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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI Génie électronique, électrotechnique, optique}%
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole 23 juin 2009~\decofourright\\\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique, optique}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$
 
\begin{enumerate}
\item  %Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1 +\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$.
On a $\left|z_{\text{A}}  \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2.$ Donc $\left|z_{\text{A}}  \right| = 2$.

On factorise 2 : $z_{\text{A}} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right).$

Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc égal \`a $\dfrac{\pi}{3}.$ 
	\item %Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$.
$z_{\text{A}} = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\Pi}{3}}$.
	\item %Placer le point A dans le repère \Ouv{} en prenant comme unité graphique 2~cm.
Le point A est le point d'ordonnée positive commun au cercle unitaire et \`a la droite $x = \frac{1}{2}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On appelle $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'écriture du nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i} \theta}$ (où $r$ est un nombre réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel compris entre $-\pi$ et $\pi$).
La rotation étant de centre O, on a $z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}}z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \times 2\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{3}} = 2\text{e}^{2\text{i} \frac{\pi}{3}}.$ 

	\item %Écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique.
	On a donc  $z_{\text{B}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}  \right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.
	\item %Placer le point B dans le repère \Ouv.
	
	Le point B est le symétrique de A autour de O$y$.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que le triangle AOB est équilatéral.
Par définition de la rotation OA = OB, le triangle est isocèle et $\widehat{\text{AOB}} = \frac{\pi}{3}.$ On en déduit que ses trois angles ont la même mesure : il est donc équilatéral. 
\item  %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Par quelle transformation géométrique le point C est-il l'image du point A ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.
Le point C est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{4}.$ 
	\item %Placer le point C dans le repère \Ouv.
	Cf. figure
	\item %Écrire le nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme trigonométrique.
$z_{\text{C}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}} = 2\left(\cos \frac{7\pi}{12}+ \text{i}\sin \frac{7\pi}{12} \right) = 2\cos \frac{7\pi}{12}+ 2\text{i}\sin \frac{7\pi}{12}$. 
	\item %Établir que 
%$z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
$z_{\text{C}} = z_{\text{A}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = z_{\text{A}}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = z_{\text{A}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right).$
	 
%En déduire l'écriture du nombre complexe $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
Comme $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{C}} = \left(1 + \text{i}\sqrt{3} \right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i} \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{6}}{2} + \text{i} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}  + \dfrac{\sqrt{6}}{2} \right)  = \dfrac{\sqrt{2}- \sqrt{6}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$.
	\item 	%Déduire des résultats précédents les valeurs exactes $\cos \dfrac{7\pi}{12}$  et de $\sin \dfrac{7\pi}{12}$.
	Comme  $z_{\text{C}}= 2\cos \frac{7\pi}{12}+ 2\text{i}\sin \frac{7\pi}{12}$, on en déduit par identification des parties réelles et imaginaires que :
	\[\cos \frac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}- \sqrt{6}}{4} \quad \text{et}\quad \sin \frac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(3,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-2)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2,-2)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psdots(1,1.732)(-1,1.732)(-0.518,1.932)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1,1.732){A} \uput[l](-1,1.732){B}\uput[u](-0.518,1.932){C}
\psline(1,1.732)(0,0)(-0.518,1.932) \psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){2}{60}{105} 
\psline(0,0)(-1,1.732)(1,1.732)
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%On propose à un candidat au baccalauréat un exercice qui comporte trois questions auxquelles il doit répondre par vrai ou faux. 

%Une bonne réponse rapporte 2~points, une mauvaise réponse enlève 1~point, l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
 
%Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.

% On appelle :
% 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A l'évènement : \og le candidat n'a pas répondu à la question \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] B l'évènement: \og le candidat a donné la bonne réponse à la question \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] C l'évènement: \og  le candidat a donné la mauvaise réponse à la question \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%\medskip

%Si, par exemple, le candidat a donné les bonnes réponses aux questions 1 et 2, et la mauvaise réponse à la question 3, le résultat obtenu se note (B, B, C). 

%\medskip

%Un candidat qui ne sait répondre à aucune question hésite entre deux stratégies :
% 
% \setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item soit il répond au hasard aux trois questions ; 
%\item soit il décide de ne pas répondre à une question, par exemple la première, et répond au hasard aux deux autres questions. 
%\end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}

\textbf{I. Première stratégie :}  %le candidat choisit de ne pas laisser de questions sans réponse.
 
