
Voir la figure.
	\end{enumerate} 
\item  %Montrer que le triangle OBD est équilatéral.
On a de suite OD $ = \left|z_{\text{D}}\right| = 1$, on savait déjà que OB = 1 et  l'égalité $\vect{\text{BD}} = \vect{\text{AO}}$ montre pour les modules que BD = AO = 1.

Le triangle OBD a ses trois de même longueur 1 : il est équilatéral.
\item  %Montrer que le triangle BCD est rectangle.
De fa\c{c}on évidente [CD] est un diamètre et B est un point du cercle de diamètre [BD : triangle inscrit dans le demi-cercle de diamètre [BD], il est rectangle en B. 
\end{enumerate}
\medskip

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0.866,0.5)(0.866,-0.5)(0,1)(0,-1)
\uput[ur](0.866,0.5){A}\uput[dr](0.866,-0.5){B}\uput[ur](0,1){C}\uput[dr](0,-1){D}
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.866,0.5)(0,0)
\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0.866,-0.5)(0,-1)
\pscircle(0,0){1}
\pspolygon(0.866,-0.5)(0,1)(0,-1)
\psarc(0.866,-0.5){1}{80}{100}
\psarc(0.866,0.5){1}{140}{160}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise fabrique des pièces en grande série. Une pièce est considérée conforme si elle répond aux critères de diamètre et d'épaisseur exigés. Afin de vérifier la conformité de ces pièces, on procède à deux tests : un test sur le diamètre et un test sur l'épaisseur.
%
%On effectue les deux tests sur $500$~pièces et on observe que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 18 pièces ont un défaut de diamètre; 
%\item 15 pièces ont un défaut d'épaisseur; 
%\item  5 pièces ont les deux défauts.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip 

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Pièces ayant un défaut de diamètre&Pièces n'ayant pas un défaut de diamètre&
Total\\ \hline
Pièce ayant un défaut d'épaisseur		&5	&10		&15\\ \hline 
Pièce n'ayant pas un défaut d'épaisseur	&13	&472	&485\\ \hline  
Total 									&18	&482	& 500\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
  
\item %On prélève au hasard une pièce parmi les 500 pièces testées. Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité  que la pièce prélevée présente les deux défauts ?
On sait qu'il y a 5 pièces sur 500 présentant les deux défauts ; la probabilité  est donc égale à $\dfrac{5}{500} = \dfrac{1}{100} = 0,01$.
\item %On prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent un défaut de diamètre. 
%Elles ont toutes la même probabilité d'être choisies. Quelle est la probabilité, à $10^{-2}$ près, que la pièce prélevée présente également un défaut d'épaisseur ?
Sur les 18 pièces  qui présentent un défaut de diamètre, 5 ont un défaut d'épaisseur ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{5}{13} \approx 0,384 \approx 0,38$ à $10^{-2}$ près.
\item %Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée, associe le nombre de défauts de conformité de la pièce. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
Ont zéro défaut : 472 pièces ;

Ont un défaut : 13 + 10 = 23 pièces ;

Ont deux défauts : 5 pièces. D'où le tableau de  la loi de probabilité de $X$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&0&1&2\\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&$\dfrac{472}{500}$&$\dfrac{23}{500}$&$\dfrac{5}{500}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Calculer l'espérance de $X$. 
On a E$(X) = 0 \times \dfrac{472}{500} + 1 \times \dfrac{23}{500} + 2 \times \dfrac{5}{500} = \dfrac{23}{500} + \dfrac{10}{500} = \dfrac{33}{500} = 0,066$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 11 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip
 
\textbf{Partie A : Détermination d'une fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
%
%\[f(x) = (ax + b)\text{e}^x + c\]
% 
%où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels que l'on se propose de déterminer dans cette partie. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
% 
%Sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie, on donne la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~centimètre en abscisse et 0,25~centimètre en ordonnée.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 3.
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A(0~;~7) et la droite T est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$. Le point B$(-2~;~1)$ appartient à la droite T.
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide des données précédentes et du graphique, donner sans justification les valeurs de $f(0),~f^{\prime}(0)$ et $f^{\prime}(3)$.
On a $f(0) = 7 ;  f^{\prime}(0) = \dfrac{1 - 7}{0 -  (- 2)} = - 3$ et $f^{\prime}(3) = 0$ (tangente horizontale, donc nombre dérivé nul pour $x = 3$.
\item  %Exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et de $c$. 
L'écriture $f(x) = (ax + b)\text{e}^x + c$ donne pour $x = 0, \quad f(0) = b\text{e}^0 + c = b + c$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $x,~f^{\prime}(x) = (ax + a + b)\text{e}^x$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et :

$f^{\prime}(x) = a\text{e}^x + (ax + b)\text{e}^x = \text{e}^x(a + ax + b) =  (ax + a + b)\text{e}^x$.
		\item %En déduire les expressions de $f^{\prime}(0)$ et de $f^{\prime}(3)$ en fonction de $a$ et de $b$.
Le résultat précédent donne pour $x = 0$ et $x = 3$, respectivement :

$f^{\prime}(0) = (a \times 0 + a + b)\text{e}^0 = a + b$ ;

