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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie électronique,\\ électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole \& La Réunion~\decofourright\\[5pt] 16 septembre 2010 Génie électronique, électrotechnique et optique}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
%Chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\bigskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&A &B &C\\ \hline 
%\textbf{1.} Le nombre complexe solution de l'équation $(1 + \text{i})z - 3 + \text{i} = 0$ est :&$1- 2\text{i}$& $2 - \text{i}$ &$2 - 2\text{i}$\\ \hline 
%\textbf{2.} On considère le nombre complexe $z_{0}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. Le nombre complexe $z_{0}^{\np{2010}}$ est :& un réel positif&un imaginaire pur&un réel négatif\\ \hline 
%\textbf{3.} L'écriture exponentielle du nombre complexe $- 1 + \text{i}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ \hline
%\textbf{4.} Si $z_{1} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et  $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$, alors l'écriture exponentielle de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ est :&$\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$& $\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$&$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{11\pi}{12}}$\\ \hline
% \textbf{5.} Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, l'image du point $M$ d'affixe $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$  par la rotation de centre O 
%et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ est le point $M'$ d'affixe $z'$ :&$z' = - \sqrt{3} + \text{i}$&$z' = \sqrt{3} + \text{i}$  & $z' = \sqrt{3} - \text{i}$\\ \hline
%\textbf{6.} Si les points A, B, C ont pour affixes respectives $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{C}} = 1 - \text{i}\sqrt{3}$, alors le triangle ABC est : &rectangle &isocèle& 
%équilatéral\\ \hline 
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item $(1 + \text{i})z - 3 + \text{i} = 0 \iff (1 + \text{i})z = 3 - \text{i} \iff z = \dfrac{3 - \text{i}}{1 + \text{i}} =  \dfrac{(3 - \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} \iff z = \dfrac{3 - 1 +\text{i}(-1 - 3)}{1 + 1} = \dfrac{4 - 4\text{i}}{2} = 2 - 2\text{i}$. Réponse C.
\item On a $z_{0} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$, donc $z_{0}^{\np{2010}} = \left(2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \right)^{\np{2010}} = 2^{\np{2010}}\text{e}^{\text{i}\np{1050}\pi} = 2^{\np{2010}}$ car $1050\pi = 525 \times 2\pi$. Réponse A.
\item $z = - 1 + \text{i}$, donc $|z|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow |z| = \sqrt{2}$.

$z = \sqrt{2}\left(- \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \text{i}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Or $\cos \frac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \frac{3\pi}{4} =  \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Donc un argument de $z$ est $\frac{3\pi}{4}$.

Donc $z = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. Réponse C.
\item $\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$. Réponse B.
\item Tout point $M$ d'affixe $z$ a une image $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} =$

$z\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right) = z\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2} \right)$.

Donc avec $z = - 1 + \text{i}\sqrt{3},\, z' = \left(- 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\frac{1}{2} \right) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)\text{i} = - \sqrt{3} + \text{i}$. Réponse A.
\item On a :

AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|- 2 \right|^2 = 4$ ;

AC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|- 2 - 2\text{i}\sqrt{3} \right|^2 = 4 + 12 = 16$ ;

BC$^2 = \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}} \right|^2 = \left|- 2\text{i}\sqrt{3} \right|^2 =  12$.
Le triangle n'est pas isocèle et \emph{a fortiori} équilatéral.

D'autre part : $4 + 12 = 16 \iff \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}^2 \iff$\, ABC est rectangle en B d'après la réciproque du théorème de Pythagore. Réponse A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 4 points}

\medskip

%Une urne contient 10~boules. Sur chacune d'elles, on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%Nombre inscrit sur la boule &5 	&6 &10 	&11	&12 &13 &14\\ \hline 
%Nombre de boules			&1	& 2&1	&3	&1	&1	& 1\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
%
%Un joueur mise 10~\euro, tire une boule au hasard dans l'urne et reçoit en euros la somme inscrite sur la boule. 

\begin{enumerate}
\item %Le joueur joue une fois : on appelle $p_{1}$ la probabilité qu'il perde de l'argent (c'est-à-dire que le nombre inscrit sur la boule soit inférieur à 10) et $p_{2}$ la probabilité qu'il ait un gain positif ou nul.
 
%Calculer $p_{1}$ et $p_{2}$·
Les trois boules marquées 5 ou 6 conduisent à une perte. On a donc $p_{1} = \dfrac{3}{10} = 0,3$ et par conséquent $p_{2} = 1 - p_{1} = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 0,7$. 
\item %Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le \og gain \fg{} du joueur (une perte est un gain négatif).
 