%Il répond donc au hasard et de façon équiprobable aux trois questions. 

\begin{enumerate}
\item %Combien de triplets différents peut-on obtenir? (On pourra utiliser un arbre.)
(B, B, B), (B, B, C), (B, C, B), (B, C, C), (C, B, B), (C, B, C), (C, C, B), (C, C, C ) soit huit triplets
\item %Calculer la probabilité que le candidat n'ait fait aucune faute.
$p(\text{B},~\text{B},~\text{B}) = \dfrac{1}{8} = 0,125$. 
\item %Montrer que la probabilité que le candidat ait fait une faute et une seule, est égale à $0,375$.
On considère les réponses o\`u il n'y a qu'une seule fois la lettre C : il y a trois triplets, donc la probabilité est égale \`a $\dfrac{3}{8} = 0,375.$ 
\item %On note X la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice. 	 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
Avec trois bonnes réponses : X$ = 6$ ;
		
Avec deux  bonnes réponses : X$ = 3$ ;
		
Avec une bonne réponse : X$ = 0$ ;
				
Avec zéro bonne réponse : X$ = -3$ ramenée \`a $0$ ;		 
	\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
	Il reste \`a calculer la probabilité d'avoir une seule bonne réponse ou zéro  ; il y a trois triplets contenant une seule fois B ou zéro B. Donc $p(\text{X} = 0 = \dfrac{3}{8} = 0,375$.
	
On a donc par complément \`a 1 : $p(\text{X} = -3) = 1 - (0,125 + 0,375)  = 1 - 0,5 = 0,5$.

On a donc le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ &6&3&0\\ \hline
$p\left(\text{X} = x_{i}\right)$&0,125&0,375&0,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
	\item %Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
	$E(X) = 6 \times 0,125 + 3 \times 0,375 + 0 \times 0,5 = 1,875$.
	
Conclusion : un candidat qui répond \`a toutes les questions au hasard aura un peu moins de 2 points sur un maximum de 6.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{II. Deuxième stratégie :}  %le candidat choisit de ne pas répondre à la première question, et répond au hasard et de façon équiprobable aux deux autres questions. 

\begin{enumerate}
\item %Combien de triplets différents peut-on obtenir ?
On trouve les quatre triplets (A, B, B), (A, B, C), (A, C, B), (A, C, C)  
\item %On note Y la variable aléatoire qui à chaque triplet associe la note obtenue à l'exercice.

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.
Les valeurs de Y sont respectivement : 4, 2, 2, 0 		 
	\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Y.
	On obtient facilement le tableau :
	
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_{i}$  &4&1&0\\ \hline
$p\left(\text{Y} = y_{i}\right)$&0,25&0,5&0,25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
 
	\item %Calculer l'espérance mathématique E(Y) de la variable aléatoire Y.
E(Y) $ = 4 \times 0,25 + 1 \times 0,5 = 1,5$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\textbf{III. 	Comparaison des stratégies :} %parmi les deux stratégies, quelle est la plus favorable au candidat ?

La première stratégie est meilleure que la seconde. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. 

%On s'intéresse dans ce problème à une fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels $\R$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire }

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par
%\[ g(x) = 2\text{e}^x +2x+3. \]

\begin{enumerate}
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
$g$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$ ; elle est donc dérivable sur $\R$ et :

$g'(x) =  2\text{e}^x +2 = 2\left(\text{e}^x +1 \right)$ qui est du signe de $\text{e}^x +1$. Or quel que soit $x \in  \R,$

$\text{e}^x +1 \geqslant 1 > 0$.

La dérivée est positive, donc $g$ est croissante sur $\R$.
Les limites ne sont pas demandées. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que l'équation $g( x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-2~;~ -1]$.
		On a $g(-2) = 2\text{e}^{x-2}  - 4 + 3 \approx -0,7$ et $g(-1) = 2\text{e}^{-1} - 2 + 3 \approx 1,7$.
		
