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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 22 juin 2010~\decofourright\\[5pt]Génie électronique,  électrotechnique, optique}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ 

\begin{enumerate}
\item %Soit $P(z) = z^3 - 27$, où $z$ désigne un nombre complexe. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $P(z) = (z-3)\left(z^2 + 3z + 9\right)$.
$(z - 3)\left(z^2 + 3z + 9\right) = z^3 + 3z^2 + 9z - 3z^2 - 9z - 27 = z^3 - 27 = P(z)$, ce qui valide la factorisation.		 
		\item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation
		
%$P(z) = 0$.
Dans $\C,~P(z) = 0 \iff (z-3)\left(z^2 + 3z + 9\right) \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
z - 3&=&0\\
z^2 + 3z + 9&=&0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
z &=&3\\
z^2 + 3z + 9&=&0
\end{array}\right.$

Pour la seconde équation : $\Delta = 9 - 36 = - 27 = \left(3\text{i}\sqrt{3} \right)^2$.

L'équation a deux solutions imaginaires conjuguées : $\dfrac{-3 + 3\text{i}\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{-3 - 3\text{i}\sqrt{3}}{2}$.
		\end{enumerate} 
\item %On considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
 
%\[z_{\text{A}} = 3, \quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}.\]
On reconnaît les trois solutions de l'équation $P(z) = 0$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
On calcule $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 \Rightarrow  \left|z_{\text{B}} \right| = 3$.

Comme $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$ ces deux nombres complexes ont le même module : 3.

En factorisant 3, $z_{\text{B}} = 3\left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right).$

Un argument de $z_{\text{B}}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}$.
		\item %Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $- \pi$ et $\pi$.
Comme $z_{\text{C}} = \overline{z_{\text{B}}}$, un de ses arguments est $-\dfrac{2\pi}{3}$.		

On peut donc écrire  $z_{\text{C}}  = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}.$
		\item %Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.
On a $\left|z_{\text{A}} \right| = \left|z_{\text{B}} \right|  = \left|z_{\text{C}} \right|  = 3$, soit OA = OB = OC, donc les trois points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon $3$. 
		\item %Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv.
Les points B et C sont les points communs au cercle précédent $\Gamma$  et \`a la droite d'équation $x = \dfrac{3}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %Le point D est l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{D}}$ l'affixe du point D.
 
%Montrer que $z_{\text{D}} = -3$, puis placer le point D sur la figure précédente.
Par définition de la rotation : $z_{\text{D}} - z_{\text{O}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\left(z_{\text{C}} - z_{\text{O}} \right)$, soit 

$z_{\text{D}} =\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left(- \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right) = - \dfrac{3}{4}- \dfrac{9}{4} - \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\text{i} + \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\text{i} = - \dfrac{12}{4} = - 3.$ 
\item %Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $|z + 3| = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que les points O, B et C appartiennent à l'ensemble $\mathcal{F}$.
$\left|z_{\text{O}} + 3 \right| = |3| = 3$ ; 

$\left|z_{\text{B}} + 3 \right| = \left|- \dfrac{3}{2}+ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} + 3 \right| = \left|\dfrac{3}{2}+ \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right| = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4}} = \sqrt{\dfrac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$ ; 

$\left|z_{\text{C}} + 3 \right| = \left|- \dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} + 3 \right| = \left|\dfrac{3}{2}- \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i} \right| = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4}} = \sqrt{\dfrac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$.

Les points O, B et C appartiennent \`a l'ensemble $\mathcal{F}$ 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%L'ensemble $\mathcal{F}$ est l'image du cercle $\Gamma$ par certaines transformations du plan.

%En citer une et préciser ses éléments caractéristiques.
Les points $M$ d'affixe $z$ de $\mathcal{F}$ vérifient $|z + 3| = 3 \iff |z - (-3)| = 3 \iff \text{D}M = 3$ : ces points appartiennent au cercle $\mathcal{F}$ de centre D et de rayon $3$.