%Par exemple: si le joueur tire le nombre 12 son gain est de $+ 2$ ; s'il tire le nombre 6 son gain est de $- 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ?
		$X \in \{- 5~;~- 4~;~0~;~1~;~2~;~3~;~4\}$. 
		\item ~%Présenter la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ dans un tableau.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&$- 5$&$- 4$&0&1&2&3&4 \\ \hline
$p(X = x_{i})$&0,1&0,2&0,1&0,3&0,1&0,1&0,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %Calculer l'espérance mathématique, notée E($X$) , de la variable aléatoire $X$.
 E($X) = - 5\times 0,1 - 4 \times 0,2 + 0\times 0,1 + 1 \times 0,3 + 2 \times 0,1 + 3 \times 0,1 + 4 \times 0,1 = - 0,5 - 0,8 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,4 = - 0,10$. 		 
%Que représente E($X$) pour le joueur ?
Sur un grand nombre de parties ce résultat signifie que le joueur perdra en moyenne 10 centimes par partie.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%On souhaite, en changeant le nombre inscrit sur UNE boule et une seule, rendre le jeu équitable. Proposer une solution.
On peut par exemple remplacer la boule marquée 10 par une boule marquée 11. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle : $y' - 2y = 0$ (E).
On sait que les solutions de (E) sont les fonctions définies par : $x \longmapsto f(x) = C\text{e}^{2x},\, K \in \R$. 
\item %Déterminer la fonction $g$, solution particulière de (E), vérifiant $g'(0) = - 1$.
Si $g$ est solution de (E), $g'(x) = 2g(x) = 2K\text{e}^{2x}$ et en particulier 

$g'(0) = 2K = - 1 \iff K = - \dfrac{1}{2}$.

La solution particulière est donc définie sur $\R$ par $g(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%La courbe fournie sur le \textbf{document annexe} représente la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels.
% 
%Les points K et F ont pour coordonnées respectives (0~;~3) et (1~;~6). La droite (KF) est tangente à la courbe au point K.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le coefficient directeur de la droite (KF).
Le coefficient directeur de la droite (KF) est égal à $\dfrac{6 - 3}{1 - 0} = 3$. 
\item %À l'aide des coordonnées du point K et du coefficient directeur trouvé, déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b$.

K est un point de la représentation graphique de $h$, donc $3 = a\text{e}^{b \times 0} \iff 3 = a$.

Le coefficient directeur de la droite (KF) est égal au nombre dérivé $h'(0)$ ; or $h'(x) = ab\text{e}^{bx}$, donc $h'(0) = ab = 3 \iff 3b = 3 \iff b = 1$.

Donc $h(x) = 3\text{e}^{x}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$ par : 
%
%\[f(x) = 3\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}.\]
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. 
		\item %En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
		Le résultat précédent montre que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = 3\text{e}^x - \dfrac{1}{2} \times 2\text{e}^{2x} = 3\text{e}^x - \text{e}^{2x}$. 
		\item %Vérifier que, pour tout $x$ de l'intervalle $]-\,\infty~;~2]$ : $f'(x) = \text{e}^x \left(3 - \text{e}^x\right)$.
En factorisant $\text{e}^x$ dans l'écriture précédente :

$f'(x) = \text{e}^x\left(3 - \text{e}^x \right)$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - \text{e}^x$. Or :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $3 - \text{e}^x > 0 \iff \text{e}^x < 3 \iff x < \ln 3$ ;
\item $3 - \text{e}^x < 0 \iff \text{e}^x > 3 \iff x > \ln 3$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		 
%En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.
Donc :
- sur $]- \infty~;~\ln 3[,\, f'(x) > 0$ : la fonction est croissante ;

- sur $]\ln 3~;~2],\, f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante.