$f^{\prime}(3) = (a \times 3 + a + b)\text{e}^3 = (4a + b)\text{e}^3$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant les résultats des questions 1., 2. et 3.b, montrer que $a,~b$ et $c$ vérifient le système d'équations : 
En utilisant tous les résultats précédents on obtient :
		
%		\[\left\{\begin{array}{l c l}
%b+c&=&7\\ 
%a+b&=&3\\
%4a + b &=&0
%\end{array}\right.\] 

		\[\left\{\begin{array}{l c l}
f(0)&=&7\\
f^{\prime}(0)&=&- 3\\
f^{\prime}(3)&=&0
\end{array}\right. \quad \text{ou} \:\:\left\{\begin{array}{l c l}
b + c		&=&7\quad (1)\\ 
a + b		&=&3\quad (2) \\
4a + b 		&=&0\quad (3)
\end{array}\right.\] 
		\item %Déterminer les valeurs de $a,~b$ et $c$ puis donner l'expression de $f(x)$.
Par différence (3) - (2), on obtient :

$3a = - 3$ soit $a = - 1$ ; (2) donne alors $-1 + b = 3$ ou $b = 1 + 3 = 4$ et (1) donne $4 + c = 7$ soit $c  = 3$.

Conclusion : $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = (- x + 4)\text{e}^x + 3$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
%Dans la suite du problème, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
% 
%\[f(x) = (-x + 4)\text{e}^x + 3\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (- x + 4) = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$ donc par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item %En remarquant que, pour tout réel $x,~f(x) = -x\text{e}^x + 4\text{e}^x + 3$, calculer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ (on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).  
En développant on obtient :

$f(x) = -x\text{e}^x + 4\text{e}^x + 3$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}4\text{e}^x = 0$ et on admet  que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$ ; donc par somme de limites on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 3$.
%Interpréter graphiquement la limite trouvée.

Géométriquement ce résultat signifie que la droite d'équation $y = 3$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe.
On a vu à la partie A que :

$f^{\prime}(x) = (ax + a + b)\text{e}^x = (-1x + (- 1) + 4)\text{e}^x = (- x + 3)\text{e}^x$.

On sait que $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, donc le signe de  $f^{\prime}(x)$ est celui de $(- x + 3)$. D'où :

si $- x + 3 > 0$ ou $x < 3$, \:$f^{\prime}(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur $]- \infty~;~[$ ;

si $- x + 3 < 0$ ou $x > 3$, \:$f^{\prime}(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur $]3 ~;~+\infty[$.

$f(3)$ est le maximum de $f$ sur $\R$ : $f(3) = (- 3 + 4)\text{e}^3 = \text{e}^3$.
		\item %Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\psframe(7,3.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,3)(7,3)\psline(1,0)(1,3.5)
\uput[u](0.5,3){$x$}\uput[u](1.5,3){$- \infty$}\uput[u](4,3){$3$}\uput[u](6.5,3){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f^{\prime}(x)$}\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){$-\infty$} \uput[d](4,2){$\text{e}^3$}\uput[u](6.5,0){3}
\rput(2.5,2.5){$+$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5.5,2.5){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

%\[F(x) = (-x + 5)\text{e}^x + 3x.\]
 
%Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur R 
$F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$F^{\prime}(x) = - \text{e}^x + (-x + 5)\text{e}^x + 3 = \text{e}^x(- x + 4) + 3 = f(x)$.

Donc $F$ est primitive de la fonction $f$ sur $\R$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit D le domaine du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite T d'équation $y = 3x + 7$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 3$.
		 
%Hachurer le domaine D sur le graphique de l'annexe.
Voir la figure 
		\item %Calculer, en centimètres carrés, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine D.
		 
%On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
La courbe $\mathcal{C}$ étant au dessus de la droite T, l'aire, en unité d'aire de  D est égal à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^3 [f(x) - (3x + 7)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^3  f(x)\:\text{dx} - \displaystyle\int_{0}^3 3x\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^3 7\:\text{d}x = [F(x)]_{0}^3 - \dfrac{3}{2}[x^2]_{0}^3 - 7[x]_{0}^3 = (-3 + 5)\text{e}^3 + 3\times 3 - \left((-0 + 5)\text{e}^0 + 3\times 0 \right) - \dfrac{3}{2}3^2 + \dfrac{3}{2}0^2 - 7\times 3 + 7 \times 0 = 2\text{e}^3 + 9 - 5 - \dfrac{27}{2} - 21 = 2\text{e}^3 - \dfrac{61}{2} \approx 9,671 \approx 9,67$~unité d'aire.(résultat que l'on peut conforter approximativement sur la figure chaque carré ayant une aire de 4).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe (problème) à rendre avec la copie}

\vspace{3cm} 

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.3cm} 
\begin{pspicture}(-5.5,-16)(3,26)
\multido{\n=-5+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-16)(\n,24)}
\multido{\n=-16+4}{11}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange](-5,\n)(3,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=4](0,0)(-5.5,-16)(3,26)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.5}{3}{4 x sub 2.71828 x exp mul 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{3}{3 x mul 7 add}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.25](0,7)(-2,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{4 x sub 2.71828 x exp mul 3 add}
\psline(3,16)(0,7)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}