Ce cercle $\mathcal{F}$ est le symétrique de $\Gamma$ autour de la droite (BC). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-3)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){3}\psline(-1.5,-3)(-1.5,3)
\pscircle[linecolor=blue](-3,0){3}
\psdots(3,0)(-3,0)(-1.5,2.598)(-1.5,-2.598)
\uput[ur](3,0){A} \uput[ul](-1.5,2.598){B} \uput[dl](-1.5,-2.598){C} \uput[ul](-3,0){D}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](2.2,2){$\Gamma$} \uput[ul](-5.2,2){$\mathcal{F}$} 
\psline(-1.5,2.598)(0,0)(-1.5,-2.598)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Deux machines A et B produisent un même type de pièce. On a prélevé \np{3000} unités sortant de la machine A et \np{2000} de la machine B.
% 
%Ces pièces peuvent présenter deux types de défauts: un défaut de couleur, noté C, et un défaut de taille, noté T.
% 
%Pour la machine A, 2\:\% des pièces présentent uniquement le défaut C, 5\:\% uniquement le défaut T et 1\:\% les deux défauts.
% 
%Pour la machine B, 3\:\% présentent le seul défaut C, 4\:\% le seul défaut T et 2\:\% les deux défauts.
% 
%On pourra éventuellement se servir du tableau ci-dessous 

%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&C seul &T seul &C et T	&ni C ni T 	&Total\\ \hline 
A		&60		&150	& 30	&\np{2760}	&\np{3000}\\ \hline 
B		&60 	&80		&40		&\np{1820}	&\np{2000}\\ \hline 
Total	&120	&230	&70		&\np{4580}	&\np{5000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

%On prend au hasard une pièce parmi les \np{5000} prélevées; toutes les pièces ont la même chance d'être choisies.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La probabilité que la pièce soit fabriquée par la machine A est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{5}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{5}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
La machine A produit \np{3000} pièces sur \np{5000} ; la probabilité est donc $\dfrac{\np{3000}}{\np{5000}} = \dfrac{3}{5}$.
\item %La probabilité que la pièce présente uniquement le défaut C est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$0,024$&\textbf{b.}~~$0,02$&\textbf{c.}~~$0,03$&\textbf{d.}~~$120$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Il y a $60 + 60 = 120$ pièces présentant le défaut C ; la probabilité cherchée est donc : $\dfrac{120}{\np{5000}} = 0,024$.
\item %La probabilité que la pièce présente le défaut T est :
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$\dfrac{23}{500}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{3}{50}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{7}{500}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{20}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
Il y a $150 + 80 = 230$ pièces présentant le défaut T ; la probabilité cherchée est donc : $\dfrac{230}{\np{5000}} = 0,046$. 
\item %La probabilité que la pièce présente au moins l'un des deux défauts est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.}~~$0,014$&\textbf{b.}~~$0,06$&\textbf{c.}~~$0,038$&\textbf{d.}~~$0,084$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Il y a $120 + 230 + 70 = 420$ pièces présentant au moins l'un des deux  défauts  ; la probabilité cherchée est donc : $\dfrac{420}{\np{5000}} = 0,084$.
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%L'entreprise décide de commercialiser les \np{5000} pièces prélevées :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] les pièces présentant les deux défauts sont invendables et sont détruites ; 
%\item[$\bullet~$] les pièces présentant uniquement un défaut de taille sont bradées au prix de 10~\euro{} chacune; 
%\item[$\bullet~$] celles présentant uniquement un défaut de couleur sont soldées au prix de 25~\euro{} chacune ; 
%\item[$\bullet~$] enfin les pièces correctes sont vendues au prix de 30~\euro{} chacune.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Sachant que le coût de fabrication d'une pièce est de 10~\euro{}, on considère la variable aléatoire $X$ égale au bénéfice fait par l'entreprise sur chaque pièce, exprimé en euros. 
\item %L'entreprise peut espérer un bénéfice moyen, exprimé en euros, de :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a}~~$18,68$&\textbf{b}~~$18,54$&\textbf{c}~~$18,89 $&\textbf{d}~~$18,75$\\
%\end{tabularx}
%\medskip  
Le prix de revient est égal \`a :

$- 70 \times 10 + 230 \times 0 + 15 \times 120 + \np{4580} \times 20 = \np{92700}$ soit un bénéfice moyen pour \np{5000} pièces produites de : $\dfrac{\np{92700}}{\np{5000}} = 18,54$~(\euro).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : exploitation d'un graphique}

%\medskip
% 
%\parbox{0.48\linewidth}{La courbe ci-contre est la représentation graphique d'une fonction $g$ définie sur $\R$ par :
% 
%$g(x) = x^3 - x^2 + ax + b$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
% 
%On suppose $g$ strictement croissante sur $\R$.