D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](,2){$x$}\uput[u](2.4,2){$- \infty$}\uput[u](5,2){$\ln 3$}\uput[u](7.8,2){$2$}\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,0.6)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.6)
\uput[u](2.1,0){0}\uput[u](7.2,0){$3\text{e}^2 - \frac{1}{2}\text{e}^4$}
\uput[d](5,2){$\frac{9}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente ($T$) à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse  $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$.
Le coefficient directeur de la tangente ($T$) à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse  $\ln \left(\dfrac{3}{2}\right)$ est égal au nombre dérivé $f'\left(\ln \left(\frac{3}{2} \right)\right) = 3 \text{e}^{\ln \frac{3}{2}} - \frac{1}{2}\text{e}^{2\ln \frac{3}{2}} = \frac{9}{2} - \frac{9}{8} = \frac{27}{8}$. 
\item %Déterminer les coordonnées du point B, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0 \iff  3\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} = 0 \iff \text{e}^x\left(3 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{x} \right) = 0 \iff 3 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{x} = 0$\, (car $\text{e}^{x} \neq 0$) $\iff 3 = \dfrac{1}{2}\text{e}^{x} \iff 6 = \text{e}^{x} \iff \ln 6 = x$.

Donc B$\left(\ln 6~;~0\right)$.
\item %Tracer la tangente ($T$) et la courbe $\mathcal{C}$, après avoir placé les points A et B.
Voir la figure à la fin. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = \ln 6$.
Voir la figure. 
		\item %Calculer en unités d'aire, puis en cm$^2$, l'aire de la partie hachurée.
On a vu que $f$ s'annule en $x = \ln 6$, donc sur l'intervalle $\left[0~;~\ln 6\right]$, la fonction est positive donc l'aire de la surface hachurée est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 3} \left[3\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}\right]\:\text{d}x = \left[3\text{e}^x - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2x}  \right]_{0}^{\ln 6} =$

$3\text{e}^{\ln 6} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2\ln 6} - \left( 3\text{e}^0 - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2\times 0}  \right) = 18 - 9 - 3 + \dfrac{1}{4} = 6 + \frac{1}{4} = \dfrac{25}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
%Pour tout nombre réel $\alpha$ inférieur à $\ln 6$, on désigne par $\mathcal{A}(\alpha)$, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine constitué par l'ensemble des points $M(x~;~y)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l c c c l}
%\alpha&\leqslant &x & \leqslant & \ln 6\\
%0&\leqslant&y&\leqslant & f(x)
%\end{array}\right.$
 
%On admet que : $\mathcal{A}(\alpha) = \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2$ unités d'aire.
 
%Peut-on obtenir une aire de $8$~cm$^2$ ?
Comme 1 u. a. $ = 2 \times 2$~cm$^2$, on a  $\mathcal{A}(\alpha) = 2\left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2$.

Il faut donc résoudre l'équation :

$2\left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2 = 8 \iff \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 \right)^2 = 4 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 &=& 2\\
\text{ou}&&\\
\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3 &=& - 2
\end{array}\right.$

Première équation :

$\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3  = 2 \iff \dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} = 3 + 2 \iff \text{e}^{\alpha} = 10 \iff $\, (par croissance de la fonction logarithme népérien)\, $\alpha = \ln 10$.

Or $10 > 6 \Rightarrow \ln 10 > \ln 6$.

La condition $\alpha < \ln 6$ n'est pas vérifiée.

Deuxième équation :

$\dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} - 3  = - 2 \iff \dfrac{1}{2}\text{e}^{\alpha} = 3 - 2 \iff \text{e}^{\alpha} = 2 \iff $\, (par croissance de la fonction logarithme népérien)\, $\alpha = \ln 2$.

Or $\ln 2 < \ln 6$, donc cette valeur est acceptée.

On a donc $\mathcal{A}(\ln 2) = 8$~cm$^2$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Problème, partie B}

\vspace{1cm}

\textbf{Document annexe}

\vspace{1cm} 

\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(4,7.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-4,-1)(4,7.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-1)(4,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](3.9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$}
\psdots(0,3)(1,6)
\uput[dr](0,3){K}\uput[dr](1,6){F}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.95}{2.71828 x exp 3 mul}
\psplot{-1.33}{1.66}{3 x mul 3 add}

\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}

\begin{pspicture}(-4,-1)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\rput(-1,6){\textbf{\large Problème, partie C}}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-1)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](2,0){$x$}\uput[l](0,5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](0.693147,0)(0.693147,4)
\uput[d](0.6931,0){$\alpha = \ln 2$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{1.82}{2.71828 x exp 3 mul 2.71828 x 2 mul exp 0.5 mul sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.693147}{1.79176}{2.71828 x exp 3 mul 2.71828 x 2 mul exp 0.5 mul sub}
\psline(1.79176,0)(0.693147,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.79176}{2.71828 x exp 3 mul 2.71828 x 2 mul exp 0.5 mul sub}
\psline(1.79176,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}