		D'après le théorème des valeurs intermédiaires il en résulte que la fonction $g$ croissante s'annule une fois sur l'intervalle $[-2~;~-1]$ pour $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$ et $-2 < \alpha < -1$. 
	\item %Donner l'arrondi au dixième de $\alpha$.
	Comme pour la question précédente, comme $g(-1,69) \approx -0,011$ et $g(-1,68) \approx 0,013$, on en déduit que $\alpha \approx  -1,7$ au dixième près.
	\item %En déduire, selon les valeurs du nombre réel $x$, le signe de $g(x)$.
On a donc : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $]-\infty~;~\alpha[,~g(x) < 0$ ;
\item $g(\alpha) = 0$ ; 
\item sur $]\alpha~;~+ \infty[,~g(x) > 0$.
\end{itemize}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

%\[ f(x) = 2\text{e}^x + x^2 + 3x.\]
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. 
\item  %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$  et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item  %Soit $\mathcal{P}$ la parabole d' équation $y = x^2 + 3x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f(x) - \left(x^2 + 3x\right)$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
$f(x) - \left(x^2 + 3x\right) = 2\text{e}^x$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - \left(x^2 + 3x\right) = 0.$ 
	\item  %Que peut-on en déduire graphiquement ?
On en déduit qu'au voisinage de moins l'infini la courbe $\mathcal{C}$ et la parabole sont asymptotes. 
	\item  %Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la parabole $\mathcal{P}$.
On a vu que $f(x) - \left(x^2 + 3x\right) = 2\text{e}^x$ et comme $2\text{e}^x > 0$, que que soit le réel $x$, on en déduit que la courbe  $\mathcal{C}$ est au dessus se la parabole. 
	\end{enumerate}
\item %On note  $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	$f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et $f'(x) = 2\text{e}^x + 2x  + 3 = g(x)$.
	\item %En utilisant la question 2. c. de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	le signe de $f'$ est celui de $g$ vu \`a la question \textbf{2. c.}. D'o\`u :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $]-\infty~;~\alpha[,~f'(x) < 0$ ; $f$ est décroissante ;
\item $f'(\alpha) = 0$ ; $\alpha$ est un extremum de $f$ ;
\item sur $]\alpha~;~+ \infty[,~f'(x) > 0$ ; $f$ est croissante.
\end{itemize}	
\setlength\parindent{0mm} 
	\item  %Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près.
On a $f(-1.69) \approx -1,844860$ et $f(-1,68) \approx -1,844852$.

Donc $f(\alpha) \approx -1,7$ à $10^{-1}$ près.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
$M(x~;~y) \in\text{T} \iff y - f(0) = f'(0)(x - 0 \iff y - 2 = 5x \iff y = 5x + 2$. 
\item %Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la parabole $\mathcal{P}$ dans le repère \Oij, en prenant comme unité graphique 2~cm.
 
%Tracer sur cette feuille annexe la tangente T et la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul d'aire}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$.
Cf. figure. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée précédemment.
Comme $f(0) = 2 > 0$ et que $f$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]$, il en résulte que $f$ est positive sur cet intervalle.

L'aire de la partie hachurée est donc égale \`a l'intégrale $\mathcal{A} =  \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) \:\text{d}x$. 
	\item %En déduire, en cm$^2$, la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$.
	On a donc $\mathcal{A} =  \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left(2\text{e}^x + x^2 + 3x\right)\:\text{d}x = \left[2\text{e}^x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2}  \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = 2\text{e}^{\frac{1}{2}} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{3}{8} - 2 = 2\text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{38}{24} = 2\text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{19}{12}$. (en unités d'aire)

L'unité graphique étant de 2cm, l'unité d'aire est égale \`a 4~cm$^2$.

Donc en cm$^2,~\mathcal{A} = 4\left(2\text{e}^{\frac{1}{2}} - \dfrac{19}{12} \right) \approx 6,856$.

Au centième près de cm$^2
$,~$\mathcal{A} \approx 6,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.5cm}

Cette feuille est à rendre avec la copie

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(2,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3)(2,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](-4.15,4.5){\blue $\mathcal{P}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1.25pt]{-4.542}{1.542}{x dup mul 3 x mul add}
\psplot{-1}{1}{5 x mul 2 add}\uput[ur](-1,-3){T}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-4.542}{0.748}{2.71828 x exp 2 mul x dup mul add x 3 mul add}
\uput[l](0.7,6.5){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}


\end{center}

\end{document}