%Cette courbe coupe les axes de coordonnées 
%aux points A(1~;~0) et B$(0~;~- 2)$.
% 
%La droite en pointillés est la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Elle coupe l'axe des ordonnées au point C$(0~;~- 3)$. 
\begin{enumerate}
\item %Lire $g(1)$ sur le graphique.
On lit $g(1) = 0$. 
%En déduire une relation entre $a$ et $b$.
$g(1) = 0 \iff 1^3 - 1^2 + a + b = 0 \iff a + b = 0$. 
\item Donner la valeur de $g'(1)$.
On lit $g'(1) = \dfrac{3}{1} = 3$.

Or $g'(x) = 3x^2 - 2x + a$, donc $g'(1)  = 3 \iff 3 - 2 + a = 3 \iff a = 2$
 
%Écrire alors une relation vérifiée par $a$. 
\item %À l'aide des deux premières questions, déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
On a vu que $a + b = 0 $ et que $a = 2$, donc $b = - 2$.

La fonction $g$ est donc définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - x^2 + 2x - 2$. 
\item %Donner le signe de $g(x)$ sur $\R$.
On sait que la fonction $g$ est croissante sur $\R$ et que $g(1) = 0$, d'o\`u :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $g(x) < 0$ si $x < 1$ ;
\item[$\bullet~$] $g(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] $g(x) > 0$ si $x > 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate}
%\hfill  \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1.75cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(2.25,2.5)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{-0.53}{1.55}{x 3 exp x dup mul sub 2 x mul add 2 sub}
%\psplot[linestyle=dashed]{-0.166}{1.667}{3 x mul 3 sub}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt](-2,-4)(3,3)
%\end{pspicture*}}

\medskip

\emph{Dans la suite, on admettra que :} $g(x) = x^3 - x^2 + 2x - 2$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip
 
%On considère maintenant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :

\[f(x) = 4\ln x + x^2 - 2x + 1 + \dfrac{4}{x}.\]
  
%Soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère \Oij{} du plan.
 
\begin{enumerate}
\item  %On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. 

%En remarquant que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$,

%$f(x) = \dfrac{1}{x}\left(4x\ln x + x^3 - 2x^2 + x + 4\right)$, 
%déterminer la limite de la fonction $f$ en zéro et interpréter graphiquement le résultat.
De $f(x) = \dfrac{1}{x}\left(4x\ln x + x^3 - 2x^2 + x + 4\right)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ on en déduit que 

$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

Géométriquement ce résultat signifie que l'axe des ordonnées est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. 
\item %Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~5]$, $f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$ où $g$ est la fonction définie dans  la partie A.
La fonction $f$ somme de fonctions dérivables sur ]0~ ;~5] est dérivable sur $]0~;~5]$ et 

$f'(x) = \dfrac{4}{x} + 2x  - 2 - \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{1}{x^2}\left(4x + 2x^3 - 2x^2 - 4 \right) = \dfrac{2}{x^2}\left(x^3 + 2x - x^2 - 2 \right) = \dfrac{2g(x)}{x^2}$. 
%En déduire le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Comme $2 > 0$ et $x^2 \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu au-dessus. D'o\`u :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f'(x) < 0$ si $0 < x < 1$ ; 
\item[$\bullet~$] $f'(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] $f'(x) > 0$ si $x > 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

D'o\`u le tableau de variations de $f$ :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.2,2.5){$0$} \uput[u](4,2.5){$1$} \uput[u](6.8,2.5){$5$}
\uput[u](0.5,2){$f'(x)$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.3)\psline{->}(4.5,0.3)(6.5,1.5)
\uput[d](1.4,2){$+ \infty$} \uput[u](4,0){$4$}\uput[d](6.5,2){23,24}
\uput[u](4,2){$0$} \uput[u](2.5,2){$-$}\uput[u](5.5,2){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : position relative de deux courbes}

%\medskip
% 
%Dans la question 1. on demande de conjecturer des résultats à partir de la calculatrice ; dans la question 2. on demande de prouver ces résultats.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$, ainsi que l'hyperbole $\Gamma$ d'équation $y = \dfrac{4}{x}$. 

%Les résultats attendus dans cette question seront obtenus à partir de la lecture d'écran. 
	\begin{enumerate}
		\item %Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée.
\medskip
Avec la fenêtre $0 < x < 4$ et $3 < y < 10$ :
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3,10)
\psframe(3,10)
\psplot{0.273}{3}{x ln 4 mul x dup mul add 2 x mul sub 1 add 4 x div add}
\psplot[linecolor=red]{0.4}{3}{ 4 x div}
\end{pspicture}
\end{center} 
		\item %Les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ semblent avoir un point commun. Donner ses coordonnées.
La calculatrice donne un point commun de coordonnées approximatives \`a (1~;~4). 
		\item %Préciser la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$.
Pour $0 < x < 1$, la courbe $\mathcal{C}$ semble être sous la courbe  $\Gamma$.

Pour $1 < x < 5$, la courbe $\mathcal{C}$ semble être au dessus de la courbe  $\Gamma$. 
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $d$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par :
 
%\[d(x) = f(x) - \dfrac{4}{x}.\] 
 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la question précédente, proposer une solution de l'équation $d(x) = 0$ et, à l'aide d'un calcul, opérer une vérification.
		D'après la question précédente la fonction $d$ s'annule lorsque les courbes $\mathcal{C}$ et  $\Gamma$ ont un point commun ; on peut donc proposer $x = 1$.
		
Or $d(1) = f(1) - \dfrac{4}{1} = 4\ln 1 + 1^2 - 2\times 1  + 1 + \dfrac{4}{1} - \dfrac{4}{1} = 0$.
		\item %Calculer $d'(x)$ et en déduire le sens de variation de la fonction $d$.
On a $d'(x) = f'(x) + \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{4}{x} + 2x  - 2 - \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{4}{x} + 2x  - 2 = 2\left(\dfrac{2}{x} + x - 1 \right) = \dfrac{2}{x}\left(2 + x^2 - x\right) = \dfrac{2}{x}\left(x^2 - x + 2  \right)$.

Comme sur [0~ ;~5], $\dfrac{2}{x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x^2 - x + 2$. Or $\Delta = 1 - 8 = - 7 < 0$. Ce trinôme n'a pas de racines : il est donc positif pour tout réel.

Conclusion : sur [0~ ;~5], $d'(x) > $ : la fonction $d$ est donc croissante.
		\item %En déduire le signe de $d(x)$ sur l'intervalle $]0~;~5]$.
		Comme $d$ est croissante et que $d(1) = 0$, on peut en déduire :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $d(x) < 0$ si $0 < x < 1$ ; 
\item[$\bullet~$] $d(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] $d(x) > 0$ si $1 < x < 5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item %La position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Gamma$ précisée à la question 1. c. est-elle confirmée ? 
Le résultat précédent valide bien les hypothèses faites après l'examen des deux courbes sur la calculatrice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~5]$ par : $H(x) = x\ln x - x$.
 
%Montrer que $H$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0~;~5]$.
On a $H'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.

Donc $H$ est bien une primitive de $\ln$ sur $]0~;~5]$.
\item %Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. Le résultat sera donné en unités d'aire.
Sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ la courbe  $\mathcal{C}$ est au dessous de la courbe $\Gamma$, donc l'aire, en unités d'aire $\mathcal{A}$ de la surface considérée est égale \`a :

\[\mathcal{A} = \int_{\frac{1}{2}}^1 \left[\dfrac{4}{x} - f(x)\right]\:\text{d}x = \int_{\frac{1}{2}}^1 \left(- 4\ln x - x^2 + 2x - 1\right)\:\text{d}
x = \left[-4H(x) - \dfrac{x^3}{3} + x^2 - x \right]_{\frac{1}{2}}^1\]

\[\mathcal{A}  = 4 - \dfrac{1}{3} + 1 - 1 + 4\left(\dfrac{1}{2}\ln \frac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left( \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{24} -2 \times \dfrac{1}{2} + 1 = 4 - \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{24} - 2\ln 2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{47}{24} - 2\ln 2~(\text{u. a.})\]
\end{enumerate} 
\end{document}
